4) Função Quadrática
Professora Laura Aguiar
4.1)
Estudando função quadrática
Eduardo tem em seu sítio uma região retangular que é utilizada para o plantio de morangos. Com o
objetivo de aumentar a produção, ele pretende ampliar essa região em uma mesma medida, tanto no
comprimento quanto na largura, como mostra a figura.
Podemos representar a área (f) dessa região após a ampliação em função da medida x indicada.
F(x)= (7+x)(10+x)
2
F(x)= 70 + 7x + 10x + x
2
F(x)= x + 17x + 70
A fórmula obtida corresponde à lei da função que expressa a área da região após a ampliação. Esse é
um exemplo de uma função denominada função quadrática.
Se considerarmos x=3, isto é, se a região for ampliada em 3m na largura e 3m no comprimento, podemos
calcular a sua área a partir dessa função.
2
F(3)=3 + 17.3 + 70 = 9 + 51 + 70 = 130
2
Portanto, nesse caso a área da região após a ampliação será 130 m .
4.1.1)
Definição
Chamamos de função quadrática, ou também função do 2°grau, toda função que assume a
forma:
f : R  R; f ( x)  ax2  bx  c onde a, b, c  R e a  0 .
62
Dizemos que a, b e c são os coeficientes da função.
Exemplos:
a)
b)
c)
d)
4.2)
2
F(x)=x + 2x – 7, com a=1, b=2 e c=-7.
2
G(x)= 9x + 5, com a=9,b=0 e c=5.
2
H(x)=-3x , com a=-3,b=0 e c=0.
2
I(x)= x + 2x, com a=1, b=2 e c=0.
Propriedades da Função Quadrática

Função Algébrica Racional Inteira

Não sobrejetora e não injetora

Raízes:
x1 e x2 , são os pontos onde f ( x)  0 , ax2  bx  c  0 . As raízes da função são os
pontos onde ela toca o eixo das abscissas
As raízes são encontradas utilizando a Fórmula de Bháskara


Pontos Extremos
A função terá um ponto de mínimo se a  0
A função terá um ponto de máximo se a  0
O ponto de máximo ou de mínimo coincide com o vértice da parábola
Raízes: Uma equação da forma quadrática pode ter duas, uma ou nenhuma raiz (Valor de x pra
quando y=0). Isto varia de acordo com o valor de Δ (Δ=b² -4ac).
Δ=0 : a função representada possui raiz única. (I)
Δ>0 : a função representada possui duas raízes reais (II)
Δ<0: a função representada não possui raízes reais. (III)
63
Podemos observar que no caso III (quando Δ<0) o gráfico da parábola que representa a função não
intercepta o eixo x. No caso I (quando Δ=0) a parábola intercepta o eixo x em um único ponto. E no
caso II (quando Δ>0) temos duas raízes reais, portando, o gráfico intercepta o eixo x em dois pontos.

Concavidade: O coeficiente a determina a concavidade da parábola, ou seja, se sua abertura está
voltada para cima ou para baixo.
a>0 : concavidade voltada para cima
a<0 : concavidade voltada para baixo ( caso do lançamento de projéteis)

C: o coeficiente C coincide com a coordenada Y do ponto de interseção do gráfico com o eixo Y.

Vértice: O vértice da parábola representa o ponto do gráfico em que o comportamento muda, ou
seja, o ponto em que a função passa de crescente para decrescente ( no caso da concavidade
voltada para baixo) ou quando a função passa de decrescente para crescente (quando a
concavidade está voltada para cima). Então podemos concluir que quando a>0 a parábola possui
ponto de mínimo e quando a<0 a ela possui ponto de máximo. Esses pontos especiais (mínimo e
máximo) são representados pelo vértice.
E para encontrar as coordenadas (Xv,Yv) do vértice podemos utilizar as fórmulas:
Xv =
Yv =
Temos que Yv assume o valor de mínimo quando a>0 e Yv assume o valor máximo da função quando
a<0.

