Aurora Pozo
MÉTODO DE NEWTONRAPHSON
METODO DE NEWTON-RAPHSON
É um dos mais conhecidos e poderosos para
obtenção de raízes de equações não-lineares.
 Considere uma função f(x) continua e
diferençável no intervalo [a,b].
 A função possui, portanto, tangente única em
cada ponto do intervalo.

ESCOLHA DA APROXIMAÇÃO INICIAL

Teorema:
Se f(a) * f(b) < 0 e f’ e f’’ forem não nulas e
preservarem o sinal em [a; b], então partindo-se de
uma aproximação inicial x0 2 [a; b] tal que f(x0) £
f00(x0) > 0 é possível gerar, pelo Método de
Newton, uma sequência de aproximações xk que
converge para a raiz de f(x) = 0.
VANTAGENS E DESVANTAGENS DO MÉTODO DE
NEWTON


O Método de Newton-Raphson tem convergência muito boa
(quadrática).
Entretanto, apresenta as seguintes desvantagens:
(i) Exige o cálculo e a análise do sinal de f’ e f’’
(ii) Se f’(xk) for muito elevado a convergência será lenta
(iii) Se f’(xk) for próximo de zero pode ocorrer overflow


Para contornar o item (i), o qual é necessário para a escolha da
aproximação inicial, é comum apenas calcular-se o valor da função e
o de sua derivada segunda nos extremos a e b, considerando para
x0 o extremo que satisfazer a condição f’(x0)f’’(x0) > 0.
Para tanto, é importante que o intervalo [a; b] considerado seja
sucientemente pequeno, de forma a minimizar a possibilidade de
variação de sinal de f’ e f’’.
Secante

CONSIDERAÇÕES INICIAIS
 Método de Newton-Raphson

Um grande inconveniente é a necessidade da
obtenção de f’(x) e o cálculo de seu valor numérico
a cada iteração
 Forma de desvio do inconveniente

Substituição da derivada f’(xk) pelo quociente das
diferenças
f’(xk) ≈ [f(xk) - f(xk-1)]/(xk - xk-1)
onde xk-1 e xk são duas aproximações para a raiz
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Secante

CONSIDERAÇÕES INICIAIS
 A função de iteração será
g(x) = xk - f(xk)/[(f(xk) - f(xk-1))/(xk - xk-1)]
= (xk - xk-1) . f(xk)/[f(xk) - f(xk-1)]
= [xk-1 .f(xk) – xk .f(xk-1)]/[f(xk) - f(xk-1)]
[x k - 1 .f (x k ) - x k .f (x k - 1 )]
g(x) =
[f (x k ) - f (x k - 1 )]
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Secante

INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
 A partir de duas aproximações xk-1 e xk

Obtém-se o ponto xk+1 como sendo a abscissa do ponto de
intersecção do eixo ox e da reta que passa pelos pontos
(xk1 , f(xk-1) ) e (xk , f(xk) ) (secante à curva da função)
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Secante

ANÁLISE GRÁFICA
f(x)
1a iteração
2a iteração
3a iteração
4a iteração
x0
x1
x3 x4

x5
x2
x
Repete-se o processo até que o
valor de x atenda às condições
de parada.
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Secante

Testes de Parada
 A cada iteração, testa-se se a aproximação
encontrada poderá ser considerada como a
solução do problema.
 |f(xk)|

 |((xk+1
– xk)/xk+1 )|  
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Secante
Algoritmo
k := 0; x0 := X0; x1 := X1
while critério de interrupção não satisfeito and k  L
k := k +1;
xk+1 := (xk-1*f(xk) - xk*f(xk-1))/(f(xk) - f(xk-1)) endwhile
13
Secante
Vantagens:

Rapidez processo de convergência;

Cálculos mais convenientes que do método de
Newton;

Desempenho elevado.
14
Secante
Desvantagens:

Se o cálculo f’(x) não for difícil, então o método logo
será substituído pelo de Newton-Raphson;

Se o gráfico da função for paralela a um dos eixos
e/ou tangencia o eixo das abscissas em um ou mais
pontos, logo não se deve usar o método da Secante ;

Difícil implementação.
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