Física
Física – Módulo 1
Energia Potencial e
Conservação da Energia
Física
No capitulo anterior: Trabalho, Energia Cinética, Potência
O trabalho das forças resultantes que agem sobre um corpo é dado por:
Wres = ∑ F∆x
A energia cinética é dada por
Wres = ∑ Fx ∆x = ∆K
x2
ou ainda
Wres = ∫ F ( x) dx
x1
1
K = mv 2
2
e sua variação, ∆K,
Trabalho é a variação da energia
cinética
A potência é a taxa com que o trabalho é realizado num determinado tempo
∆W dW
P≡
=
∆t
dt
Física
Um outro tipo de energia…
Bloco preso por um fio
Força gravitacional
Um fio prende um corpo
com a mola comprimida
Força Elástica
O que acontece quando cortamos o fio vermelho?
Física
Energia Potencial
Em ambos os casos anteriores o bloco realizará trabalho, pois
existe uma energia armazenada devido a sua posição no sistema.
Esta energia, que depende da posição da partícula (configuração
do sistema), é chamada de Energia Potencial (U).
Se a configuração do sistema mudar, a energia potencial
também pode mudar.
Relação entre energia potencial e trabalho:
−∆U = W
O sinal negativo (-∆U) indica que o trabalho efetuado por uma força
conservativa é igual a diminuição da função energia potencial
Física
Forças conservativas e energia potencial
A energia potencial existe apenas para forças conservativas.
Uma força é conservativa se o trabalho total que ela efetua sobre
uma partícula, quando ela se desloca num percurso fechado e
retorna a origem, for nulo.
y
O trabalho efetuado por uma
força conservativa sobre uma
partícula não depende da
trajetória da partícula ao
passar de um ponto para
outro.
Exemplos:
- Força da gravidade
- Força elástica de uma mola
O
x
Física
Energia potencial: definição
Variação de energia potencial
s
W = ∫ F ⋅ ds = −∆U
s0
s0 define uma configuração de referência e s uma configuração geral
∆U = U s − U s0
Energia potencial para uma dada configuração s:
s
U s = U s0 + ∆U = U s0 − W = U s0 − ∫ F ⋅ ds
s0
Física
Energia potencial: definição (cont.)
Do ponto de vista físico, apenas as variações de energia potencial
são relevantes. Pode-se sempre atribuir o valor zero à configuração
de referência:
U s0 = 0
Agora podemos aplicar esse conceito a alguns tipos de força:
• Força gravitacional (perto da superfície terrestre)
• Força elástica
Física
Energia potencial gravitacional
x
∆U = −W = − ∫ F ( x)dx
x0
h
Neste caso, a força F que age sobre o
bloco é a força da gravidade, F=-mg, a
qual não varia com a distância (x) perto
da terra. Assim,
∆U = −W = F cos θ ∆x
h0
Logo, a energia potencial gravitacional será dada por
U g = mgh
para h0 = 0
Física
Física
Energia potencial elástica
Neste caso, a Força da mola varia
linearmente com a posição (x):
F ( x ) = −kx
x0
Integrando…
Configuração de referência: x0 = 0
x
U ( x ) = 0 − ∫ ( −k )xdx
0
Teremos que
x
1 2
U el = kx
2
1.
∫ du = u + c
n +1
u
n
+c
2. ∫ u du =
n +1
3. ...
Física
Conservação da energia mecânica
Se a única força a efetuar trabalho sobre uma partícula for
conservativa, o trabalho é igual a diminuição da energia potencial do
sistema e também igual ao aumento da energia cinética do sistema
Wtotal = ∫ F ⋅ ds = −∆U = +∆K
Portanto,
∆K + ∆U = ∆( K + U ) = 0
A soma da energia cinética com a energia potencial do sistema é a
energia mecânica total E
Emec = K + U = constante
(a energia mecânica total de uma sistema não varia).
Física
Energia potencial gravitacional (campo uniforme)
Próximos da Terra a força gravitacional pode ser aproximada por
F = mg
.