Simetria: Paralelo ao eixo y passa pelo vértice um eixo de simetria que divide a parábola em duas
metades igualmente espelhadas. Isso significa que com exceção do vértice qualquer valor de y terá
dois correspondentes em x (traçando uma reta paralela a x o gráfico interceptará esta reta em dois
pontos, então para um mesmo valor de y há dois valores de x associados). Esses correspondentes
em x são equidistantes ao eixo de simetria ( a distância entre eles e o eixo de simetria é igual).
64

Obs.: Por esta característica podemos encontrar as coordenadas do Xv e do Yv de maneira
alternativa: conhecendo-se as raízes sabemos que o ponto médio entre elas representa a
coordenada x do vértice. Substituindo o Xv encontrado na equação chega-se ao valor da coordenada
Y do vértice.

Sinal: a função será positiva nos intervalos que o seu gráfico está acima do eixo x e será negativa
nos intervalos que seu gráfico está abaixo do eixo x.
4.3) Método Prático para a confecção do Gráfico
1° Passo: Determine a concavidade da parábola avaliando o valor de a.
2° Passo: Determinar onde a parábola intercepta o eixo-y, avaliando o valor de c
3° Passo: Determinar onde a parábola intercepta o eixo-x, para tal basta achar suas raízes.
4° Passo: Encontre as coordenadas do Vértice Xv e Yv
5° Passo: Marque as informações obtidas no gráfico
6° Passo: Trace o Gráfico.
65
Exemplo:
4.4)
y  x2  5x  6
Estudo do Sinal
1° caso: a  0
2° caso: a  0
3° caso: a  0
O estudo da variação do sinal da função quadrática é bastante útil na resolução das inequações
produto e quociente, além de auxiliar no cálculo de domínio de funções.
Exemplos:
 x2  4
a) 2
0
x  5x  4
4.5)
x2  x
b)
1
2x  4
Fixação
1) (Enem) Um boato tem um público-alvo e alastra-se com determinada rapidez. Em geral, essa rapidez
é diretamente proporcional ao número de pessoas desse público que conhecem o boato e diretamente
proporcional também ao número de pessoas que não o conhecem. Em outras palavras, sendo R a
rapidez de propagação, P o público-alvo e x o número de pessoas que conhecem o boato, tem-se:
R(x) = k.x.(P-x), onde k é uma constante positiva característica do boato.
Considerando o modelo acima descrito, se o público-alvo é de 44.000 pessoas, então a máxima rapidez
de propagação ocorrerá quando o boato for conhecido por um número de pessoas igual a:
a) 11.000.
b) 22.000. c) 33.000.
d) 38.000. e) 44.000.
2) (UFSM) Da frieza dos números da pesquisa saíram algumas recomendações. Transformadas em
políticas públicas, poderiam reduzir a gravidade e as dimensões da tragédia urbana do trânsito.
-A primeira é a adoção de práticas que possam reduzir a gravidade dos acidentes.
66
-A segunda recomendação trata dos motociclistas, cuja frota equivale a 10% do total, mas cujos custos
correspondem a 19%. O 'motoboy' ganha R$2 por entrega, a empresa, R$8. É um exército de garotos em
disparada.
O pedestre forma o contingente mais vulnerável no trânsito e necessita de maior proteção, diz a terceira
recomendação da pesquisa. Entre a 0h e às 18h da quinta-feira, as ambulâncias vermelhas do Resgate
recolheram 16 atropelados nas ruas de São Paulo.
Fonte: "Folha de São Paulo" (adaptado).
A 100 m de um semáforo, o motorista de um automóvel aplica os freios de modo suave e constante, a fim
de imprimir uma força de frenagem constante até o repouso. Após a freada, foram coletados os seguintes
dados:
Considerando que a distância do automóvel ao semáforo, no instante de tempo t, é dada pela função
