APLICAÇÕES DA DERIVADA
1
1.1
1.1.1
d2 f
1. Se
> 0, ∀x ∈ (a, b), então f é
dx2
côncava para cima em (a, b)
CONCAVIDADE E CRITÉRIO DA II
DERIVADA
Concavidade
d2 f
< 0, ∀x ∈ (a, b), então f é
2. Se
dx2
côncava para baixo em (a, b)
Quando analisamos uma função mediante o
critério da I derivada observamos que quando
estamos o sinal da derivada muda de positivo
para negativo o ponto extremo corresponde a
um máximo e em caso contrario corresponde
a um mínimo. Este tipo de comportamento
reflete uma propriedade geométrica das curvas,
a concavidade.
Para uma função f que é derivável em um
intervalo I, o gráfico de f é
df
aumenta em
1. côncava para cima em I se
dx
I
df
2. côncava para baixo em I se
diminui em
dx
I
Figura 1.2 – A derivada da função derivada de f nos
diz como é a concavidade do gráfico da função num
intervalo.
Determine os intervalos onde a
função é côncava para acima ou côncava para
baixo.
Exemplos
Figura 1.1 – Por definição a concavidade de uma
função está relacionada ao comportamento da sua
função derivada
1. f (x) =
2. f (x) =
Do anterior resulta claro que se fizermos um
gráfico da função derivada de uma função com
concavidade obteremos uma função crescente e
se o gráfico for feito para o caso de uma função
com concavidade para baixo, termos uma função
decrescente. Este comportamento é resumido no
seguinte teorema
d2 f
Assuma que 2 existe para todos os valores
dx
de x ∈ (a, b)
x2
6
+3
x2 + 1
x2 − 4
Ponto de inflexão Ao comparamos
a figura 1.1 com a figura 1.2 notamos que
para o caso da figura 1.2 o comportamento é
monotônico enquanto que na figura 1.2 a curva
apresenta uma mudança na concavidade. Os
pontos onde a curva muda de concavidade são
chamados de pontos de inflexão. O seguinte
teorema resulta obvio
1.1.1.1
1
Se (c, f (c)) é um ponto de inflexão do grád2 f
d2 f =
0
ou
fico de f , então
não existe.
dx2 x=c
dx2
Exemplos
Determine os pontos de inflexão
1.1.3
Guia para o desenho de gráficos
Com todo o visto até aqui podemos esboçar a
forma dos gráficos que obtidos a partir de função
se seguimos os seguintes passos:
1. f (x) = x3 − 3x2
1. Identifique o domínio e as simetrias
2. f (x) = xe−x
2. Calcule a I e II derivada da função
3. f (x) = x + 2 sen x
3. Encontre os pontos críticos, se existirem,
e identifique o comportamento da função
em cada ponto
1.1.2
Critério da II derivada
Como vimos anteriormente, a segunda deriva nos brinda informação relativa à concavidade da função. Por outro lado, pontos que
que estão sobre uma curva que possui uma certa
concavidade deverão apresentar o valor da II
derivada coerente com dita concavidade. Do
anterior podemos esperar que pontos extremos
também revelem suas caraterísticas através da II
derivada da função avaliada em nesses pontos.
Dessa forma apresentamos o teste da II derivada
para pontos extremos
d f = 0 e cuja
Seja f uma função tal que
dx x=c
segunda derivada existe em um intervalo aberto
I que contem c.
d2 f 1. Se
> 0, então f tem um mínimo
dx2 x=c
em (c, f (c))
d2 f 2. Se
< 0, então f tem um máximo
dx2 x=c
em (c, f (c))
d2 f Se
= 0, então o teste falha, isto é, f
dx2 x=c
pode ter um máximo, um mínimo o nenhum nem
outro. Em esse casos deve se utilizar o teste da I
derivada.
Encontre os extremos relativos das
seguintes funções:
Exemplos
1. f (x) = −3x5 + 5x3
2. f (x) = x4 − 4x3
4. Encontre os intervalos de incremento e
decremento
5. Encontre os pontos de inflexão
6. Identifique as assintotas
Exemplos
1. f (x) =
1.1.4
Faça o esboço de
x (x − 4)
(x − 2)2
Problemas de Otimização
Agora vamos aplicar as técnicas estudadas
para localização de máximos e mínimos em
alguns problemas de otimização
Exemplos
1. Um jardim será definido em uma área
retangular a qual estará protegida por um
cercado. Sabendo que o material disponível para fazer o cercado somente permite
100 m de cerca, calcular qual é a máxima
área que poderá ser cercada.
