A Máquina Crossbow – Leonardo da Vinci FÍSICA EXPERIMENTAL I José Fernando Fragalli Departamento de Física – Udesc/Joinville MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS “ A Ciência está escrita neste grande livro colocado sempre diante dos nossos olhos – o Universo – mas não podemos lê-lo sem aprender a linguagem e entender os símbolos em termos dos quais está escrito. Este livro está escrito na linguagem matemática” – Galileu Galilei Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 1. Introdução – O Método Científico 2. Medidas 3. Algarismos Significativos 4. Acurácia e Precisão do Instrumento de Medida 5. Prefixos do SI e Notação Científica 6. Critérios de Arredondamento 7. Operações com Algarismos Significativos Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 1. INTRODUÇÃO – O MÉTODO CIENTÍFICO O Método Científico Definir e/ou indentificar o problema Passo a passo do método científico Formular uma hipótese Fazer observações (medidas de grandezas físicas) Testar hipótese/Fazer experimentos Organizar e analisar dados (tratamento de dados) Os experimentos e observações concordam com a hipótese? Fazer conclusões Nao!! Devemos fazer novos experimentos! Será que houve erro nos experimentos? Sim! Publicar resultados Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 4 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 1. Introdução – O Método Científico 2. Medidas 3. Algarismos Significativos 4. Acurácia e Precisão do Instrumento de Medida 5. Prefixos do SI e Notação Científica 6. Critérios de Arredondamento 7. Operações com Algarismos Significativos Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 2. MEDIDAS Algumas definições importantes: grandeza física 1) Grandeza física: é o conceito que descreve qualitativa e quantitativamente as relações entre as propriedades observadas no estudo da natureza. a) Qualitativa: para cada conceito diferente pode haver (pelo menos em princípio) uma grandeza diferente e viceversa. b) Quantitativa: o conceito que define a grandeza é expresso na forma de um binário contendo um número e uma unidade. Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 6 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 2. MEDIDAS Grandeza física Exemplos de grandezas físicas: tempo, comprimento, distância, massa, ângulo, força. As grandezas físicas são classificadas como mostrado abaixo. a) Grandezas fundamentais (independentes): massa, comprimento e tempo, que como se sabe formam o Sistema Internacional – SI. b) Grandezas derivadas (dependentes): área, volume, ângulo, velocidade, aceleração, força, momento linear, torque, momento angular, etc… Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 7 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 2. MEDIDAS Como medir uma grandeza física? Toda grandeza física deve ser passível de ser medida. Então, surge a pergunta: como medir uma grandeza física? Medir uma grandeza física significa compará-la com outra, da mesma espécie, definida como unidade, para verificar a relação numérica entre elas. Exemplo: medida do comprimento de uma barra. Barra a ter o seu comprimento medido Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 8 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 2. MEDIDAS Como medir uma grandeza física? Para medir o comprimento estabelecer um padrão. da barra Podemos usar como padrão, por exemplo, o pé de uma pessoa. precisamos Padrão de medida para o comprimento da barra Então, qual é o valor do comprimento da barra L? L = 4,6 pés Barra e seu padrão de comparação (pés) Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 9 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 2. MEDIDAS Medidas e erros experimentais Toda medida traz consigo erros intrínsecos, isto é associados ao processo de medição. Por exemplo, qual o valor da medida do volume do líquido dentro da proveta? É 17 ml? Ou é 18 ml? Como definir cientificamente o valor da medida deste volume? Volume de líquido a ser medida com uma proveta Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 10 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 2. MEDIDAS Medidas analógicas Outro exemplo: qual o valor da medida de diferença de potencial elétrico fornecido pelo voltímetro abaixo? É 40 V? Ou é 45 V? Como definir de forma científica o valor desta diferença de potencial? Diferença de potencial medida com um voltímetro analógico Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 11 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 2. MEDIDAS Medidas e erros experimentais: medidas elétricas digitais Qual o valor da medida de tempo fornecido pelo cronômetro digital abaixo? É 2,93 s? Qual a medida? confiabilidade desta Qual é a precisão (acurácia) desta medida? Tempo medido com um cronômetro