ESCOLA SECUNDÁRIA DE MAXIMINOS
AGRUPAMENTO DE MATEMÁTICA
maxi
minus
FICHA DE TRABALHO
escola sec.
de maximinos
DERIVADAS
1. Calcula a expressão algébrica da função derivada de cada uma das funções:
a)
e)
√5
√
b)
f)
√
c)
g)
d)
5
h)
2. Utilizando a definição de derivada, escreve a expressão da função derivada de:
2
1
a)
b)
3. Seja a função real de variável real tal que:
f é uma função quadrática par ; f(2)=−1 e f´(2)=2
a) Apresenta uma equação da recta tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa 2.
b) Define analiticamente a função f.
4. Sejam f e g duas funções reais de variável real ao lado
representadas.
a) Estuda o sinal de:
a1) f´ a2) f´× g
a3) f´ × f
a4) (1/g)´
b) Seja g uma função quadrática.
b1) Prova que
4
b2) Escreve uma equação da recta tangente ao gráfico de g , perpendicular à recta de
equação
2
1
5. Qual dos seguintes gráficos representa uma função e a respectiva derivada?
6. Escreve uma equação da tangente ao gráfico da função
no ponto de abcissa 1.
7. Considera a função g definida por
a) Determina, por dois processos diferentes, a expressão algébrica da função derivada de g .
b) Mostra que a recta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa m intersecta o eixo Oy no ponto
de ordenada
8. Sejam as funções f e g definidas por
e
a) Escreve a expressão de f´(x) e a de g´(x).
b) Determina as equações das tangentes aos gráficos de f e g no ponto de abcissa 2.
c) Prova que g´ tem zeros e que, no entanto, a função g não tem extremos relativos.
9. Determina uma equação da tangente ao gráfico de :
no ponto de abcissa nula.
Existirá outra tangente ao gráfico de f paralela a esta? Se existir, determina-a.
1
10. Estuda a variação da função definida por
11. A recta tangente ao gráfico de uma função f definida por
num ponto A é paralela
à recta de equação
2
1. Indica as coordenadas A e escreve a equação da recta tangente ao
gráfico de f nesse ponto, sabendo que A é um ponto de abcissa positiva.
12. Seja a função real de variável real
3
a) Determina os intervalos de monotonia de f e os seus extremos.
b) Indica, justificando, qual o contradomínio da restrição de f a
c) Determina os pontos do gráfico onde a tangente é paralela à recta de equação
3
13. A diferença de dois números é 4.
Calcula os números sabendo que o produto de ambos é mínimo.
14. A Inês pretende colocar no jardim de sua casa uma piscina rectangular
com 50 m2 de área.
a) Prove que o perímetro da piscina é dado pela expressão:
100
2
b) Determine a expressão de P'(x) .
c) Determine as dimensões da piscina para que o seu perímetro seja
mínimo.
d) Faça a representação gráfica da função P e determine, a menos de 0,01, o valor de x para o qual a
função é mínima.
Compara o resultado com o resultado obtido em c).
15. Uma nova empresa de refrigerantes pretende lançar no mercado embalagens de
sumo de fruta com capacidade de dois litros.
Por questões de marketing, as embalagens deverão ter a forma de um prisma
quadrangular regular.
a) Mostre que a área total da embalagem é dada por:
(x é o comprimento da aresta da base, em decímetros).
Nota: Recorde que 1 litro = 1 dm3.
b) Utilizando métodos exclusivamente analíticos, mostra que existe um valor de x para
o qual a área total da embalagem é mínima e determine-o.
16. A figura representa um copo cilíndrico com 10 centímetros de altura e cujo
diâmetro da base mede 6 centímetros. Dentro do copo está um berlinde de raio r.
a) Qual é o valor máximo de r?
b) Representa por V o volume de água necessário para cobrir exactamente o
berlinde.
Determina r de modo que V seja máximo.
a) 3cm
b)
18
; √
BOM TRABALHO!