UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
UNIDADE ACADÊMICA DE FÍSICA
ESTUDO DA INFLUÊNCIA DA TOPOLOGIA DE
ANÁLOGOS SÔNICOS DOS BURACOS NEGROS
SOBRE AS PROPRIEDADES FÍSICAS DE ALGUNS
SISTEMAS ATÓMICOS
(Parte II)
Fábio A. Gomes; Geusa de A. Marques
Link (Parte I)
ROTEIRO DE APRESENTAÇÃO
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Resumo
Introdução
Motivação
Resultados e Discussão
Conclusões
Abordagens Futuras
Referências
Resumo
O estudo de sistemas quânticos no espaço com diversas
topologias tem sido objeto de intensas investigações. Estudar o
comportamento de sistemas atômicos no espaço com topologia tipo
Schwarzschild é importante para sabermos como esta tipo de
topologia poderá afetar as grandezas físicas que descrevem este
sistema microscópico.
Do ponto de vista de sistemas correspondentes a sólidos, o
estudo do comportamento do átomo de hidrogênio ou de átomos tipo
hidrogênio pode ser importante para uma compreensão das
propriedades de transportes em sólidos, como por exemplo, o
transporte de cargas, propagação de ondas sonoras, etc.
Introdução
O estudo de sistemas quânticos em espaços-tempos curvos
teve inicio do final dos anos vinte para o começo dos anos trinta do
último século, quando a generalização das equações de Schrödinger
e Dirac para espaço curvo foi discutida,motivada pela idéia de se
construir uma teoria que combinasse física quântica e relatividade
geral na tentativa de se construir uma teoria quântica para a
gravitação.
A mecânica quântica nos fornece esse conjunto de leis que
descrevem o mundo microscópico com bastante sucesso. Ela os
permite explicar a estrutura de átomos, moléculas e etc.
Introdução
Erwin Schrödinger em 1926 propôs uma equação, hoje
conhecida como equação de Schrödinger, para descrever um dado
sistema microscópico. Naturalmente, essa proposta não é suficiente
para tratar todos os problemas de interesse, mas grande número de
sistemas pode ser investigado, em particular, o átomo de
hidrogênio.
Introdução
No caso do átomo de hidrogênio desprezamos, em primeira
abordagem, o movimento do núcleo e o movimento do elétron, e
admitimos que este esteja submetido a um potencial Coulombiano
devido ao núcleo. Assim, usando a equação de Schrödinger
podemos obter a função de onda e os níveis de energia do átomo.
Esse tratamento é feito numa situação em que o sistema, ou
seja, o elétron, possa estar em qualquer parte de um dado plano
perpendicular a um eixo que passa pelo núcleo do átomo.
Motivação
Como o som se propagaria nesse sistema quando o mesmo se
encontrar em um meio que apresente uma estrutura tipo
Schwarzschild com propriedades tais que o raio de Schwarzschild
seja maior que o raio da distribuição de matéria que contém ao
átomo de hidrogênio? Será que teremos uma espécie de buraco
negro sonoro ( não apresentado colapso da luz no raio de
Schwarzschild, e sim colapso do som? )
Resultados e Discussão
“O que é um buraco negro acústico?”
Os Buracos mudos,”são análogos sônicos dos buracos
negros”.Imaginemos um fluido,como a água caindo numa cachoeira,
acelerando até ultrapassar a velocidade do som. Agora, imagine que
há um ponto, na queda d'água, em que a velocidade da água
ultrapassa a do som; qualquer sinal sonoro nesta região não
escapará, o som vai até um certo ponto e depois é vencido pela
água, estes são os chamados chamados de buracos sônicos, são os
análogos sônicos dos buracos negros. Embora esses buracos sônicos
tenham suas leis governadas pela hidrodinâmica, e os buracos
negros objetos gerados a partir dos restos de estrelas que são tão
compactos que sua gravidade não deixa nem a luz escapar. Este
paralelo pode ser útil para realizar estudos sobre buracos negros
que jamais poderiam ser feitos com um buraco negro gravitacional
Figura 2 -: Um modelo fictício exibindo um horizonte acústico. As setas
indicam a orientação da velocidade do fluido (v). O horizonte de eventos
análogo (horizonte de eventos acústico) ocorre quando a velocidade do
fluido (v) torna-se iguala velocidade do som (vs ).
Impressão artística
aprisionadas
de
ondas
sonoras
Dificuldades em Física de Buracos negros
Buracos negros (BN) são os objetos mais fascinantes
em Relatividade Geral.
Fenômenos quânticos e clássicos são previstos. Por exemplo,
Radiação Hawking (quântico)
: emissão térmica de BNs
Modos quasinormais (clássico)
: oscillações característica
de BNs
Dificuldades para se observar.
Modelos alternativos se fazem necessários!
Figura 1 - Representação de um buraco negro
O que é um buraco negro acústico?
“BN acústico” = Fluido transônico
Região sônica
Região do BN acústico
= horizonte sônico
c sef
v  cs  0
v  cs  0
v  cs  0
Velocidade “efetiva” do som no lab.
c s : velocidade do som
v : velocidade do fluido
c  v  cs
ef
s
Na região supersônica,
Ondas sonoras não se popagam no fluido
→ “Buraco negro acústico”
M. VISSER and S.E.C. Weinfurtner,. Classical and Quantum
Grav., 12, 2493, 2004.
Nesse modelo, o potencial velocidade é dado por
Onde A e B são constantes reais e ϕ apresenta um redemoinho em
torno da origem.
Impressão artística: Simula um buraco negro com rotação | A velocidade
radial do fluido é direcionada para o centro do “Buraco Negro”.
No estudo dos buracos mudos (análogos sônicos dos buracos
negros), tivemos que considerar para um fluido irrotacional a seguinte
métrica (VISSER,2004)