quadrática s(t) = (1/2)at² - vt + 100, onde a é a aceleração constante imprimida no instante da freada e v,
a velocidade no instante da freada, o tempo necessário para o automóvel atingir a posição onde está
localizado o semáforo é, em segundos,
a) 4,5
b) 4,6
c) 4,8
d) 4,9
e) 5
3) (Puccamp) O biodiesel resulta da reação química desencadeada por uma mistura de óleo vegetal
(soja, milho, mamona, babaçu e outros) com álcool de cana. O ideal é empregar uma mistura do biodiesel
com diesel de petróleo, cuja proporção ideal ainda será definida. Quantidades exageradas de biodiesel
fazem decair o desempenho do combustível.
Seja f a função desempenho do combustível obtido pela mistura de biodiesel com combustível de
petróleo, dada por f(p) = 12p – p², em que p é a porcentagem de biodiesel na mistura, 0 ≤ p ≤ 12. O valor
de p que gera o melhor desempenho é tal que
a) p < 0,06
b) 0,06 ≤ p < 0,6
c) 0,6 ≤p ≤ 5,8 d) 5,8 < p ≤ 6,2
e) p > 6,2
4) (Unesp) O gráfico da função quadrática definida por y=x²-mx+(m-1), onde m pertence ao conjunto dos
Reais, tem um único ponto em comum com o eixo das abscissas. Então, o valor de y que essa função
associa a x=2 é:
a) - 2. b) - 1.
c) 0. d) 1. e) 2.
67
5) (ITA) Os dados experimentais da tabela a seguir correspondem às concentrações de uma substância
química medida em intervalos de 1 segundo. Assumindo que a linha que passa pelos três pontos
experimentais é uma parábola, tem-se que a concentração (em moles) após 2,5 segundos é:
Tempo (s)
1
2
3
a) 3,60
Concentração (moles)
3,00
5,00
1,00
b) 3,65
c) 3,70
d) 3,75
e) 3,80
6) (UFMG) A função f(x) do segundo grau tem raízes -3 e 1. A ordenada do vértice da parábola, gráfico
de f(x), é igual a 8.
A única afirmativa VERDADEIRA sobre f(x) é:
a) f(x) = -2(x-1)(x+3)
b) f(x) = -(x-1)(x+3)
c) f(x) = -2(x+1)(x-3)
d) f(x) = (x-1)(x+3)
e) f(x) = 2(x+1)(x-3)
7) (UFPE) O gráfico da função y=ax²+bx+c é a parábola da figura a seguir. Os valores de a, b e c, são,
respectivamente:
a) 1, - 6 e 0
d) - 1, 6 e 0
b) - 5, 30 e 0
e) - 2, 9 e 0
c) - 1, 3 e 0
8) (PUC-SP) Usando uma unidade monetária conveniente, o lucro obtido com a venda de uma unidade
de certo produto é x-10, sendo x o preço de venda e 10 o preço de custo. A quantidade vendida, a cada
mês, depende do preço de venda e é, aproximadamente, igual a 70-x.
Nas condições dadas, o lucro mensal obtido com a venda do produto é, aproximadamente, uma função
quadrática de x, cujo valor máximo, na unidade monetária usada, é
a) 1200
b) 1000
c) 900
d) 800
e) 600
68
9) (UFSC) Assinale a ÚNICA proposição CORRETA. A figura a seguir representa o gráfico de uma
parábola
cujo
vértice
é
o
ponto
V.
A
equação
da
reta
r
é:
a) y = -2x + 2.
d) y = 2x + 2.
b) y = x + 2.
e) y = -2x - 2.
c) y = 2x + 1.
10) (Mackenzie) Se a função real definida por f(x) = - x² + (4 – k²) possui um máximo positivo, então a
soma dos possíveis valores inteiros do real k é:
a) - 2. b) - 1. c) 0.
d) 1. e) 2.
11) (Faap) A água que está esguichando de um bocal mantido horizontalmente a 4 metros acima do solo
descreve uma curva parabólica com o vértice no bocal. Sabendo-se que a corrente de água desce 1
metro medido na vertical nos primeiros 10 metros de movimento horizontal, conforme a figura a seguir:
Podemos expressar y como função de x:
a) y = -x² + 4x + 10
b) y = x² - 10x + 4
x²/100) + 10x + 4
e) y = (-x²/100) + 4
c) y = (-x²/10) + 10
d) y = (-
12) (Unirio)
69
