Análise Matemática II – ano lectivo 2006/2007
III- Séries
1. Sucessões ( breves revisões)
Def. 1.1 Chama-se sucessão de números reais, ou sucessão, a
uma aplicação de N → ℜ (por vezes considera-se Ν 0 = Ν {0} ).
u: N → ℜ
Utiliza-se a notação u n para designar u(n) (expressão geradora) e
( u n ) para a sucessão, isto é o conjunto das imagens da aplicação u:
u1, u2 , u3 ,..., u n ,....
Exemplo
n
2
1 2 3
n
( u n ) = , , ,..., ,...
2 2 2
2
u(n)= u n =
Def.1.2 Uma sucessão ( u n ) diz-se convergente para um
número real a , se e só se lim u n = a
n →+∞
- Soma dos termos de uma sucessão Def. 1.3
Dada uma sucessão
(un ) ,
chama-se soma dos n
primeiros termos da sucessão a S n = u1 + u2 + u 3 +...+ u n =
n
ui
i =1
Def. 1.4 A sucessão (a n ) de termo geral a n = a n −1 + r
designa-se progressão aritmética
e ( g n ) de termo geral g n = g n −1 × r , com r constante real
designa-se progressão geométrica.
6 ª aula teórica
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Exemplos
n
1 1 1 1
1
,...
( u n ) = , , , ,...,
2 4 8 16
2
( u n ) =1,3,5,7,9,…,(2n-1),…
P. G. de r=1/2
P.A. de r=2
Teorema 1.5
Sejam (a n ) progressão aritmética e ( g n )
progressão geométrica de razão r, então as somas dos n primeiros
termos são respectivamente:
n
a +a
(1) S n = a i = 1 n n
2
i =1
(2)
1− rn
S n = g i = g1
1− r
i =1
Obs.:
n
numa progressão geométrica podemos ter:
1 − r n +1
Sn = gi = g0
1− r
i=0
n
2.
Séries
2.1
Séries numéricas
O que é uma série ?
Def.2.1
A série é a soma, se existir, de todos os termos de
uma sucessão. Sendo ( u n ) uma sucessão de números reais,
chama-se série de termo geral u n a qualquer das expressões:
+∞
u n = u1 + u2 + u 3 +...
n =1
Def.2.2
Ao símbolo
+∞
u n denomina-se série numérica
n= 0
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Mas faz sentido falar da soma de infinitos termos?
É impossível encontrar uma soma para a série seguinte
+∞
n =1+2+3+4+5+6+...+n+...
n =1
porque se começarmos a adicionar os termos obtemos as somas
cumulativas
1,3,6,10,15,21...,
1+ n
n ,... que se torna muito
2
grande quando n aumenta.
Contudo, se começarmos a adicionar os termos da série
+∞
1
2
1
n =1 2
1
4
1
8
= + + +
n
1
1
1
1
+
+
+ ... + n + ...
16 32 64
2
1 3 7 15 31 63
1
obteremos: , , , , , ,..., 1 −
2 4 8 16 32 64
2
n
note que à medida que n
aumenta a soma aproxima-se de 1.
Parece razoável dizer que a soma dessa sequência infinita é 1 e
escrever:
+∞
1
n =1 2
n
=
1 1 1 1
1
+ + + + ... + n + ... = 1
2 4 8 16
2
Associada à série numérica, temos a sucessão S n , de termo geral
S n = u1 + u2 + u 3 +...+ u n =
n
ui
i =1
A série diz-se convergente se existir e for finito lim S n
n →+∞
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Def. 2.3
Chama-se soma da série
+∞
u n ao limite da sucessão
n= 0
associada S n (S= lim S n ).
n →+∞
Séries Geométricas
Como foi referido a soma dos primeiros n termos de uma
progressão geométrica é dada por:
Sn =
(
g1 1− r n
1− r
),
com r ≠ 1
Logo a soma de uma série geométrica é obtida pelo seguinte
limite:
(
g1 1− r n
n → +∞ 1− r
S = lim S n ⇔ S = lim
n → +∞
)
(note: se o limite existe e
for finito a série diz-se convergente e a soma é o resultado do
limite).
É sabido que:
+∞
se
r >1
1
se
r =1
lim r n = 0
n → +∞
se - 1 < r < 1
se
r = −1
∞(sem sinal) se
r < -1
não existe
Portanto, com r ≠ 1, o único caso em que Sn tem limite finito é se
r ∈ ]− 1,1[ .
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Conclusão:
Uma série geométrica
soma é s =
(1)
(2)
a1r n −1 converge sse r < 1 e nesse caso a
n =1
a1
primeiro termo
(o mesmo que: soma =
).