ds   v  v f
2
2
s
2

r r
r r
dt  2v f .dxdt  dx.dx
2
(1)
2
v
Onde
s é a velocidade do som em relação ao fluido Vf é a
velocidade do fluido.
O fluido é irrotacional, então a velocidade v pode ser escrita na
r
forma:
v  
Onde Φ pode ser dado por (VISSER, 2004)
A métrica dada por (1) torna-se
 2 A2  B 2  2
A
2
2
2
2
ds    v s 
dt

2
drdt

2
Bd

dt

dr

r
d


dz

r2 
r

2
Abordagem relativística
Levando em conta as mesmas considerações feitas para abordagem não
relativística e fazendo o parâmetro A = 0, temos a seguinte métrica
 2 B2  2
ds    v s  2  dt  2Bd dt  dr 2  r 2d 2  dz 2 .
r 

2
2
Observe na métrica acima que se identificarmos v s com a
velocidade da luz, e fizermos o parâmetro B = 0, obtemos a
métrica de Minkowski (espaço-tempo plano).
Agora, usando o método de ondas parciais,podemos expressar
a função de onda ψ(r,θ) como uma combinação de uma onda
incidente ψinc(r,θ) mais uma onda espalhada ψesp(r,θ),isto é
  r,   inc  r,   esp  r, 
ou
r 
  r ,  
 exp r cos   
i
f   exp r  (2)
r
Mas
exp  ir cos   
m 

