Lista de Exercı́cios
Nota: essa é uma lista complementar, com o objetivo de compensar a deficiência do Moysés em exercı́cios que
exploram as ferramentas matemáticas que ele usa durante a teoria (como manipulação vetorial, derivada e integral).
Poucos dos exercı́cios apresentados aqui são de situações aplicadas, portanto é importante, ainda, que se resolva
exercı́cios do Moysés. A lista abrange a teoria que vai do capı́tulo 4 ao capı́tulo 7.
1- A posição de uma partı́cula de massa m é dada por r = R[ωt + cos(ωt)]x̂ + R sin(ωt)ŷ. Encontre a força que
está atuando sobre a partı́cula.
2- Uma partı́cula de massa m está submetida à força F = F0 e−αt , com α constante. No instante t = 0, ela se
encontra parada na origem do sistema de coordenadas. Determine a posição e a velocidade da partı́cula em função
do tempo. Qual é o valor máximo da velocidade e em quanto tempo isto ocorre? Se ainda não lidou com a função
exponencial no curso de Cálculo, use a propriedade de que
d(et )
= et ,
dt
e lembre-se da definição de derivada para encontrar a derivada de e−αt . Outro modo é pela regra da cadeia, que se
aplica a funções da forma f (u(t)). A regra da cadeia diz que
df
df du
=
.
dt
du dt
No caso desse exercı́cio, u = −αt.
3- Uma partı́cula de massa m se movimenta ao longo de um eixo sujeita a uma força F = mαv(t), em que α é uma
constante e v é a velocidade da partı́cula. Considere que v(t = 0) = v0 . Escreva a equação de movimento, isto é, a
expressão que resulta de se aplicar F = ma. Encontre v(t). Sugestão: lembre-se que a aceleração é a derivada da
velocidade em relação ao tempo. Tente encontrar uma função que, quando derivada, dá ela própria multiplicada por
uma constante.
4- Uma força dada por F = mαv 2 atua em uma partı́cula de massa m, em movimento retilı́neo. Sabe-se que sua
velocidade vale v0 quando x = 0. Qual é a velocidade em uma posição x qualquer? Sugestão: use a regra da cadeia
para escrever a aceleração como a = vdv/dx.
5- Encontre as forças correspondentes às seguintes energias potenciais: a) V (x) = xn , b) V (x) = sin(αx), c)
V (x) = sin(αx2 ).
6- Encontre as energias potenciais correspondentes às seguintes forças: a) F (x) = xn , n 6= −1, b) F (x) = cos(αx),
c) F (x) = eαx . .
7- Fala-se em derivada parcial quando uma função depende de mais de uma variável. Uma energia potencial da
forma V (x, y) = k2 (x2 + y 2 ), por exemplo, depende de x e de y. Quando derivamos parcialmente com relação a uma
variável, a outra variável é tratada como se fosse uma constante. Assim, se você souber as regras usuais de derivada,
sabe também as de derivada parcial. Seguindo a prescrição de que, quando se deriva parcialmente com relação a x, y
deve ser tratado como constante, calcule ∂V /∂x (esse sı́mbolo ∂ nos lembra que V deve ser derivado com relação a x
enquanto se considera y uma constante). Para fixar a ideia, calcule também ∂V /∂y.
8- Calcule ∂V /∂x e ∂V /∂y para as seguintes energias potenciais: a) V (x, y) = xy, b) V (x, y) = sin(xy), c)
V (x, y) = exy , d) V (x, y) = x2 y.
9- Há uma prescrição simples para se obter a força de uma partı́cula, a partir de sua energia potencial, em coordenadas cartesianas: após derivar parcialmente a energia potencial com relação a uma variável, como x, troca-se o sinal
do resultado obtido. O objeto resultante é a componente na direção do vetor unitário x̂. Em notação simbólica,
Fx x̂ = −
∂V
x̂.
∂x
2
A mesma regra vale para a variável y:
Fy ŷ = −
∂V
ŷ.
∂y
O mesmo também valeria para a variável z, que terá componente nula se a energia potencial depender apenas de x e
y, como é o caso do exercı́cio anterior. A força resultante é a soma de suas componentes, logo
F = Fx x̂ + Fy ŷ.
Escreva as forças associadas aos potenciais do exercı́cio 8. Note que, em geral, Fx , embora seja a componente da força
na direção de x̂, pode depender de y. Assim, Fx e Fy são duas funções de x e y, mas podem ser obtidas a partir de
uma única função V (x, y)! Não é qualquer força que possui essa notável propriedade.
10- Considere uma força F = yx̂ + xŷ. Encontre uma energia potencial V (x, y) que corresponda a essa força. Uma
simples modificação no sinal de uma das componentes já impossibilitará essa tarefa: se essa for F = yx̂ − xŷ, já não
é possı́vel encontrar uma função V (x, y). Tente para ver. Sugestão: encontre o mais geral V (x, y) que leve a Fx = y
e verifique que não há como fazer com que Fy = −x.
11- Seja K a energia cinética de uma partı́cula de massa m em movimento unidimensional. Mostre que dK
dt = pa,
em que p é o momentum linear da partı́cula e a é a aceleração a que ela está sujeita. Verifique que dK
também
é F v,
dt
em que F é a força responsável pela aceleração a, e v é a velocidade da partı́cula.
