Escola Secundária Dr. Júlio Martins I Ano lectivo: 2005/2006 I 12º Ano I Turmas: B e C
Resumo do Tema Sucessões
1. Definição: Uma sucessão de números reais, ( an ) , é uma função real de variável
natural em que o domínio é o conjunto dos números naturais IN .
n é a urdem do termo ( n ∈ IN ) ; an é o termo de ordem n ( an ∈ IR ) ; ( an ) é a
sucessão.
2. Sucessões monótonas:
Uma sucessão ( an ) é crescente se e só se ∀n ∈ IN , an +1 − an ≥ 0 .
Uma sucessão ( an ) é estritamente crescente se e só se ∀n ∈ IN , an +1 − an > 0 .
Uma sucessão ( an ) é decrescente se e só se ∀n ∈ IN , an +1 − an ≤ 0 .
Uma
sucessão
( an )
é
estritamente
decrescente
se
e
só
se
∀n ∈ IN , an +1 − an < 0 .
3. Sucessões limitadas.
Definição: Uma sucessão ( an ) é limitada se existirem dois números reais m e
M t ais que m ≤ an ≤ M , ∀n ∈ IN .
O número m é minorante do conjunto dos termos da sucessão ( an ) se e só se m
é menor ou igual que qualquer termo de ( an ) .
O número M é majorante do conjunto dos termos da sucessão ( an ) se e só se M
é maior ou igual que qualquer termo de ( an ) .
4. Progressões aritméticas.
Definição: Uma sucessão
( an )
é uma progressão aritmética se existe um
número real r , tal que an +1 − an = r , ∀n ∈ IN .
Ao número r chama-se razão da progressão aritmética,
Propriedade: O termo geral an de uma progressão aritmética é dado por
an = a1 + ( n − 1) × r .
an = a p + ( n − p ) × r , sendo a p um termo qualquer.
Monotonia:
Se r > 0 , ( an ) é estritamente crescente.
Se r < 0 , ( an ) é estritamente decrescente.
Se r = 0 , ( an ) é constante.
Soma dos termos de uma progressão aritmética.
Propriedade: Em n termos consecutivos de uma progressão aritmética, a soma
dos termos igualmente distanciados dos extremos é igual à soma dos
extremos.
Propriedade: A soma, S n = a1 + a2 + ... + an −1 + an , dos n primeiros termos de uma
progressão aritmética ( an ) é dada por S n =
a p + a p +1 + ... + an−1 + an = Sn− p +1 =
a1 + an
×n.
2
a p + an
× ( n − p +1) = Sn − S p−1 .
2
Professor: António Alfredo Duarte Lopes
1
Escola Secundária Dr. Júlio Martins I Ano lectivo: 2005/2006 I 12º Ano I Turmas: B e C
5. Progressões geométricas.
Definição: Uma sucessão
( an )
de termos não nulos é uma progressão
geométrica se existe um número real r , tal que
an +1
= r , ∀n ∈ IN .
an
Ao número r chama-se razão da progressão geométrica.
Propriedade: O termo geral an de uma progressão geométrica é dado por
an = a1 × r n −1 .
an = a p × r n − p , sendo a p um termo qualquer.
Monotonia:
Se r < 0 , ( an ) não é monótona.
Se 0 < r < 1 e a1 < 0 , ( an ) é monótona crescente.
Se 0 < r < 1 e a1 > 0 , ( an ) é monótona decrescente.
Se r = 1, ( an ) é constante.
Se r > 1 e a1 < 0 , ( an ) é monótona decrescente.
Se r > 1 e a1 > 0 , ( an ) é monótona crescente.
Soma dos termos de uma progressão geométrica.
Propriedade: A soma, S n = a1 + a2 + ... + an −1 + an , dos n primeiros termos de uma
progressão geométrica ( an ) é dada por S n = a1 ×
1− rn
, r ≠ 1.
1− r
1 − r n− p+1
a p + a p +1 + ... + an−1 + an = Sn− p+1 = a p ×
= S n − S p−1 .
1− r
6. Limites de Sucessões.
Definição: Diz-se que uma sucessão ( an ) converge para um número real L se,
qualquer que seja o número real positivo δ , existe uma ordem p tal
que, a partir dessa ordem, an − L < δ .
Simbolicamente: lim ( an ) = L ⇔ ∀δ > 0 ∃p ∈ IN : n > p ⇒ an − L < δ .
lim ( an ) = L ⇔ ∀δ > 0 ∃p ∈ IN : n > p ⇒ L − δ < an < L + δ .
Infinitamente grandes:
Definição: Diz-se que uma sucessão
( an )
é infinitamente grande positivo e
escreve-se lim ( an ) = +∞ ou an → +∞ se e só se, qualquer que seja o
número positivo L , existe uma ordem a partir da qual os termos de ( an )
são maiores que L .
Simbolicamente: an → +∞ ⇔ ∀L > 0 ∃p ∈ IN : n > p ⇒ an > L .
Professor: António Alfredo Duarte Lopes
2
Escola Secundária Dr. Júlio Martins I Ano lectivo: 2005/2006 I 12º Ano I Turmas: B e C
Definição: Diz-se que uma sucessão
( an )
é infinitamente grande negativo e
escreve-se lim ( an ) = −∞ ou an → −∞ se e só se, ( −an ) é um
infinitamente grande positivo
Definição: Diz-se que uma sucessão ( an ) é infinitamente grande em módulo e
escreve-se lim ( an ) = ∞ ou an → ∞ se e só se, ( an
)
é um infinitamente
grande positivo
Classificação das sucessões quanto à existência e natureza do limite:
Sucessões
Convergentes : an → L , em que




