Zero de função
Problema
 O cálculo de raízes de funções encontra um
grande emprego na obtenção da solução de
uma vasta gama de problemas de engenharia.
 Em geral, trata-se de determinar o(s) valores
de x tal que f(x)=0, onde f é a função cujo
raízes são a determinar.
Métodos matemáticos
 A matemática fornece métodos formais que permite
a determinação exata das raízes em diversos casos.
 Os métodos mais conhecido permitem a
determinação de raízes de polinômios ate grau 3, ou
grau maior mais em certas condições.
 Em muitas situações, a resolução matemática
necessita de intuição para que elas sejam
transformadas em casos resolvíveis.
Exemplos
 Polinômios do primeiro e segundo grau ou
transformáveis em polinômios do primeiro
ou segundo grau:
2 x  3  0; x 2  3x  5  0
2sin x  3  0;sin 2 x  3sin x  5  0
 Funções cuja a recíproca é conhecida:
log10 x  5  0
Determinação gráfica
 A representação gráfica de uma função é uma
fonte de informações úteis sobre o
comportamento da função, particularmente
para a determinação das raízes.
 Além disso, o grafo permite de compreender
o funcionamento dos métodos numéricos
para determinar as raízes.
Raízes com gráfico
Raízes são dadas
pelos pontos de
interseção do grafo
com o eixo dos x.
Métodos numéricos
 Mesmo com um método formal, o(s)
valor(es) calculado(s) pelo computador é
aproximado, a não seja usar um CAS.
 Existem métodos numéricos que permite
aproximar as raízes em casos gerais,
inclusivo casos que a matemática não resolva
de formalmente.
Métodos numéricos
 Vamos estudar três métodos de determinação
de raízes:



Bisseção
Secante
Newton-Raphson
Bisseção
 Th: Se y=f(x) é uma função contínua e muda
de sinal no intervalo [a,b] (isto é se
f(a).f(b)<0), então existe pelo menos um
ponto x0  [a,b] tal que f(x0)=0.
 Além disso, se f’(x) não muda de sinal em
[a,b], x0 é a única raiz de f(x) nesse intervalo.
Bisseção
 Para se aproximar de uma raiz, o princípio da
bisseção consista em reduzir o intervalo
inicial testando o sinal de f(x) para o ponto
médio do intervalo.
 Considerando o intervalo [a,b]

ab
Se f (a). f (
)  0 , o novo intervalo e [a,(a+b)/2]
2

Se f (b). f (
ab
)  0, o novo intervalo e [(a+b)/2,b]
2
Algoritmo
 Raiz(f,a,b,tol)

Enquanto (|a-b|>tol)
x=(a+b)/2
 Se f(x).f(a)<0

 b=x

Senão
 a=x

Resultado=(a+b)/2
Bisseção
 Esse método, com um bom escolhe do intervalo
inicial, é adaptado com a representação dos
números do computador: a divisão por 2 a cada
passo é uma operação simples.
 A convergência do algoritmo é garantida, o
algoritmo não saia do intervalo inicial, esse
intervalo é cada vez dividido por dois,
 A convergência é muito lenta: para ganhar uma
decimal (base 10), preciso de 3 a 4 passos.
Secante
 O método da secante funciona sobre o
mesmo princípio que a bisseção e necessita
da mesma condição inicial: continuidade da
função.
Secante
 Com esse método,
determinamos um ponto a
partir da assimilação da
curva com um segmento
passando pelos pontos
(XE, f(XE)) e (XD, f(YD)).
O candidato para ser raiz é
o ponto de interseção desse
segmento com o eixo x.
Secante
 Determinação de XN:
Temos a relação:
f (XD) XD  XN

f (XE ) XE  XN
De onde podemos extrair XN:
f (XD)XE  f (XE )XD
XN 
f (XD)  f (XE )
Secante
 O segmento (XN,f(XN));
(XD,f(XD)) é usado para
determinar o valor do
passo seguinte.
Algoritmo
 Raiz(f,a,b,iter)

Repete iter vezes


b=(b.f(a)-a.f(b))/(f(a)-f(b))
Resultado=b
Falsa posição
 O método da falsa posição aparece como
uma combinação entre o método da secante e
a bisseção. As condições iniciais são as
mesma que no caso da bisseção (intervalo
onde a função troca de sinal).
Falsa posição
 Como no caso da secante,
determinamos um ponto a
partir da assimilação da
curva com um segmento
passando pelos pontos
(XE, f(XE)) e (XD, f(YD)).
 Temos:
f (XD)XE  f (XE )XD
XN 
f (XD)  f (XE )
Falsa posição
 No caso da falsa posição, o
novo segmento é
determinado em função
dos sinais de f(XN)f(XD) e
f(XN)f(XE).
 Se f troca de sinal entre
XE e XN, o novo intervalo
é [XE, XN], senão o novo
intervalo é [XN, XE].
Algoritmo
 Raiz(f,a,b,iter)

Repete iter vezes
x=(b.f(a)-a.f(b))/(f(a)-f(b))
 Se f(x).f(a)<0, b=x
 Senão a=x


Resultado=x
Newton-Raphson
 O método de NewtonRaphson não precisa de
um intervalo inicial.
Ela considera que a
curva no ponto inicial
pode ser aproximada
com a reta tangente à
curva nesse ponto.
Newton-Raphson
 De forma equivalente,
consista também a
considerar a função como
aproximada nesse ponto
pela série de Taylor de 1°
grau:
f(x1)=f(x0)+(x1-x0).f’(x0)
 Determinação de XN:
XN=XD-f(XD)/f’(XD)
Newton-Raphson
 Por um processo
iterativo, a raiz pode
ser aproximada:
xi+1=xi-f(xi)/f’(xi)
Algoritmo
 Raiz(f,x0,iter)


X=x0
Repete iter vezes


X=X-f(X)/f’(X)
Resultado=X
Newton-Raphson e Secante
 Os dois métodos de secante e NewtonRaphson são próximos. O método da secante
é o método de Newton-Raphson aonde a
derivada no ponto inicial é substituída pela
diferencia finita. A vantagem da secante é
que não é necessário conhecer a função
derivada.
Convergência
 A convergência desses métodos é em geral
mais rápida que no caso da bisseção. O
método da bisseção usa sempre o mesmo
algoritmo para qualquer função enquanto os
outros métodos usam o comportamento da
curva (diferencia finita ou derivada) para se
aproximar da raiz.
Convergência
 Se Newton-Raphson e
Secante podem ser
mais eficiente, elas
podem ser também
com dificuldade de
convergência se a
função tem variação
do sinal da derivada
próxima da raiz
procurada.
Convergência
 Vários critérios podem ser usados para decidir de
para a aplicação do algoritmo:




um número dado de iterações,
quando a diferencia entre dois passo de uma iteração é
menos que um erro |xi+1-xi|< e,
quando o valor da função em xi é perto de 0 |f(xi)|<e,
quando os dois últimos critérios não para o algoritmo, ele
pode ser parado porque considerado como não
convergente.