Um projétil é lançado do alto de um morro e cai numa praia, conforme mostra a figura anterior. Sabendose que sua trajetória é descrita por h = -d² + 200d + 404, onde h é a sua altitude (em m) e d é o seu
alcance horizontal (em m), a altura do lançamento e a altitude máxima alcançada são, respectivamente:
a) superior a 400m e superior a 10km.
b) superior a 400m e igual a 10km.
c) superior a 400m e inferior a 10km.
d) inferior a 400m e superior a 10km.
13) (UFSM) Um laboratório testou a ação de uma droga em uma amostra de 720 frangos. Constatou-se
que a lei de sobrevivência do lote de frangos era dada pela relação v(t) = at² + b, onde v(t) é o número de
elementos vivos no tempo t (meses). Sabendo-se que o último frango morreu quando t=12 meses após o
início da experiência, a quantidade de frangos que ainda estava viva no 10° mês é
a) 80
b) 100
c) 120
d) 220
e) 300
14) (UFPE) Uma mercearia anuncia a seguinte promoção: "Para compras entre 100 e 600 reais compre
(x + 100) reais e ganhe (x/10)% de desconto na sua compra". Qual a maior quantia que se pagaria à
mercearia nesta promoção?
a) R$ 300,50 b) R$ 302,50 c) R$ 303,50 d) R$ 304,50 e) R$ 305,50
15) (UERJ) Numa partida de futebol, no instante em que os raios solares incidiam perpendicularmente
sobre o gramado, o jogador "Chorão" chutou a bola em direção ao gol, de 2,30m de altura interna. A
sombra da bola descreveu uma reta que cruzou a linha do gol. A bola descreveu uma parábola e quando
começou a cair da altura máxima de 9 metros, sua sombra se encontrava a 16 metros da linha do gol.
Após o chute de "Chorão", nenhum jogador conseguiu tocar na bola em movimento.
A representação gráfica do lance em um plano cartesiano está sugerida na figura a seguir:
70
A equação da parábola era do tipo: y=(-x²/36)+c. O ponto onde a bola tocou pela primeira vez foi:
a) na baliza
b) atrás do gol
c) dentro do gol
d) antes da linha do gol
16) (UFSM)
A figura mostra um retângulo com dois lados nos eixos cartesianos e um vértice na reta que passa pelos
pontos A(0,12) e B(8,0). As dimensões x e y do retângulo, para que sua área seja máxima, devem ser,
respectivamente, iguais a
a) 4 e 6
b) 5 e 9/2
c) 5 e 7
d) 4 e 7
e) 6 e 3
17) (Fuvest) A função f(x), definida para -3
x
3, tem o seguinte gráfico:
Onde as linhas estão ligando (-1,0) a (0,2) e (0,2) a (1,0) são segmentos de reta.
Supondo a
0, para que valores de a o gráfico do polinômio p(x)=a*(x²-4) intercepta o gráfico de f(x) em
exatamente 4 pontos distintos?
a) -1/2 < a < 0
b) -1 < a < -1/2
d) -2 < a < -3/2
e) a < -2
c) -3/2 < a < -1
71
18) (Unesp) Considere a função f(x) = [1/(4a)]*x² + x + a, onde a é um número real não nulo.
Assinale a alternativa cuja parábola poderia ser o gráfico dessa função.
19) (UFPE) Um caminhoneiro transporta caixas de uvas de 15kg e caixas de maçãs de 20kg. Pelo
transporte, ele recebe R$2,00 por caixa de uvas e R$2,50 por caixa de maçãs. O caminhão utilizado tem
capacidade para transportar cargas de até 2.500kg. Se são disponíveis 80 caixas de uvas e 80 caixas de
maçãs, quantas caixas de maçãs ele deve transportar de forma a receber o máximo possível pela carga
transportada?
a) 80
b) 75
c) 70
d) 65
e) 60
20) (CESGRANRIO) O diretor de uma orquestra percebeu que, com o ingresso a R$9,00 em média 300
pessoas assistem aos concertos e que, para cada redução de R$1,00 no preço dos ingressos, o público
aumenta de 100 espectadores. Qual deve ser o preço para que a receita seja máxima?
a) R$ 9,00
b) R$ 8,00
c) R$ 7,00
d) R$ 6,00
e) R$ 5,00