 Divergentes (não convergentes)



L é um n.º real
Pr opriamente divergentes :

an → +∞; an → −∞

Oscilantes :
n

an → ∞ ou an = ( −1) por exemplo
Definição: Subsucessão de uma sucessão dada é uma sucessão que se obtém da
primeira suprimindo alguns termos.
Propriedade: Todas as sucessões que tendem para +∞ ou são crescentes ou têm
subsucessões crescentes.
Propriedade: Se uma sucessão é um infinitamente grande não é limitada.
Se uma sucessão é não limitada e não é um infinitamente grande,
então:
• admite pelo menos uma subsucessão que é um infinitamente
grande;
• admite pelo menos uma subsucessão limitada.
Teoremas sobre infinitésimos e infinitamente grandes:
 1 
Teorema: Se ( an ) é um infinitamente grande e an ≠ 0, ∀n ∈ IN , então   é um
 an 
infinitésimo.
 1 
Teorema: Se ( an ) é um infinitésimo e an ≠ 0, ∀n ∈ IN , então   é um
 an 
infinitamente grande.
Teoremas sobre sucessões convergentes:
Teorema da unicidade do limite: O limite de uma sucessão convergente é único.
Teorema: O limite de uma sucessão constante é a própria constante.
Teorema: Toda a sucessão monótona e limitada é convergente.
Teorema: Se uma sucessão ( an ) é convergente para L , qualquer subsucessão de
( an ) é convergente para L .
Propriedade: Se duas ou mais subsucessões de uma sucessãosão convergentes
para o mesmo limite L e englobam entre si todos os termos da
sucessão então o limite da sucessão é L .
Professor: António Alfredo Duarte Lopes
3
Escola Secundária Dr. Júlio Martins I Ano lectivo: 2005/2006 I 12º Ano I Turmas: B e C
Operações com sucessões convergentes.
Teorema: Se ( un ) e ( vn ) são duas sucessões convergentes com limites,
respectivamente, a e b , então ( un + vn ) é convergente e tem por limite
a +b.
Teorema: Se
( un )
e
( vn ) são
duas sucessões convergentes com limites,
respectivamente, a e b :
• a sucessão ( un × vn ) é convergente para a × b .
u 
a
a sucessão  n  é convergente para , desde que vn ≠ 0, ∀n ∈ IN
b
 vn 
e b ≠ 0.
Consequências do Teorema:
1. Se ( un ) é convergente e k ∈ IR (constante), então lim k × un = k × lim (un ) .
•
(
)
e
são
sucessões
convergentes,
então
( un )
( vn )
lim ( un − vn ) = lim ( un ) − lim ( vn ) .
p
p
3. Se ( un ) é convergente e p ∈ IN , então lim ( un ) = ( lim (un ) ) .
Teorema: Se ( un ) é convergente e p ∈ IN , então ( p un ) é convergente (supondo
que un ≥ 0, ∀n ∈ IN se p é par) e tem-se: lim p un = p lim ( un ) .
Teorema das sucessões enquadradas: Se ( un ) e ( vn ) são duas sucessões
2. Se
convergentes com o mesmo limite a e se, a partir de certa ordem, a
