Resumo do Curso: Ondas / Duas primeiras partes Notas: Rodrigo Ramos∗ 1o . sem. 2015 – Versão 1.0 Observação: Segue o resumo das duas primeiras partes do curso – Oscilações e Osciladores. Para o curso de Engenharia elétrica foram tratados, ainda, o circuito LC (osciladores ideais) e RLC (osciladores forçados e amortecidos); Para o curso de Engenharia ambiental a discussão de exponenciais foi realizado em maior detalhamento tendo em vista sua importância para modelos populacionais. 1 Oscilações Perı́odo – T : tempo de uma oscilação completa. [T ] = s, no geral: [T ] = tempo - tempo: ano, min, semana... frequência – f : número de oscilações em um interfavalo de tempo. [f ] = s−1 = Hz, no geral: [f ] = tempo−1 – tempo: ano, min, semana... f= 1 T Descrição matemática: funções oscilantes. ∗ Caso encontre erros ou coisas do tipo, por favor me avise. [email protected], ou pessoalmente. y = A sin(ωt + φ) A: amplitude. 2π ou equivalentemente: ω = 2πf T φ: fase, ângulo (em rad) em que se inicia a oscilação (adotamos a forma do seno). Utilize o diagrama. ω: frequência angular, [ω] = rad/s. ω = 2 Osciladores 1) Osciladores ideais Força restauradora em cada caso: Pêndulo simples: Peso =−mg sin(θ); Massa-mola: Força elástica = −kx. Pêndulo simples – Obedecem y = A sin(ωt + φ) – Conservam energia mecânica. Massa-mola 2) Osciladores amortecidos Em ambos a força de arrasto: F = −bv é inserida no modelo. O movimento não é mais periódico, mas tem uma parte periódica de perı́odo T . Pêndulo simples – Amplitude decresce exponencialmente. Massa-mola y A(t) = Ae−bt/m = A(t) sin(ωt + φ) – Força de resistência: proporcional e oposta à velocidade. Modelo Força de arrasto: FR = −bv. [b] = N s/m = kg/s. – Se ω = 0, ou não existir: apenas amortece exponencialmente sem oscilação (casos crı́tico e supercrı́tico). Não há oscilação, apenas A(t) descreve o movimento. – Não conservam a energia mecânica (perdem energia mecânica exponencialmente, assim como a amplitude) 3) Osciladores forçados e amortecidos Exemplo de oscilador forçado–amortecido. – Forças externas oscilantes (têm frequência). – Forças externas repõem a energia perdida pelo amortecimento. – Oscilação (final, ou estacionária) do sistema: Mesma frequência da força externa. – Diferentes frequências da força externa levam à diferentes respostas (amplitudes) de oscilação. – Exibem o fenômeno de Ressonância – máxima amplitude de oscilação para uma frequência caracterı́stica do sistema (ou frequencia natural), a Frequência de Ressonância). Figura abaixo, equação no quadro–resumo. Fonte da figura: http://www.physics.louisville.edu/cldavis/phys298/notes/resonance.html Amplitude do oscilador forçado amortecido como função da frequência da força externa. Três curvas para diferentes valores de coeficiente de arrasto são exibidas. Quadro – Resumo (Fórmulas) Modelo ω s Massa-mola oscilação da posição k m A k b2 − m 4m2 Ae−bt/m Ideal s Amortecido Forçado Amplitude ω → Força F0 /m s (ω 2 − ω02 )2 + g L A b2 g − L 4m2 Ae−bt/m r Pêndulo simples Ideal s oscilação do arco Lθ Amortecido Forçado ω → Força F0 /m s (ω 2 − ω02 )2 + *ω0 = ω da situação ideal. b2 ω 2 m2 b2 ω 2 m2
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