21) (PUCMG) A temperatura, em graus centígrados, no interior de uma câmara, é dada por f(t) = t² - 7t +
A, onde t é medido em minutos e A é constante. Se, no instante t = 0 , a temperatura é de 10°C, o tempo
gasto para que a temperatura seja mínima, em minutos, é: a) 3,5
b) 4,0
c) 4,5
d) 6,5
e) 7,5
22) (UFSM) Na produção de x unidades mensais de um certo produto, uma fábrica tem um custo, em
reais, descrito pela função de 2º grau, representada parcialmente na figura. O custo mínimo é, em reais.
a) 500
b) 645
c) 660
d) 675
e) 690
23)
(PUCSP) Um veículo foi submetido a um teste para a verificação do consumo de combustível. O
teste consistia em fazer o veículo percorrer, várias vezes, em velocidade constante, uma distância de
100km em estrada plana, cada vez a uma velocidade diferente. Observou-se então que, para velocidades
entre 20km/h e 120km/h, o consumo de gasolina, em litros, era função da velocidade, conforme mostra o
gráfico seguinte.
72
Se esse gráfico é parte de uma parábola, quantos litros de combustível esse veículo deve ter consumido
no teste feito à velocidade de 120km/h?
a) 20
b) 22
c) 24
d) 26
e) 28
24) (PUCCAMP) Na figura a seguir tem-se um quadrado inscrito em outro quadrado. Pode-se calcular a
área do quadrado interno, subtraindo-se da área do quadrado externo as áreas dos 4 triângulos. Feito
isso, verifica-se que A é uma função da medida x. O valor mínimo de A é:
a) 16 cm²
b) 24 cm²
c) 28 cm²
d) 32 cm²
e) 48 cm²
25) (FEI) Durante o processo de tratamento uma peça de metal sofre uma variação de temperatura
descrita pela função: f(t) = 2 + 4t – t², 0 < t < 5. Em que instante t a temperatura atinge seu valor
máximo?
a) 1
b) 1,5
c) 2
d) 2,5
e) 3
4.6)
Pintou no ENEM
1)(ENEM)Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu
proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100
litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200
litros. Considerando “x” o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e “V” o valor, em
R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão que relaciona “V” e ”x” é:
A) V = 10.000 + 50x – x².
B) V = 10.000 + 50x + x².
C) V = 15.000 - 50x - x².
D) V = 15.000 + 50x - x².
E) V = 15.000 - 50x + x².
Resposta: D
2) ENEM/2010) A loja Telas & Molduras cobra 20 reais por metro quadrado de tela, 15 reais por metro
linear de moldura, mais uma taxa fixa de entrega de 10 reais.
73
Uma artista plástica precisa encomendar telas e molduras a essa loja, suficientes para 8 quadros
retangulares (25 cm x 50 cm). Em seguida, fez uma segunda encomenda, mas agora para 8 quadros
retangulares (50 cm x 100 cm). O valor da segunda encomenda será
a)
b)
c)
d)
e)
o dobro do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros dobraram.
maior do que o valor da primeira encomenda, mas não o dobro.
a metade do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros dobraram.
menor do que o valor da primeira encomenda, mas não a metade.
igual ao valor da primeira encomenda, porque o custo de entrega será o mesmo.
Resposta: B
3) ENEM/2010)
Nos processos industriais, como na indústria de cerâmica, é necessário o uso de fornos capazes de
produzir elevadas temperaturas e, em muitas situações, o tempo de elevação dessa temperatura
deve ser controlado, para garantir a qualidade do produto final e a economia no processo.
Em uma indústria de cerâmica, o forno é programado para elevar a temperatura ao longo do tempo
de acordo com a função
7
t  20, para 0  t  100