digital Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 12 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 2. MEDIDAS Apresentação das medidas e seus erros e unidades Para melhor definirmos a medida de uma grandeza física, a toda medida experimental associamos um ERRO. Este ERRO experimental tem que fazer parte do resultado da medição. G = (M M) U G Grandeza ΔM Erro da medida M Medida U Unidade Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 13 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 2. MEDIDAS Exemplos da apresentação de medidas Medida do volume de líquido em uma proveta Medida da diferença de potencial elétrica em um voltímetro analógico 17 ml < V < 18 ml V = (17,7 ± 0,7) ml 135 V < V < 140 V V = (136 ± 2) V Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 14 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 2. MEDIDAS Medidas diretas Em medidas diretas o valor a ser medido da grandeza é comparado com o valor padrão. Medida direta do comprimento de uma barra feita com uma régua milimetrada Qual o comprimento L do pedaço de madeira, desconsiderando a medida do erro experimental? L = 4,57 cm Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 15 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 2. MEDIDAS Medidas indiretas Já em medidas indiretas as mesmas são obtidas efetuando-se operações matemáticas com os resultados das medidas diretas. Medida indireta da área de uma barra feita com réguas milimetradas Qual a medida da área do pedaço de madeira? A área A do pedaço de madeira é calculada a partir das medidas de comprimento L e largura D do mesmo. Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 16 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 2. MEDIDAS Medidas indiretas: o cálculo Determinação da área da barra A LD L = 4,57 cm D = 0,43 cm A = 4,57 cm 0,43 cm A = 1,9651 cm2 A = 2,0 cm2 Individualmente, as medidas de L e D apresentam erros. Consequentemente, a medida indereta da área A também possui erros!!! Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 17 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 2. MEDIDAS Filosofia básica no laboratório A person with a watch knows what time it is. A person with two watches is never sure. Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 18 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 1. Introdução – O Método Científico 2. Medidas 3. Algarismos Significativos 4. Acurácia e Precisão do Instrumento de Medida 5. Prefixos do SI e Notação Científica 6. Critérios de Arredondamento 7. Operações com Algarismos Significativos Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 3. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Como distinguir algarismos significativos Todos os números obtidos em uma medida, acompanhados de um último duvidoso são chamados de algarismos significativos. Ou seja, na prática algarismos significativos de uma medida são aqueles que temos plena certeza, mais um duvidoso. O algarismo duvidoso está diretamente ligado à escala do instrumento de medida... …logo, algarismo duvidoso é um indicativo da escala do instrumento de medida. Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 20 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 3. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Exemplos de algarismos significativos: medidor analógico Medida do volume de líquido em uma proveta Medida da diferença de potencial elétrica em um voltímetro analógico V = (17,7 ± 0,7) ml V = (136 ± 2) V três algarismos significativos três algarismos significativos Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 21 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 3. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Exemplos de algarismos significativos: medidor digital Multímetro digital Termômetro digital T = 27 C V = 3,999 V quatro algarismos significativos dois algarismos significativos Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 22 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 3. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Algarismos significativos e instrumentos de medida O número de algarismos significativos de uma medida depende do instrumento de medida usado. Seja, por exemplo a medida da temperatura com dois termômetros de acurácia diferentes, como mostrado abaixo. Medida da temperatura feita com sensor T = 30 C T = 30,0 C Medida da temperatura feita com um termômetro de bulbo Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 23 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 3. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Algarismos significativos: exemplos de réguas Réguas com diferentes graduações fornecem a mesma medida com número de algarismos significativos distintos. dm cm mm Três réguas com diferentes graduações usadas para medir o comprimento de uma mesma barra Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 24 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 3. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Medindo o comprimento da barra com cada régua... Medidas com três réguas distintas dm cm mm Instrumento de Medida Comprimento da barra Quantidade de algarismos significativos obtidos régua decimetrada 1,1 dm 2 régua centimetrada 11,3 cm 3 régua milimetrada 113,4 mm 4 Suposição... “chute”: depende do olho do medidor. Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 25 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 3. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Mais um exemplo... Mais réguas e suas medidas dm cm mm Instrumento de Medida Comprimento da barra Quantidade de algarismos significativos obtidos régua decimetrada 1,0 dm 2 régua centimetrada 10,0 cm régua milimetrada 100,0 mm 3 4 Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 26 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 3. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Agora é a hora de vocês pensarem um pouco... A medida feita com a maior acurácia possível Qual o comprimento da barra mostrada acima? 1) 4,5 cm 2) 4,57 cm 3) 4,574 cm Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 27 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 3. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Vamos pensar mais um pouco... … e testar os conhecimentos adquiridos sobre algarismos significativos Vamos completar as tabelas acima e ao lado com a quantidade de AS correta. Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 28 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 3. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS E agora, múltiplas alternativas... Determine a quantidade de AS correta em cada caso. A. 0,030 m B. 4050 l 1 2 2 3 3 4 C. 0,0008 g 1 2 4 D. 3,00 m 1 2 3 E. 0,8340 3 5 4 Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 29 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 3. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS E as respostas corretas são... A. 0,030 m 2 B. 4050 litros C. 0,0008 g 4 1 D. 3,00 m 3 E. 0,8340 4 Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 30 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 1. Introdução – O Método Científico 2. Medidas 3. Algarismos Significativos 4. Acurácia e Precisão do Instrumento de Medida 5. Prefixos do SI e Notação Científica 6. Critérios de Arredondamento 7. Operações com Algarismos Significativos Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 4. ACURÁCIA E PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA Algumas definições A precisão da medida de uma grandeza física refere-se a reprodutibilidade desta medida quando a repetimos sob as mesmas condições. Em outras palavras, quando falamos de precisão estamos falando de quão próximo as medidas estão uma da outra quando as repetimos sob as mesmas condições. Já o termo acurácia refere-se a quão próximo a medida realizada está do valor real, previamente adotado como referência. Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 32 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 4. ACURÁCIA E PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA Distinção entre precisão e acurácia: acurado e preciso Seja uma pessoa em um jogo de dardos, testando a sua precisão e acurácia. No caso em questão apresenta alta acurácia e precisão. Alta precisão e alta acurácia no tiro ao alvo ele alta A alta acurácia está associada ao fato de todos os seus tiros estarem próximos ao centro do alvo. Já a alta precisão está associada ao fato de todos os seus tiros estarem próximos entre si, com baixa dispersão*. Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 33 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 4. ACURÁCIA E PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA Distinção entre precisão e acurácia: não acurado e preciso Neste outro caso, mostrado ao lado, ele apresenta baixa acurácia e alta precisão. A baixa acurácia está associada ao fato de todos os seus tiros estarem distantes do centro do alvo. Alta precisão e baixa acurácia no tiro ao alvo Já a alta precisão está associada ao fato de todos os seus tiros estarem distantes entre si, diminuindo a sua dispersão*. Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 34 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 4. ACURÁCIA E PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA Distinção entre precisão e acurácia: acurado e não preciso No caso em questão ele apresenta alta acurácia e baixa precisão. A alta acurácia está associada ao fato de todos os seus tiros estarem próximos ao centro do alvo. Baixa precisão e alta acurácia no tiro ao alvo Já a baixa precisão está associada ao fato de todos os seus tiros estarem distantes entre si, aumentando a sua dispersão*. Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 35 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 4. ACURÁCIA E PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA Finalmente, não acurado e não preciso Por fim, no caso em questão ele apresenta baixa acurácia e baixa precisão. A baixa acurácia está associada ao fato de todos os seus tiros estarem distantes do centro do alvo. Baixa precisão e baixa acurácia no tiro ao alvo Já a baixa precisão está associada ao fato de todos os seus tiros estarem distantes entre si, aumentando a sua dispersão*. Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 36 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 4. ACURÁCIA E PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA Distinção entre precisão e acurácia: conclusão Observamos agora as quatro situações e analisamos as diferenças entre elas. A precisão e a acurácia de uma medida estão associadas aos tipos de erros cometidos durante o processo de medição. Precisão e acurácia no tiro ao alvo Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 37 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 4. ACURÁCIA E PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA Medidas feitas com acurácia e com precisão no laboratório Abaixo vemos medidas de massa feitas com uma balança bem aferida (medida acurada) e feitas de forma cuidadosa (medida precisa). A boa aferição da balança garante que as medidas estão próximas do valor esperado de 25,0 g. Medidas de massa feitas cuidadosamente em uma balança aferida O cuidado na realização da medida garante que a dispersão* delas seja baixa também. Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 38 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 4. ACURÁCIA E PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA Medidas feitas com precisão e sem acurácia no laboratório Abaixo vemos medidas de massa feitas com uma balança mal aferida (medida não acurada), mas feitas de forma cuidadosa (medida precisa). A má aferição da balança garante que as medidas estão distantes do valor esperado de 25,0 g. Porém, o cuidado na realização da medida garante que a dispersão* delas também seja baixa. Medidas de massa feitas cuidadosamente em uma balança mal aferida Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 39 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 4. ACURÁCIA E PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA Tipos de erros cometidos durante a medição Erros podem ser divididos em erros sistemáticos e erros aleatórios. a) Erro sistemático: acontece quando todos os valores medidos são muito altos ou muito baixos do que o valor real. b) Erro aleatório: na ausência de erro sistemático, ocorre quando alguns valores são muito maiores e outros muito menores do que o valor real. Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 40 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 4. ACURÁCIA E PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA Erro sistemático no laboratório Erros sistemáticos ocorrem, por exemplo quando usamos sistematicamente um instrumento de medida mal aferido. Desta forma, não importa quão cuidadosa tenha sido feita a medida, o resultado sempre será muito aquém do valor esperado. Neste caso, nada resta senão repetir a medida em um insrumento bem aferido. Medidas de massa feitas em uma balança mal aferida Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 41 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 4. ACURÁCIA E PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA Erros aleatórios no laboratório Erros aleatórios ocorrem, por exemplo quando usamos um instrumento de medida bem aferido, mas fazemos as medidas de forma pouco cuidadosa. Desta forma, mesmo fazendo as medidas de forma descuidada, o valor médio* destas medidas fica próxima do valor esperado. Medidas de massa feitas sem cuidado em uma balança bem aferida Neste caso, se a dispersão* das medidas for muito elevada, pode-se pensar em refazê-las. Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 42 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 4. ACURÁCIA E PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA Definição de instrumento de medida mais preciso dm Medidas com três réguas distintas cm mm Instrumento de Medida Comprimento da barra Quantidade de algarismos significativos obtidos régua decimetrada 1,1 dm régua centimetrada 11,3 cm 2 3 régua milimetrada 113,4 mm 4 Qual é a régua mais acurada? Por quê? É a régua milimetrada, pois tem maior número de AS. Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 43 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 4. ACURÁCIA E PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA Medida e escala do instrumento de medida O resultado de uma medida fornece informação sobre a escala do instrumento adotado para a medição. Considere a medida apresentada abaixo. L 11,3 cm Perguntamos, então qual a escala da régua usada nesta medição? Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 44 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 4. ACURÁCIA E PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA A função do algarismo duvidoso Para responder a esta pergunta devemos olhar para o último algarismo significativo à direita do número apresentado. L = 17,3 cm Como vimos, este último algarismo significativo é o algarismo duvidoso. Desta forma, concluímos que a régua usada é centimetrada pois o algarismo duvidoso está na primeira casa decimal, que é a casa indicativa de milímetro. Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 45 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 4. ACURÁCIA E PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA Mudanças no uso de unidades Esta mesma medida pode ser escrita com a unidade dada em metros – m. L 17,3 cm L 0,173 m Perguntamos agora para o número apresentado na forma L = 0,173 m qual é a escala da régua utilizada? Será que, por apresentarmos a medida em metros estamos necessariamente usando agora uma escala em metros? A resposta para esta pergunta é NÃO!!! Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 46 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 4. ACURÁCIA E PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA Conclusões finais A mudança na unidade (de cm para m) não altera a quantidade de algarismos significativos obtidos na medida. O número 11,3 cm = 0,113 m indica que temos 0 m, 1 dm, 1 cm e 3 mm. Isto indica que o algarismo duvidoso está na casa dos mm, e que portanto temos certeza até a casa dos cm. Logo, podemos concluir sem sombra de dúvida que com a medida 11,3 cm = 0,113 m, a escala usada é a centimetrada. Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 47 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 4. ACURÁCIA E PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA E para finalizar.... Um cartoon... Nem sempre mais algarismos significativos significam mais dinheiro no bolso Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 48 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 1. Introdução – O Método Científico 2. Medidas 3. Algarismos Significativos 4. Acurácia e Precisão do Instrumento de Medida 5. Prefixos do SI e Notação Científica 6. Critérios de Arredondamento 7. Operações com Algarismos Significativos Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 5. PREFIXOS DO SI E NOTAÇÃO CIENTÍFICA Relembrando... Abaixo mostramos uma tabela com os principais prefixos usados no Sistema Internacional – SI. Tabelas para prefixos aumentativos Tabelas para prefixos diminutivos Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 50 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 5. PREFIXOS DO SI E NOTAÇÃO CIENTÍFICA A regra geral da notação científica Recapitulando: a mudança de unidades de uma medida de uma grandeza física não altera a quantidade de algarismos significativos obtidos na medida. Exemplo do uso de algarismos significativos com notação científica 18,7 dm 1870 mm 18,7 dm = 18710 mm Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 51 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 5. PREFIXOS DO SI E NOTAÇÃO CIENTÍFICA A conveniência da notação científica A notação científica é uma forma conveniente de escrever números muito grandes ou muito pequenos. Em notação científica qualquer número pode ser escrito como o produto de um número real entre 1 e 10, vezes o número 10 elevado a uma dada potência de um número inteiro positivo ou negativo. Seja, por exemplo o número 215; vamos escrevê-lo em notação científica!! 215 2,15100 215 2,151010 215 2,15102 Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 52 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 5. PREFIXOS DO SI E NOTAÇÃO CIENTÍFICA Outro exemplo do uso da notação científica Observe que no caso do número 215, movemos a vírgula duas posições para a esquerda, e assim o expoente da potência de dez é 2. Seja, agora o número 0,00215; vamos escrevê-lo também em notação científica!! 