Com base na representação gráfica das funções f , g e h:
Matemática
Ficha de Trabalho
Exercícios e problemas sobre FUNÇÕES RACIONAIS
11ºano
Exercício 1
Considera a função real de variável real h, definida por h( x ) =
x+6
.
x −3
a) Indica, caso existam:
a) Indica o domínio de h e os seus zeros.
a1) lim f ( x ) =
b) Indica as coordenadas do ponto de intersecção do gráfico de h com o eixo das
a2) lim f ( x ) =
x → +∞
x → −∞
ordenadas.
a3) lim f ( x ) =
c) Determina o conjunto solução da condição h( x ) ≥ x − 2
x → −1+
k
e indica as equações das
x−b
a4) lim f ( x ) =
9
e) O gráfico de h obtém-se do gráfico da função g, definida por g ( x ) = , por uma
x
a6) lim g ( x ) =
d) Escreve a expressão analítica de h na forma a +
assimptotas do gráfico
x → −1−
a5) lim f ( x ) =
x → −1
x → +∞
a7) lim g ( x ) =
→
x → −∞
translação associada a um vector v . Indica as suas coordenadas.
a8) lim g ( x ) =
x →0
b) Comenta a afirmação:
“ lim h( x ) = 4 ”
x →3
Exercício 2
Na figura está a representação gráfica de uma função f.
a) Atendendo aos dados, mostra que f ( x ) =
−x + 1
x+2
b)
pontos
Determina
as
coordenadas
dos
Exercício 4
Considera as funções reais de variável real g e h, definidas por:
g( x ) =
de
intersecção do gráfico de f com a recta de equação
h( x ) =
x 3 − x 2 − 14 x + 24
x2 − 4
b) Simplifica a expressão designatória que define a função h, e indica o domínio
c) Calcula, caso existam, os seguintes limites:
x → +∞
e
a) Determina as equações das assimptotas do gráfico de g.
y = x − 1.
c1) lim f ( x )
x2 −1
8−x
c2) lim f ( x )
x → −∞
de validade da simplificação
c3) lim f ( x )
x → −2
c) Determina as soluções naturais da condição g ( x ) >
Exercício 5
Exercício 3
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1
x
Página 1
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Considera a função definida por h( x ) =
2x + 3
.
x −1
Qual das seguintes expressões analíticas pode definir a
função cujo gráfico se encontra representado ao lado?
Podemos afirmar que:
(A) D h = IR
e
(A) f ( x ) = 2 x + 3
D' h = IR
(B) D h = IR \ {1 } e
D' h = IR
(C) D h = IR \ {1 } e
D' h = IR \ { 2 }
(D) D h = IR \ { 2} e
D' h = IR \ {1 }
(C) f ( x ) =
Exercício 6
(B) f ( x ) = x 2 −
3
2
(D) f ( x ) =
2
x
3
1
x −3
Exercício 8
x−4
Considera a função f ( x ) = 2
. Podemos afirmar que o domínio da função é:
x −1
Seja f ( x ) =
(A) D h = IR
O domínio da função f é:
(B) D h = IR \ {1 }
x +1
1− x 2
(A) IR \ { − 1 , 1 }
(B) IR \ {1 }
(C) IR \ { − 1 }
(D) IR
(C) D h = IR \ { − 1 , 1 }
(D) D h = IR \ {1 , 4 }
Exercício 10
x +3
 1
Seja f uma função real de variável real de domínio IR \   , definida por f ( x ) =
.
2x − 1
2
Exercício 7
Sendo f uma função real de variável real, sabe-se que:
•
f (1) = −1
O gráfico desta função tem por assimptotas as rectas de equações:
•
D h = IR \ { − 2}
(A) y =
•
Quando x → +∞ , y → 0
•
Quando x → −∞ , y → 0
1
1
; x=−
2
2
(C) y = −
1
1
; x=−
2
2
(B) y = −
(D) y =
1
1
; x=
2
2
1
1
; x=
2
2
Então, o gráfico de f pode ser:
Exercício 11
A figura representa parte do gráfico de uma função f.
Qual das seguintes expressões pode definir f?
(A) f ( x ) = x + 1 +
(C) f ( x ) =
x+2
x2 +1
2
x −1
(B) f ( x ) =
2 + x2
x −1
(D) f ( x ) =
x2 −1
x −1
Exercício 12
Exercício 8
Sejam A( x ) = x 2 + 3 x + 2 e B( x ) = 1 − x 2
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Página 3
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O gráfico da função f ( x ) =
II – Existem funções racionais que não têm zeros
A( x )
tem:
B( x )
III – Todas as funções racionais têm pelo menos uma assimptota vertical
(A) três assimptotas
IV – Nem todas as funções racionais têm domínio IR
(B) duas assimptotas
As afirmações verdadeiras são:
(C) uma assimptota
(A) I e III
(B) I e IV
(C) II e IV
(D) II e III
(D) não tem assimptotas
Exercício 13
Exercício 18
1
:
Dada a função, real de variável real, definida por f ( x ) = 2
x − 2x
Determina o domínio e os zeros de cada uma das seguintes funções:
a) f ( x ) =
a) Determina o domínio e os zeros da função
x −1
b) f ( x ) =
5( x − 2) 2
x2 − 4
c) f ( x ) =
x 2 − 5x + 6
x2 − x
x 2 − 4x + 3
b) Usando uma tabela de sinais, indica o intervalo em que f ( x ) ≥ 0
c) Verifica se o gráfico da função tem assimptotas e, em caso afirmativo, indica-as.
