Faculdades Integradas Campos Salles
Curso: Administração e Ciências Contábeis
Profª Alexandra Garrote Angiolin
Disciplina: Matemática II
Derivada
O conceito de derivada foi introduzido em meados do século XVII em estudos de
problemas de Física ligados à pesquisa dos movimentos. Entre outros, destacam-se nesse
estudo, o físico e matemático inglês Isaac Newton (1942 – 1727), o filósofo e matemático alemão
Gottfried Leibniz (1946 – 1716) e o matemático francês Joseph-Louis Lagrange (1736 -1813).
As idéias preliminares introduzidas na Física foram aos poucos sendo incorporadas a
outras áreas do conhecimento. Em Economia, Administração e Ciências Contábeis o conceito de
derivada é utilizado principalmente no estudo gráfico de funções, determinação de máximos e
mínimos e cálculos de taxas de variação de funções.
Compreender o significado de taxa média de variação de uma função f(x), quando x passa
do valor x0 para o valor x0 + x, nos leva a seguinte definição.
Definição de derivada – A derivada de uma função f em relação à variável x do domínio
de f é a função f ’(x), dada por
se este existir limite. Diz-se, nesse caso, que a função f(x) é derivável em x.
Derivada num ponto – Se x0 for um número particular no domínio de f, então a derivada da
função f no ponto x0, denotada por f ’(x), é dada por
Se este limite existir. Diz-se, nesse caso, que a função f(x) é derivável em x0, ou seja, existe f ’(x).
Indica-se a derivada de f(x) no ponto x0 de várias maneiras, por exemplo, f’(x), f’(x0),
(x0),
(x0), y’(x0) ou ainda y’.
Exemplo 1: Qual a derivada f(x) = x2 no ponto x0 =3.
Temos: f’(3) =
f’(3) =
–
=
=
Interpretação:
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a. A taxa média de variação da função nas proximidades do ponto x0 = 3 é aproximadamente 6.
Isso significa que, em pequenos intervalos contendo o ponto x0 = 3, a variação
é dada aproximadamente por :
=6
correspondente
.
Assim, no intervalo [2,9;3]
= 6 . (0,1) = 0,6;
no intervalo [2,95; 3,01]
= 6 . (0,06) = 0,36
no intervalo [3; 3,01]
= 6 . (0,01) = 0,6
b. A derivada da função no ponto pode também ser interpretada como valor marginal ou
tendência neste ponto. No caso, a tendência da função y = x2 no ponto x0 = 3, acarretará
um correspondente acréscimo de
que é aproximadamente 6 vezes maior que o
acréscimo
Exemplo 2: Qual a derivada f(x) = x2 no ponto x0 = -2?
Temos: f’(-2) =
–
f’(-2) =
=
=
Isso significa que um pequeno acréscimo de
acarretará um correspondente decréscimo
acréscimo de
dado a x, a partir do ponto x0 = -2,
que é aproximadamente 4 vezes maior que o
, em valor absoluto.
Exemplo 3: Existe a derivada da função f(x) =
no ponto x0 = 0?
Temos: f’(0) =
–
f’(0) =
Logo:
=
=
=
Como os limites laterais de
quando
no ponto
0. Portanto, a função f(x) =
= 0 não são iguais, resulta que não existe limite de
não é derivável no ponto x0 = 0.
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Exercícios propostos na página 158 do livro do Medeiros.
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Função Derivada
Dada uma função f(x), podemos pensar em calcular a derivada de f(x) em um ponto
genérico x, em vez de calcular em um ponto particular x0. A essa derivada, calculada em um
ponto genérico x, chamamos de função derivável de f(x). A vantagem em calcular a função
derivada é que com ela poderemos calcular a derivada de f(x) em qualquer ponto x 0, bastando
para isso substituir, na função derivada, x por x0.
Exemplo1: Qual a função derivada de f(x) = x2?
f’(x) =
–
=
=
(2x +
= 2x.
f’(x) = 2x
Assim, por exemplo, se quisermos a derivada no ponto x0 = 5, basta calcularmos
f’(5) = 2. (5) = 10.
É importante observarmos ainda que: f’(x)
Desta forma, se x = 5 e
, para
pequeno.
= 0,1, teremos f’(5) = 10.
= f(5,1) – f(5) = (5,1)2 – 52 = 1,01
=
= 10,1.
Portanto, f’(5)
.
Exemplo 2: Calcular a função derivada de y = 2x – x2, x > 0
=
f’(x) =
(2 – 2x-
–
=
= 2 – 2x -
= 2 – 2x.
A função derivada de y = 2x – x2 é f’(x) = 2 – 2x para x > 0.
Exercícios (Morettin p. 118 e 119)
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Derivada das principais funções elementares
Vimos anteriormente que a função derivada de f(x) = x2 era f’(x) = 2x. Se conseguirmos
achar a função derivada das principais funções elementares e se, além disso, soubermos achar
as funções derivadas de somas, diferenças, produtos e quocientes dessas funções elementares,
poderemos achar as derivadas de muitas funções sem termos de recorrer à definição (que muita
vezes pode ser trabalhoso). Vejamos então como isso pode ser realizado.