sucessão ( wn ) é tal que un ≤ wn ≤ vn , então, lim ( wn ) = a .
Teoremas:
• lim un = lim un .
•
Se na sucessão convergente
lim ( un ) ≥ 0 .
•
( un ) é,
a partir de certa ordem, un ≥ 0 , então
Se ( un ) e ( vn ) são sucessões convergentes, e, a partir de certa ordem se tem
un ≥ vn , então lim (un ) ≥ lim ( vn ) .
Operações com limites infinitos.
Teorema: Se ( un ) tende para a ≠ 0 (finito ou infinito) e
( vn )
é um infinitamente
grande, então ( un × vn ) é um infinitamente grande.
Nota: ( +∞ ) × ( +∞ ) = +∞
Se a > 0 :
Se a < 0 :
( +∞ ) × ( −∞ ) = −∞ ( −∞ ) × ( +∞ ) = −∞ ( −∞ ) × ( −∞ ) = +∞
a× ( +∞ ) = +∞
a× ( −∞ ) = −∞
a× ( +∞ ) = −∞
a× ( −∞ ) = +∞
a
a
= 0 , a ∈ IR ( a é finito)
= ∞ , a ≠ 0 ( a é finito ou infinito)
∞
0
Teorema: Se un → a , com a ∈ IR , e ( vn ) é um infinitamente grande, então ( un + vn )
é um infinitamente grande.
Professor: António Alfredo Duarte Lopes
4
Escola Secundária Dr. Júlio Martins I Ano lectivo: 2005/2006 I 12º Ano I Turmas: B e C
Se a ∈ IR :
Nota: ( +∞ ) + ( +∞ ) = +∞
a + ( +∞ ) = +∞
a + ( −∞ ) = −∞
( −∞ ) + ( −∞ ) = −∞
p
Teorema: Se un → +∞ , então ( un ) → +∞ , ∀p ∈ IN .
p
Nota: ( +∞ ) = +∞ , ∀p ∈ IN
∞ p = ∞ ( p ∈ IN )
p
p
Se p é par, ( −∞ ) = +∞
Se p é ímpar, ( −∞ ) = −∞
Teorema: Se un → +∞ e un ≥ 0, ∀n ∈ IN , então
Nota:
p
∞ = ∞ ( p ∈ IN )
∞
Indeterminações: 0×∞
un → +∞ , ∀p ∈ IN .
0
0
∞
( )
p
∞−∞
Sucessão a n , a ∈ IR .
•
•
•
Se a ≤ −1 ou a > 1 a sucessão é divergente.
Se −1 < a < 1 a sucessão é convergente para zero.
Se a = 1, a n = 1 é constante e convergente para um.
Soma de todos os termos de uma progressão geométrica:

1 − r n  u1
.
Se r < 1 , então S = lim  u1 ×
=
1− r  1− r

O número de Neper e .
Definição: O número e é um número irracional, isto é, corresponde a uma dízima
n

1
infinita mão periódica. un = 1 +  ; ( un ) é uma sucessão monótona crescente e
n

n
n


1
1
limitada 2 ≤ 1 +  < e , ∀n ∈ IN
lim 1 +  = e ; 2,718281828459...
n
n


Cálculo de limites de sucessões envolvendo o número de Neper.

x
Propriedade: Se x ∈ IR e un é um infinitamente grande, então lim 1 +
un

n

x
lim 1 +  = e x
n

e

x
lim 1 +
un

un



= ex .
un



= e x , com x ∈ IR .
O número de Neper na matemática financeira.
n×t

i
M = C × 1 +  ; C é o capital inicial; i é a taxa de juro nominal; n é o n.º de
n

capitalizações por ano; t é o número de anos de duração da capitalização e M é o
capital acumulado,
Para capitalizações contínuas:

i
n → +∞ logo M = lim C × 1 + 
n

n×t
t
n


i 
= C × lim 1 +   = C × ei×t
n  


Professor: António Alfredo Duarte Lopes
5