Exercício 19
Exercício 14
Considera as funções definidas por:
1
Dada a função, real de variável real, definida por f ( x ) =
(A) IR \ { − 3 , 3
}
{
(B) IR \ − 3
x2 + 3
, o seu domínio é:
{
}
(C) IR \ − 3 , 3
}
(D) IR
f (x) =
3x 2 − 5x
g(x ) =
e
x2 − 9
2x − 6
x 2 − 5x + 6
Determina:
a) o domínio de cada uma das funções dadas
b) os zeros da função g
Exercício 15
O gráfico da função definida por f ( x ) = x +
1
x
c) as assimptotas do gráfico da função f
tem:
d) os valores para os quais g ( x ) > 0
(A) assimptota vertical x = 0 e assimptota horizontal y = 0
(B) assimptota vertical x = 1 e assimptota oblíqua y = x
(C) assimptota vertical x = 0 e assimptota oblíqua y = x
Exercício 20
(D) assimptota vertical x = 1 e não tem assimptotas não verticais
Considera as funções f e g, definidas por f ( x ) =
3x − 1
2−x
e g(x ) =
x+2
x
a) Resolve a inequação g ( x ) < x
b) Determina para que valores de x a função f é positiva
Exercício 16
As assimptotas do gráfico da função definida por f ( x ) =
c) Se as funções f e g forem representadas no mesmo referencial, para que valores de
x −2
são:
x2 − 4
(A) x = −2 ; x = 2 e y = 0
(B) x = −2 ; x = 2 e y = 2
(C) x = 2 e y = 2
(D) x = −2 e y = 0
x o gráfico de f está abaixo da assimptota horizontal do gráfico de g?
Exercício 21
Exercício 17
Considera as funções definidas por:
Considera as seguintes afirmações:
f (x) =
I – A representação gráfica de uma função racional nunca é uma recta
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5x
x+2
,
g ( x ) = 2x − 3
e
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h( x ) =
2
x
Página 6
a) Indica o domínio das funções f , g e h
b) Determina a e b, números reais, de modo que a recta
 1
b) Calcula f   e o valor para o qual a função f tende quando x → +∞
5
assímptota não vertical do gráfico da função f.
y = 2ax − 3b seja a
c) Resolve a equação f ( x ) = g ( x )
d) Determina o intervalo de números reais tais que g ( x ) ≥ h( x )
Exercício 26
e) Indica as assimptotas do gráfico da função h.
Considera a função f definida por f ( x ) =
2x + 5
x +1
a) Resolve, por processos analíticos, a inequação f ( x ) ≥ 1
b) Utiliza as capacidades gráficas da tua calculadora para resolveres a equação
Exercício 22
f (x ) = π . Apresenta o resultado arredondado às centésimas.
Indica as assimptotas oblíquas dos gráficos das funções, caso existam:
a) f ( x ) =
2x − 3x + 1
x+2
2
b) f ( x ) =
x −6
2x
2
Exercício 27
As rectas de equação
Exercício 23
x = −1 e y = 2 são assimptotas do gráfico da função f . Qual
das afirmações pode ser verdadeira?
2x 2 + x + 3
Considera a função f real de variável real definida por f ( x ) =
.
x +1
(A) f ( x ) = −1 +
a) Determina o domínio, os pontos de intersecção do gráfico com os eixos
coordenados, as assímptotas e esboça o respectivo gráfico.
(C) f ( x ) = 2 −
5
x −2
5
x +1
(B) f ( x ) = 1 −
5
x −2
(D) f ( x ) = 2 +
5
x −1
b) Determinam, algebricamente, os valores de x de modo que f ( x ) ≤ 0 .
Exercício 24
A altura, em metros, de uma árvore, t anos após o momento em que foi plantada, é
dada por h(t ) =
6t + 1
t +2
a) Com que altura a árvore foi plantada?
A professora:
b) Qual foi a variação da altura da árvore nos primeiros nove meses após ter sido
plantada?
Josefa Bastos
c) Faz um esboço do gráfico da função h (no contexto do problema)
d) Para que valor tende a altura da árvore com o decorrer dos anos?
Exercício 25
Considera o ponto A( −1 ,−3) e a função racional f definida por f ( x ) =
3x 2 + 8x − 1
1− x
a) Mostra que o ponto A pertence ao gráfico da função f.
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