m 
 i m J m  r  exp im 
m
r 
J m  r  

2
m  

cos  r 
 
r
2
4

Portanto, substituindo as equações (3),em seguida em (2),obtemos
2 m m
m  
i

  r,  

i cos  r 
  exp  im  
f   exp  ir 

r m
2
4
r

r 
Vamos considerar agora
1
2
1
2
 2BEl l 
 2BEl l 
il
il


r
e


r
,


C


r
e










l
l
2
2
2
2
l
 2Vs
 2Vs
 l  r ,   J 
2
2
(3)
Onde

  Cl
r 
l


 2 BEl l 2 
2
  il

cos r  
  
e
2


r
2
V
4
4
 s





1
2
1

 
    2 BEl l 2  12   

 2 BEl l 2  2
 

i

r




i

r















2
2
    2Vs 4  4  
 2V
4 
4  
 
 s



1
2

   il




Cl e
e
e



2 r l




Assim teremos
 i r l  4  i r  4   il
1
2
i




  r ,  
C
e

e
e

f   eir



l
2 r l
r


Das expressões anteriores obtemos

i
1
2
i
1
2
e 4 eil 
f   

 Cl e
2 r l
r
2 r l
1
2


1


 2 BEl l 2  2  
   

2
2  4 
 2Vs
i 
 il
i  l  
2
1
4  il

e
e 

r l
2
e
2
C e
r l l

 2 BEl l 2


2
2
 2Vs
i
1

2

   
4


eil
(4)
Então


i  l  
4

e
e
1


 2 BEl l 2  2


i 
    Cl 
 2V 2

2
4
 s



Como
Cl  e
1
2
 2 BEl l 
 Cl  l  
  
2
2
V
2
 s
2
1

2 2
 2 BEl

l
i  l 


 2V 2
2 

s








(5)
Substituindo (5) em (4),obtemos
f    e
i

4
e
i

4
 i  l  2 BEl  l 2  12 

 
  Vs 2

 il



1


e

1

e  f   

2 l 



 i  l  2 BEl  l 2  12 

 
  Vs 2

 il



1


e

1

e

2 l 



(6)
O qual
1
1




2
2




2
BEl
1
2
BEl
i  l   2  l 2     2 l i   l   l   2  l 2   



2   Vs
 
 
  Vs




(7)
Conclusão
Diante da análise feita para o sistema atômico na presença da
análogo sônico do buraco negro observamos que as equações (6) e
(7),exibem dependência com o parâmetro de velocidade do fluido via
constante B.
Em decorrência disto,as propriedades físicas são afetadas pela
presença do análogo sônicos do buraco negros.Essa configuração de
buraco negro exibe uma amplitude de espalhamento não nulo.
Abordagem Futura
Estudo de geodésicas em buracos negros e seus
análogos em matéria condensada.
Motivação Teórica
A importância de se evidenciar os efeitos da geometria e
da topologia do espaço sobre o comportamento das geodésicas
evidenciando as condições de estabilidade de trajetórias e a
necessidade de se ter um laboratório para experimentação de
efeitos gerados por um cenário físico análogo ao dos buracos
negros, dando assim um maior suporte físico á teoria.
Projeto de experimento de um BN
acústico:
Buraco negro em De Laval Nozzle
“De Laval Nozzle”:
Convergente-Divergente Nozzle
Forma do Da Laval Nozzle (Univ. de
Kyoto)
Gargalo
61.6mm
61.6mm
b=8mm
100mm
100mm
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
DOWKER, J. S . Nuovo Cim. B52 (1967), 129; BEZERRA, V. Barbosa. Gravitational
analogue of the Aharonov-Bohm effect in four and three dimensions. Physical Review.
Estados Unidos, v. 2, n. 6, p. 2031-2058, 1987.
VILENKIN, Alexander. Gravitational field of vacuum domain walls and strings. Physical
Review. Estados Unidos, v. 8, n. 7, p. 852-970, 1980.
MARQUES, Geusa de A., Alguns resultados sobre os efeitos da geometria e da
topologia sobre níveis quânticos, 2003. Tese de Doutorado em Física, Universidade
Federal da Paraíba, João Pessoa.
TIPLER, P. A., Física Moderna, Rio de Janeiro, LTC Editora, 2001. 515p.
BASAK. General Relativity and Quantum Cosmology. Disponível em
<http://arXiv.org/abs/gr-qc/0501097> Acesso em 15 de fevereiro de 2006.
VISSER,M.,and Weinfurtner, S.E.C.. Vortex analogue for the equatorial geometry of the
Kerr black hole. . Clássica and Quantum Gravity, Inglaterra. v. 12, n. 9, p. 2493-2581,
2004.
UNRUH, W. G., Sonic analogue of black holes and the effects of high frequencies on
black hole evaporation. Physical Review. Estados Unidos, v. 51, n. 6, p. 51-70, 1995.
Obrigado!!!!!
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