2. Uma caixa aberta tem dimensões de
16 cm × 30 cm, em cada canto do papelão
são cortados quadrados iguais a fim de
permitir que a caixa seja dobrada. Qual
deverá ser o tamanho dos quadrados a fim
de obter o maior volume?
3. Uma plataforma petrolífera (ponto W) está
localizada a 5 km da costa em alto mar,
medido desde um ponto A em ângulo reto
com o perfil da costa. O ponto onde o
petróleo será armazenado e refinado está
a uma distância de 8 km do ponto A, na
linha da costa. Sabendo que o custo do
encanamento para transportar petróleo é
de R$ 1 000 000 por quilometro no mar e
R$ 500 000 se for por terra. Em que posição o encanamento que vem da plataforma
deve tocar a costa a fim de minimizar
custos.
ponto fixo c ∈ (a, b), e também que g , 0,
exceto possivelmente em c. Suponha ademas
que
f (x)
lim
x→c g(x)
4. Calcule o radio e a altura de um cilindro
circular reto que está inscrito dentro de um
cone de 6 m de rádio e 5 m de altura de
forma a conter o maior volume possível.
∞
0
resulta em uma forma indeterminada, ou , e
0
∞
que
f 0 (x)
lim 0
= L (ou ± ∞)
x→c g (x)
5. Encontre o ponto sobre a curva y = x2 que
está mais perto do ponto (18, 0)
Então
6. Um cilindro fechado deve armazenar
1000 cm3 de líquido. Qual deve ser o
radio e a altura de forma a minimizar a
quantidade de material a ser utilizado.
O teorema anterior se matem válido para aquef (x)
les casos em que lim
é substituído por
x→c g(x)
f (x)
f (x)
f (x)
f (x)
lim+
, lim−
, lim
ou lim
.
x→∞ g(x)
x→−∞ g(x)
x→c g(x)
x→c g(x)
(Em cada caso, devemos ajustar adequadamente
as hipóteses).
1.2
REGRAS DE L’HÔSPITAL
Até agora vimos que a derivada de I e II
nos permitem acessar informação sobre o comportamento de uma função e dessa forma fomos
capazes de criar esboços de seus gráficos. Agora
introduziremos uma técnica desenvolvida por
Giullame L’Hôspital que nos permitira saber, de
forma fácil, o comportamento de uma dado tipo
de função para valores onde a função parece se
comportar de forma indevida.
Quando estudamos limites nos deparamos
com situações onde se aplicássemos diretamente
o limite encontraríamos uma das chamadas
∞
0
forma indeterminada, ou . A fim de salvar
0
∞
esses problemas eramos obrigados a recorrer a
procedimentos algébricos, algumas vezes intrincados, por exemplo
√3
x−1
lim √
x→1
x−1
note que se aplicamos diretamente o limite ob0
teremos , mas com uma a mudança de variável
0
x = t6 e alguma manipula obteremos que o limite
é 2/3.
As chamadas regras de L’Hôspital nos permitirão resolver este mesmo problema de forma
rápida utilizando para isso a derivadas. Vejamos
isso no seguinte teorema
Suponha que f e g são deriváveis no intervalo (a, b), exceto possivelmente em algum
lim
x→c
Exemplos
f 0 (x)
f (x)
= lim 0
g(x) x→c g (x)
Avalie os limites
1 − cos x
x→0
sen x
1. lim
ex
x→∞ x
2. lim
x2
x→∞ e x
3. lim
x2
x→0 e x − 1
4. lim
5. lim+
x→0
ln x
csc x
1
1
6. lim 2 − 4
x→0 x
x
!
1
1
7. lim
−
x→0 ln (x + 1)
x
!
1
8. lim
ln x
x→∞ x
1 9. lim+ x x−1
x→1
10. lim+ ( sen x) x
x→0
2
11. lim (x + 1) x
x→∞
!