1 0,00215 2,15 1000 1 0,00215 2,15 10 10 10 3 0,00215 2,1510 Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 1 0,00215 2,15 3 10 53 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 5. PREFIXOS DO SI E NOTAÇÃO CIENTÍFICA Mais um exemplo de uso da notação científica Sejam as medidas abaixo com diferentes números de AS, as quais convertemos para micrômetros. d = 30 dm d = 30105 m d = 300 cm d = 300104 m d = 3000 mm d = 3000103 m Vamos escrever estes números, lembrando que o número antes da vírgula deve ser um número entre real 1 e 10. d = 30 dm d = 30105 m d = 3,0106 m d = 300 cm d = 300104 m d = 3,00106 m d = 3000 mm d = 3000103 m d = 3,000106 m Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 54 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 5. PREFIXOS DO SI E NOTAÇÃO CIENTÍFICA Exemplos Vamos agora determinar o número de algarismos significativos dos números da tabela abaixo. Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 55 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 1. Introdução – O Método Científico 2. Medidas 3. Algarismos Significativos 4. Acurácia e Precisão do Instrumento de Medida 5. Prefixos do SI e Notação Científica 6. Critérios de Arredondamento 7. Operações com Algarismos Significativos Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 6. CRITÉRIOS DE ARREDONDAMENTO Necessidade de arredondamento Ao efetuar qualquer operação matemática com medidas de diferentes quantidades de algarismos significativos, o resultado será uma grandeza que não pode ter um número arbitrário de algarismos. É necessário que o resultado obtido seja arredondado no primeiro algarismo duvidoso à esquerda, conforme as regras que serão descritas a seguir. Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 57 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 6. CRITÉRIOS DE ARREDONDAMENTO Regra 1 Se os algarismos desprezados em um resultado numérico formarem números SUPERIORES a 5, 50, 500, 5000, 50000, etc., o algarismo duvidoso imediatamente anterior aos desprezados deve ser AUMENTADO de uma unidade. Por exemplo, vamos escrever o número abaixo, levando em conta que o algarismo significativo duvidoso esteja na segunda casa decimal. 5,379 5,379 5,38 Como o número à direita do duvidoso é 9 > 5, então arredondamos “para cima”, e acrescentamos uma unidade ao AS duvidoso! Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 58 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 6. CRITÉRIOS DE ARREDONDAMENTO Regra 2 Se os algarismos desprezados em um resultado numérico formarem números SUPERIORES a 5, 50, 500, 5000, 50000, etc., o algarismo duvidoso imediatamente anterior aos desprezados NÃO SE ALTERA. Por exemplo, vamos escrever o número abaixo, levando em conta que o algarismo significativo duvidoso esteja na segunda casa decimal. 0,2413 0,2413 0,24 Como o número à direita do duvidoso é 13 < 50, então arredondamos “para baixo”, mantendo inalterado o AS duvidoso! Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 59 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 6. CRITÉRIOS DE ARREDONDAMENTO Regra 3 Se os algarismos desprezados em um resultado numérico formarem números IGUAIS a 5, 50, 500, 5000, 50000, etc., deve-se proceder como segue: a) se o algarismo duvidoso imediatamente anterior à parte desprezada for IMPAR, ele deve ser AUMENTADO em uma unidade; b) se o algarismo duvidoso imediatamente anterior à parte desprezada for PAR, ele deve ficar INALTERADO. (ZERO TAMBÉM É PAR!). Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 60 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 6. CRITÉRIOS DE ARREDONDAMENTO Regra 3: exemplo Por exemplo, vamos escrever o número abaixo, levando em conta que o algarismo significativo duvidoso esteja na primeira casa decimal. 1,9500 1,9500 2,0 Como o número à direita do duvidoso é 500, então devemos olhar para o número à esquerda deste duvidoso. Como este número é ímpar (9 é impar!!), então arredondamos “para cima”, aumentando o número apresentado! Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 61 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 6. CRITÉRIOS DE ARREDONDAMENTO Regra 3: exemplo Por exemplo, vamos escrever o número abaixo, levando em conta que o algarismo significativo duvidoso esteja na segunda casa decimal. 3,8450 3,8450 3,84 Como o número à direita do duvidoso é 50, então devemos olhar para o número à esquerda deste duvidoso. Como este número é par (4 é par!!), então arredondamos “para baixo”, mantendo o número como apresentado! Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 62 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 1. Introdução – O Método Científico 2. Medidas 3. Algarismos Significativos 4. Acurácia e Precisão do Instrumento de Medida 5. Prefixos do SI e Notação Científica 6. Critérios de Arredondamento 7. Operações com Algarismos Significativos Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Ideias gerais Como vimos anteriormente o resultado de uma medida indireta é efetuada utilizando-se operações matemáticas com números obtidos de medidas diretas. Há situações em que se podem obter medidas com diferentes números de algarismos significativos (AS) com um mesmo aparelho de medida. Há outras situações nas quais é necessário efetuar uma ou mais operações matemáticas com resultados de medidas obtidas com instrumentos de precisão diferentes. Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 64 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Regra para adição e subtração O resultado da adição de várias medidas de uma mesma grandeza física não pode ter maior número de algarismos significativos, na sua parte decimal, do que a parte decimal mais pobre das parcelas. Seja, como exemplo, a soma de dois números com mesmo número de algarismos significativos, mas com acurácias distintas, como mostrado abaixo. 25,2 Acurácia de uma casa decimal 1,34 Acurácia de duas casas decimais S = 25,2 + 1,34 Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 65 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Operacionalização do exemplo O resultado da adição de várias medidas de uma mesma grandeza física não pode ter maior número de algarismos significativos, na sua parte decimal, do que a parte decimal mais pobre das parcelas. 25,2 + 1,34 _______ 26,54 Para entender como se aplica o critério de arredondamento, façamos a soma como mostrado ao lado, colocando os números um abaixo do outro. Observe que o resultado da soma levou a um número cujo primeiro algarismo significativo duvidoso encontra-se na primeira casa decimal. Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 66 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Aplicação de critérios de arredondamento O resultado da adição de várias medidas de uma mesma grandeza física não pode ter maior número de algarismos significativos, na sua parte decimal, do que a parte decimal mais pobre das parcelas. 25,2 + 1,34 _______ 26,54 26,5 Resposta: O número duvidoso na segunda casa decimal é “mais duvidoso” do que o primeiro e, portanto deve ser desconsiderado, usando os critérios de arredondamento. S = 26,5 Acurácia de uma casa decimal Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 67 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Mais exemplos Considere que, usando réguas graduadas em decímetros, centímetros e milímetros, foram medidos os comprimentos de algumas tábuas: 2355,1 mm, 11,1 dm, 117,3 cm, 13,5 mm, 3,4 dm, 77,5 cm e 813,3 mm. Determine o comprimento total dessas tábuas. L1 = 2355,1 mm = 2,3551 m L2 = 11,1 dm = 1,11 m L3 = 117,3 cm = 1,173 m L4 = 13,5 mm = 0,0135 m L5 = 77,5 cm = 0,775 m Primeiramente, é adequado escrever todas as medidas de comprimento na mesma unidade, a qual escolhemos arbitrariamente a unidade metro – m. L6 = 813,3 mm = 0,8133 m Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 68 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Mais exemplos Façamos agora a soma de todos estes comprimentos, respeitando a acurácia de cada uma destas medidas. 2,3551 + 1,11 1,173 0,0135 0,775 0,8133 _______ 6,5799 6,58 O procedimento padrão é mostrado ao lado. L = 6,58 m Acurácia de uma casa decimal Observamos que o número que apresenta a mais pobre precisão é 1,11 m; a sua acurácia está na segunda casa decimal, o que está de acordo com o resultado final. Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 69 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Mais exemplos O resultado da adição de várias medidas de uma mesma grandeza física não pode ter maior número de algarismos significativos, na sua parte decimal, do que a parte decimal mais pobre das parcelas. 83,5 ml + 23,28 ml _______ 106,78 106,8 ml Resposta: V = 106,8 ml Acurácia de uma casa decimal 865,9 ml 2,8121 ml _________ 863,0879 863,1 ml Resposta: V = 863,1 ml Acurácia de uma casa decimal Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 70 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Pense um pouco... A. 235,05 + 19,6 + 2,1 = 1) 256,75 2) 256,8 B. 58,925 - 18,2 = 1) 40,725 2) 40,73 3) 257 3) 40,7 Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 71 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS E o resultado correto é... A. 235,05 + 19,6 + 2,1 = 2) 256,8 B. 58,925 - 18,2 = 3) 40,7 Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 72 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Regra para multiplicação e divisão O resultado da multiplicação de várias medidas não pode ter maior número de algarismos significativos do que o “mais pobre” dos fatores. Seja, como exemplo, a cálculo da área de um retângulo de arestas L1 = 1,278 m e L2 = 11,7 cm. L1 = 1,278 m = 127,8 cm 4 algarismos significativos L2 = 11,7 cm 3 algarismos significativos A = L1L2 Resposta: A = 127,811,7 A = 1,50 102 cm2 A = 1495,26 cm2 3 algarismos significativos Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 73 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Regra para multiplicação e divisão O resultado da multiplicação de várias medidas não pode ter maior número de algarismos significativos do que o “mais pobre” dos fatores. 