Derivada da função constante
Se f(x) = c (função constante), então f’(x) = 0, para todo x.
Demonstração:
f’(x) =
Exemplos:
=
f(x) = 5
f(x) =

= 0 para todo x.
f’(x) = 0
f’(x) = 0
Derivada da função potência
Se f(x) = xn, então f’(x) = n . x n – 1.
Exemplos:
f(x) = x3
f’(x) = 3x2
f(x) = x8
f’(x) = 8x7
f(x) = 4x3 + 2x
f(x) =

= x-3
f’(x) = 3.4x2 + 2
f’(x) = 12x2 + 2
f’(x) = -3.x-4 =
Derivada da função identidade
Se f(x) = x, então f’(x) = 1.

Derivada da função exponencial
Se f(x) = ax, então f’(x) = ax. ln.a, para todo x real (com a>0 e a ≠ 1).
Exemplo:


f(x) = 3x
f’(x) = 3x . ln 3
Derivada da função logarítmica
Se f(x) = ln x, então f’(x) =
(para x > 0).
Exemplo:
f’(x) =
f(x) = 3 ln x
(x > 0)
Derivada da soma ou subtração de funções
Se f(x)= u(x) + v(x), sendo u(x) e v(x) duas funções reais, então f’(x) = u’(x) + v’(x).
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Se f(x) = u(x) – v(x), sendo u(x) e v(x) duas funções reais, então f’(x) = u’(x) - v’(x)
Exemplos:
f(x) = x3 + 2x2 (com u(x) = x3 e v(x) = 2x2)
f(x) = x5 – 2x3

f’(x) = 3x2 +4x
f’(x) = 5x4 – 6x2
Derivada do produto de uma constante por uma função
Se f(x) = k . v(x), onde k é uma constante e v(x) uma função real, então f’(x) = k . v’(x).
Exemplo:
f(x) = 5x3
f’(x) = 15x2
f(x) = 2x4 + 3x2 + 4x +1

f’(x) = 8x3 + 6x + 4
Derivada do produto
Se f(x) = u(x) . v(x), então f’(x) = u(v) . v’(x) + u’(v) . v(x)
Exemplo:
f(x) = x2 + 4x4, com u(x) = x2 e v(x) = 4x4
f’(x) = x2 . 16x3 + 2x . 4x4
f’(x) = 16 x5 +8x5

Derivada do quociente
Se f(x) =
, então f’(x) =
Exemplo:
f(x) =
f’(x) =
.
=
Cálculo da derivada de algumas funções compostas
Seja uma função u uma função derivável no ponto x e v uma função derivável no ponto
correspondente u(x).
Então a função composta, h(x) = v(u(x)) é derivável no ponto x e h’(x) = v’(u) . u’(x), isto é,
f’(x) = (derivada de v em relação a u) . (derivada de u em relação a x).
Exemplos:
I) f(x) = (x2 +5x + 7)4
Fazendo-se u = x2 +5x + 7, teremos v = u4. Assim:
f’(x) = (4u3) . u’
= 4(x2 +5x + 7) . (2x + 5)
II) f(x) = (x2 – 1)3
Considerando u = x2 – 1 e v = u3, temos:
f’(x) = 3u2 . u’
= 3(x2 – 1)2 . (2x)
6x(x2 – 1)2
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Regras de derivação
Decorrem da derivada da função composta as seguintes regras de definição, onde v(x) é
uma função real derivável:
f(x) = [v(x)]n
f’(x) = n[v(x)]n-1 . v’(x)
f(x) = av(x)
f’(x) = av(x) . ln a . v’(x)
f(x) = loga v(x)
Derivadas sucessivas de uma função
Seja f’ a função derivada de uma função f, num intervalo aberto I. Se f’ é derivável em I
podemos considerar a função f” derivada de f’ em I. Tal função recebe o nome de derivada
segunda de f em I. De modo análogo podemos definir as derivadas terceira, quarta etc., de f em I.
Estas derivadas serão indicadas por uma das notações:
f”; f(2);
;
; y”
derivada segunda
f’”; f(3);
;
; y’”
derivada terceira
f(n);
;
; yn
derivada de ordem n
Exemplos:
1. f(x) = x2
f’(x) = 2x
f”(x) = 2
f”’(x) = 0
f””(x) = 0
2. f(x) = x4 – x3
f’(x) = 4x3 – 3x2
f”(x) = 12x2 – 6x
f”’(x) = 24x – 6
f”’’(x) = 24
f(5)(x) = 0
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3. f(x) = ex
f’(x) = ex
f”(x) = ex
f”’(x) = ex
………………
f(n)(x) = ex para todo n
1
4. f(x) = e2x
f’(x) = 2e2x
f”(x) = 4e2x
f”’(x) = 8e2x
…………….
f(n)(x) = 2n e2x (derivada de ordem n)
Referências:
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MORETTIN, P. A; HAZZAN, S.; BUSSAB, W. O. Introdução ao cálculo para administração, economia e
contabilidade. São Paulo: Saraiva, 2009.
SILVA, Sebastião Medeiros et. al. Matemática: para os cursos de economia, administração,
ciências contábeis. 6ed. São Paulo: Atlas, 2010.
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