1 − razão
1− r
Seja ( u n ) uma progressão geométrica de
Teorema 2.4
razão r, e
+∞
+∞
u n uma série geométrica . Então,
n= 0
+∞
a série
a série
u n é divergente para r ≥ 1
n=1
+∞
u n é convergente para r < 1
n=1
Exemplos
(1)
+∞
( 2)
n=1
n
(div.)
(2)
+∞ 2 n + 3n
(conv.)
n
n =1 6
Curiosidades!
1 - Uma bola de borracha é atirada ao chão de uma altura h e cada
vez que ressalta perde 1/5 da altura. Determine a distância total
percorrida pela bola até parar por completo.
A distância total percorrida pela bola é:
n
4
44
444
4
D = h+2 h+2
h+2
h + ... + 2
h + ... = ?
5
55
555
5
4
2 h
+∞ 4 n
D =h+ 2
h = h + 5 = h + 8h = 9 h
4
n =1 5
1−
5
A distância total percorrida pela bola é de 9h
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2) O paradoxo de Zenão de Eleia (495-435 a.c.).
Zenão, um filósofo da Grécia antiga, colocou o seguinte
problema:
“ Aquiles, colocado a dada distância da tartaruga, tenta alcança-la,
correndo; - ora (dizia Zenão), apesar de Aquiles ser atleta
olímpico, nunca poderá alcançar a tartaruga, porque, antes de
percorrer toda a distância que o separa dela, terá de percorrer
metade e antes de percorrer esta metade terá de vencer um quarto
da distância e assim sucessivas e infinitas vezes “
Considerando Aquiles a percorrer a velocidade constante
teríamos:
+∞ 1 n
T T T
Tt = + + + ... =
T mas esta é uma série geométrica
2 4 8
n =1 2
T
2 =T
de razão ½ e primeiro termo T/2, cuja soma é : Tt =
1− 1
2
Considerando Aquiles a percorrer a velocidade decrescente, em
que para percorrer a primeira metade do caminho, precisa de
tempo T/2, no quarto seguinte, T/3, no oitavo seguinte, T/4, e
assim sucessivamente.
Tt =
+∞ 1
T T T
+ + + ... =
T
2 3 4
n
n =1
(série
divergente)
assim
jamais
alcançaria a tartaruga.
Séries de Riemann ou de Dirichlet
As séries de Riemann ou de Dirichlet são séries cujo termo geral é
+∞ 1
1
do tipo α ou seja
. O critério do integral permite
α
n
n =1n
caracterizar todas as que têm α ≥ 1 de uma só vez. Com efeito:
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n
1
α
1x
ln n
dx =
se α = 1
1
1
−1
1 − α nα −1
se α > 1
A série é convergente se e só se α > 1 , pois só neste caso
n 1
dx é finito.
lim
n→ +∞ 1 xα
Para α < 1 aplicamos o Corolário da Condição Necessária de
Convergência e conclui-se que as séries são divergentes.
Teorema 2.5
Séries de Riemann ou de Dirichlet
+∞ 1
Dada a série do tipo
, α ∈ℜ , a série é :
α
n =1 n
convergente para α > 1
divergente para α ≤ 1
Exemplos
+∞ 1
(1)
n=1 n
+∞ 1
(2)
(conv.)
2
n=1 n
série harmónica (div.)
Teorema 2.6
Dada uma sucessão ( u n ) , chama-se série
Telescópica ou série de Mengoli à série
+∞
( u n − u n + k ) , k ∈Ν .
n =1
Se lim u n existir e for finito a série converge e então a soma é
n→+∞
dada por:
+∞
( u n − u n + k ) = u1 + u 2 +...+ u k − k lim u n
n =1
n → +∞
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Exemplos
(1)
(2)
(3)
+∞
−π
4
1
1
1
sol.
1 + + ... +
p
2
p
11 1
sol.
×
24 4
arctg ( n ) − arctg ( n + 1)
n =1
+∞
1
n =1 n ( n + p )
sol.
(p ∈Ν )
+∞
1
n =2 (n − 1)(n + 1)(n + 3)
Obs.:
Quando u n é uma fracção, como no exemplo anterior,
com mais de dois factores no denominador, pode-se escrever u n
na forma u n − u n + k deixando na fracção que representa u n todos
os outros factores, excepto o maior e na fracção que representa
u n + k todos os factores, excepto o menor.
Convergência de uma série de termos positivos
critérios de convergência
Vimos situações em que foi possível calcular directamente a
convergência (e divergência) de séries. Em geral não é fácil
determinar a soma da série ou concluir a sua divergência.
Teorema 2.7
Se
+∞
Condição Necessária de Convergência
u n converge
n=1
lim u n = 0
n→+∞
Corolário 2.8
Se lim u n não existe ou existindo lim u n ≠ 0 então a série
n→+∞
é divergente.
n→+∞
Exemplo: Estude a natureza da série
+∞ n + 3 n − 7
n =1 n + 7
+∞
un
n=1
.
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