5
T( t )  
 2 t 2  16 t  320, para t  100

5
125
em que T é o valor da temperatura atingida pelo forno, em graus Celsius, e t é o tempo, em minutos,
decorrido desde o instante em que o forno é ligado.
Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a temperatura for 48 ºC e retirada quando a
temperatura for 200 ºC.
O tempo de permanência dessa peça no forno é, em minutos, igual a
a)
b)
c)
d)
e)
100.
108.
128.
130 .
150.
Resposta: D
Gabarito:
1) B
7) D
13) D
19) D
25) C
2) E
8) C
14) B
20) D
3) D
9) D
15) C
21) A
4) D
10) C
16) A
22) D
5) D
11) E
17) B
23) D
6) A
12) A
18) C
24) D
74
4.7)
Sessão Leitura
Função do 2º grau e o lançamento oblíquo
Ao estudarmos qualquer assunto referente à matemática, nos perguntamos: “Onde isso é aplicado na
vida real?”. Pois bem, veremos um caso de aplicação prática da função de 2º grau, o lançamento oblíquo
de projéteis. O lançamento oblíquo é um movimento bidimensional, composto de dois movimentos
unidimensionais e simultâneos, um vertical e um horizontal. Durante uma partida de futebol, quando o
jogador faz um lançamento para um companheiro, observa-se que a trajetória descrita pela bola é uma
parábola. A altura máxima atingida pela bola é o vértice da parábola e a distância que separa os dois
jogadores é o alcance máximo da bola (ou objeto).
Vamos realizar um exemplo para melhor entendimento.
Exemplo 1. Uma empresa de armamentos bélicos realizará testes sobre um novo tipo de míssil que está
sendo fabricado. A empresa pretende determinar a altura máxima que o míssil atinge após o lançamento
e qual seu alcance máximo. Sabe-se que a trajetória descrita pelo míssil é uma parábola representada
2
pela função y = – x + 3x, onde y é a altura atingida pelo míssil (em quilômetros) e x é o alcance (também
em quilômetros). Quais serão os valores encontrados pela empresa?
75
2
Solução: Sabemos que a trajetória do míssil descreve uma parábola representada pela função y = – x +
3x e que essa parábola tem concavidade para baixo. Assim, a altura máxima que o míssil atinge será
determinada pelo vértice da parábola, uma vez que o vértice é o ponto máximo da função. Teremos
O alcance máximo do míssil será a posição em que ele retornar ao solo novamente (momento em que
atinge o alvo). Pensando no plano cartesiano, será a posição em que o gráfico da parábola intercepta o
eixo x. Sabemos que para determinar os pontos onde a parábola cruza o eixo x basta fazer y = 0 ou –
2
x + 3x = 0. Assim, teremos:
Portanto, podemos afirmar que a altura máxima que o míssil atingirá será de 2,25 Km e o alcance
máximo será de 3 km.
76
Por Marcelo Rigonatto
Equipe Brasil Escola
4.8)
Referências
MELLO,J. L.P. (2005). Matemática: Construção e significado. Volume único. 1. Ed. São Paulo: Moderna
SOUZA, Joamir. (2010). Matemática: Novo Olhar. Volume 1. 1 Ed. São Paulo: FTD
PAIVA,Manoel. (2005). Matemática. Volume único. 1 Ed. São Paulo: Moderna
http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-2-o-grau-lancamento-obliquo.htm
(Acesso em 10/01/2014)
77