127,8 cm 11,7 cm _______ 8946 1278 + 1278+ __________ 1495,26 15010 mm2 O procedimento padrão para o cálculo deste produto é mostrado ao lado. L1 = 1,278 m = 127,8 cm Resposta: L2 = 11,7 cm A = 1,50 102 cm2 3 algarismos significativos Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 74 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Um outro exemplo de multiplicação O resultado da multiplicação de várias medidas não pode ter maior número de algarismos significativos do que o “mais pobre” dos fatores. Seja, também o cálculo do volume de um paralelepípedo de arestas L1 = 9,2 cm e L2 = 6,8 cm e L3 = 3,744 mm. L1 = 9,2 cm L2 = 6,8 cm L3 = 3,744 mm = 0,3744 cm V = L1L2L3 2 algarismos significativos 3 algarismos significativos V = 9,26,8 0,3744 Resposta: V = 23,422464 V = 23 cm3 Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 75 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Um exemplo de divisão O resultado da divisão de duas medidas não pode ter maior número de algarismos significativos do que o “mais pobre” dos fatores. Seja, como exemplo, a cálculo da resistência elétrica R de um resistor sujeito a uma diferença de potencial elétrico V = 1,540 V pelo qual percorre uma corrente elétrica I = 3,30 mA. V RI V = 1,540 V V R I 4 algarismos significativos I = 3,30 mA = 3,3010-3 A 3 algarismos significativos Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 76 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Um exemplo de divisão O resultado da divisão de duas medidas não pode ter maior número de algarismos significativos do que o “mais pobre” dos fatores. Seja, como exemplo, a cálculo da resistência elétrica R de um resistor sujeito a uma diferença de potencial elétrico V = 1,540 V pelo qual percorre uma corrente elétrica I = 3,30 mA. 1,540 V R 3,30 m A Resposta: 1,540 V R 3 3,3010 A R 467 R 466, 667 3 algarismos significativos Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 77 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Agora é com vocês... A. 2,19 X 4,2 = 1) 9 2) 9,2 3) 9,198 B. 4,311 ÷ 0.07 = 1) 61,58 2) 62 3) 610 2) 27 3) 27,323 C. 57,38 ÷ 2,1= 1) 27,3238 Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 78 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS E as respostas corretas são... A. 2,19 X 4,2 = 2) 9,2 B. 4,311 ÷ 0.07 = C. 3) 610 57,38 ÷ 2,1= 2) 27 Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 79 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Regra para operações mistas Regra geral: cada operação deve ser feita respeitando sua característica, priorizando-se as somas e subtrações em relação às multiplicações e divisões. Regra do “bom senso”: o resultado final deve conter a mesma quantidade de algarismos significativos que a medida direta mais pobre! Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 80 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Exemplo Considere que em um circuito RLC em série foram medidas as seguintes grandezas físicas: frequência f = 60 Hz, indutância L = 18,91 mH, capacitância C = 15,42 F e resistência R = 173,0 . Determine a impedância Z deste circuito. 1 Z R 2 f L 2 f C 2 2 1 Z 173, 0 2 60 18,91103 6 2 6 0 15 , 4 2 10 2 2 Z RBS 2,4 10 Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 2 81 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Exemplo: continuação Cálculo da reatância capacitiva XC. 1 XC 2 f C XC 1 2 60 15,42 106 X C 172, 022 X L 2 f L X L 2 60 18,91103 X L 7,1289 X C 1, 7 10 2 Cálculo da reatância indutiva XL. X L 7,1 Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 82 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Exemplo: continuação Cálculo do termo (XL – XC)2. X L X C 2 7,1 1,7 10 2 2 X L X C 2 0,071 10 2 1,7 10 2 2 7,1 = 0,071102 (0,071 – 1,7) = – 1,629 X L X C 2 1, 6 10 2 2 X L X C 2 0,071 1,7 10 2 2 (0,071 – 1,7) = – 1,6 X L X C 2 X L X C 2 2, 56104 2, 6 10 4 Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 2 2 83 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Exemplo: continuação Cálculo do termo R2. R 173, 0 R = 173,0 2 2 R 2 2,9929104 R 2 2,993 104 2 2 Cálculo do termo R2 + (XL – XC)2. R2 X L X C 2,993104 2, 6 104 2 R2 X L X C 2,993 2, 6104 2 (2,993 + 2,6) = 5,593 R X L X C 5, 6 104 2 Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 2 84 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 7. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Exemplo: resultado final Cálculo da impedância Z. Z R X L X C 2 2 Z 5, 6 10 Z RG 2, 4 10 2 4 Z RG Z RBS Física Experimental I – Medidas e Algarismos Significativos 85 A Dama com Arminho - Leonardo da Vinci
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