12- Seja V a energia potencial de uma partı́cula de massa m em movimento unidimensional. Admita que a única
força que age sobre a partı́cula é aquela devido a V . Se V depende apenas de x, podemos escrever Fx = −dV /dx (sem
o sı́mbolo de derivada parcial, pois neste caso, as duas derivadas levam ao mesmo resultado). Definimos a energia E
da partı́cula como
E = K + V,
em que K é a energia cinética. Derive essa expressão com relação ao tempo (use o resultado do exercı́cio 11 para K e
use a regra da cadeia para expressar dV /dt como vdV /dx). Mostre que, se o movimento da partı́cula obedecer as leis
de Newton, então se dE/dt = 0. Isso significa que a energia permanece constante no tempo. Como forças derivadas
de uma energia potencial não levam a variações em E, diz-se que essas forças são conservativas.
13- Uma partı́cula permanecerá parada se colocada em uma determinada posição se a força resultante que atuar
sobre ela for nula. Considere uma força conservativa em um problema unidimensional, isto é, que pode ser escrita na
forma F = − dV
dx . Assuma que essa é a única força que age sobre uma partı́cula de massa m. Se a força resultante que
atua sobre a partı́cula em um ponto é nula, então F = 0, isto é, a derivada do potencial em relação a x naquele ponto
é nula. Os pontos em que isso acontece são determinados pontos de equilı́brio. Encontre os pontos de equilı́brio para
V = 12 kx2 e V = V0 sin(kx).
14- O ponto de equilı́brio pode ser classificado em estável ou instável. É estável quando, se partı́cula for levemente
deslocada da posição de equilı́brio, sua tendência é retornar para ele; é instável se, com o mesmo deslocamento, a
partı́cula tende a se afastar do ponto de equilı́brio. O equilı́brio será estável se a força que atua sobre a partı́cula
na vizinhança do ponto de equilı́brio for contrária ao sentido do deslocamento. Isso significa uma força positiva se
o deslocamento for no sentido negativo, e uma força negativa se o deslocamento for no sentido positivo. Adote a
convenção de que o sentido positivo está à direita. Lembrando que a força tem sinal oposto à derivada do potencial
em relação a x, e que a derivada mede a inclinação de V , como deve ser, qualitativamente, a forma de V em torno do
ponto de equilı́brio se o equilı́brio é estável?
15- Uma massa m está presa por duas molas idênticas a duas paredes verticais paralelas separadas por uma distância
d = 2`0 , em que `0 é o comprimento livre de cada mola. As duas molas têm constante k e estão presas às paredes.
Se a massa m for erguida verticalmente até que as molas formem ângulo de 45 graus com a horizontal e, em seguida,
abandonada à ação do seu próprio peso e à força das molas, com que velocidade ela passará pelo ponto em que as
molas ficam na horizontal?
16- Um cabo com densidade de massa linear µ e comprimento L está pendurado em um teto. Qual é a tensão
ao longo do cabo? Note que a tensão não é constante ao longo de todo o cabo, pois o cabo tem massa, e as partes
3
superiores precisam sustentar mais peso. Sugestão: divida o cabo em diversos segmentos igualmente espaçados de
tamanho ∆x e escreva a equação de movimento para um segmento arbitrário. Se a parte inferior desse segmento
estiver na posição x, medida a partir da parte mais baixa da barra, então a parte superior está em x + ∆x. Como a
tensão deve ser uma função da posição, o módulo da tensão na parte superior é algo da forma T (x + ∆x) e o módulo
da tensão na parte inferior é algo da forma T (x). Há ainda uma força a ser contabilizada: o peso do segmento. Tente
(x)
fazer aparecer um objeto da forma T (x+∆x)−T
e então tome o limite em que ∆x → 0 para reescrever isso como
∆x
dT /dx.
17- Faça o exercı́cio 10 do Capı́tulo 6 do livro do Moysés.
18- No capı́tulo 5 do Moysés, no problema 4, pede-se para considerar a resistência do ar como proporcional à
magnitude da velocidade para avaliar se um pedregulho lançado verticalmente para cima, a partir de uma certa
altura, demora mais, menos ou o mesmo tempo para subir até a altura máxima do que para voltar até a altura do
lançamento. Escreva as equações de movimento para a partı́cula no caso da subida e no caso da descida, sendo b a
constante de proporcionalidade entre força de resistência e velocidade, isto é, a força de resistência é da forma
F = −bv,
em que o sinal negativo indica que a força é no sentido contrário ao da velocidade.
Verifique que, em um caso, a força de resistência ”colabora” com a força gravitacional, tentando frear a partı́cula,
e, no outro caso, ela atua contra a força gravitacional. Baseado nisso, verifique que o módulo da aceleração é maior
que g no primeiro caso, e menor que g no segundo (tome g > b/m quando tomar o módulo). Assim, na subida, a
partı́cula é desacelerada de forma mais eficiente do que quando não há resistência: ela para mais rapidamente do que
se não houvesse resistência; entretanto, na descida, a aceleração efetiva é sempre menor, de modo que mais tempo
para descer uma mesma altura é necessário do que se não houvesse resistência. Conclui-se que a partı́cula leva mais
tempo para descer.
19- Considere a equação de movimento para a partı́cula do exercı́cio anterior na situação de queda. Embora ainda
não tenhamos meios para encontrar a solução exata, podemos procurar por uma situação de equilı́brio, quando a
velocidade não muda mais no tempo. Que velocidade é essa?