Tomando como referência para U o ponto y = 0
(U(0)=0):
y
U ( y ) = 0 − ∫ (− mg )dy = mgy
0
U ( y ) = mgy
Conservação da energia:
1 2
E = mv + mgy = constante
2
Física
Força elástica e energia potencial elástica
x
1 2
Configuração de referência: x0= 0 ⇒ U ( x) = 0 − ∫ (−k ) xdx = kx
2
0
1 2 1 2
E = mv + kx = constante
2
2
1 2
v = 0 e x = A ⇒ E = kA
2
1 2
v = −vmax e x = 0 ⇒ E = mvmax
2
v = 0 e x = −A ⇒ E =
1 2
kA
2
v = vmax e x = 0 ⇒ E =
1 2
mvmax
2
1 2
v = 0 e x = A ⇒ E = kA
2
Física
Conservação de energia mecânica
1 2 1 2
mv + kx = E
2
2
Física
Exemplo
Qual é a mínima altura h para que o corpo deslizando do ponto
atinja o ponto b e complete o loop?
No alto do loop (b), a força peso deve
ser igual a força centrípeta...
2
b
v
mg = m ⇒ vb2 = gr
r
m
a
b
h
r
Por conservação de energia mecânica:
Ea = Eb
•
mg
•N
∆U a + ∆K a = ∆U b + ∆K b
No limiar: N = 0
Física
Exemplo (continuação)
Ea = Eb
•
∆U a + ∆K a = ∆U b + ∆K b
1
mghmin + 0 = mg 2r + m vb2
2
Substituindo
mghmin
hmin
m
a
b
r
h
vb2 = gr
1
= mg 2r + mgr
2
1
5
= 2r + r = r = 2,5r
2
2
hmin = 2,5r
Logo, a altura mínima para se completar o loop é de 2,5 vezes o raio do loop.
Física
Trabalho de forças conservativas
L
B
d
A
θ
C
Trabalho realizado pela força gravitacional ao longo do circuito
fechado A → B → C indicado:
WA + WB + WC = −mgd + mgLsenθ + 0 = 0
Física
Trabalho de Forças não-conservativas
Forças não-conservativas: seu trabalho depende da trajetória.
Exemplos: força de atrito e força de arraste.
Watr ( A→ B ) = ∫ f atr ⋅ ds = − f atr LA→ B =
CC
reta
 − µc mgd
=
 − µc mgπ d / 2 semi-círculo
Nesse caso, não é possível definir uma energia potencial porque o
trabalho da força de atrito depende da trajetória descrita pelo corpo.
Física
Conservação do Trabalho-Energia
Num sistema onde existem forças não-conservativas (Fnc) e forças
conservativas (F1, F2, ...), a energia mecânica total do sistema não
permanece constante.
Considere um sistema com as forças abaixo
Fres = Fnc + F1 + F2
O trabalho destas forças será igual a variação da energia cinética (∆K)
Wtotal = Wnc + W1 + W2 = ∆K
Física
Conservação do Trabalho-Energia
Para cada forças conservativas (Fi) podemos definir que
Wi = (-∆Ui)
Logo, temos que
Assim,
Wnc − ∆U1 − ∆U 2 = ∆K
Wnc = ∆U1 + ∆U 2 + ∆K = ∆Emec
Teorema da conservação do trabalho-energia mecânica
O trabalho efetuado por uma força não-conservativa que atua sobre
uma partícula é igual à variação da energia mecânica total do
sistema.
Física
Conservação do Trabalho-Energia
No caso de forças como de atrito e de arraste, o trabalho é
sempre negativo (a força é sempre no sentido oposto ao
deslocamento):
Watrito = − f atrito L < 0 ⇒ ∆Emec < 0
Como o trabalho forças dissipativas é sempre negativo, a energia
mecânica do sistema sempre diminui na presença delas.
Física
A Conservação da Energia
A energia total de um sistema pode incluir outros tipos de
energia, como a energia térmica ou energia química, além da
energia mecânica.
O trabalho das forças dissipativas (e a consequente
diminuição da energia mecânica) é acompanhado de um aumento
da temperatura dos corpos em contato (aumento da agitação
térmica das moléculas):
variação da energia interna = - trabalho das forças dissipativas
Etotal = Eint + Emec = constante
A energia total de um sistema isolado, mecânica mais interna, é conservada.
Em geral, há outras formas adicionais de energia (elétrica, magnética,...) que, uma
vez adicionadas acima, fornecem uma quantidade que se conserva.
Física
Exemplo:
O bloco de massa m é solto de x = d. Qual é sua velocidade em
x = 0?
1 2

∆K = mv − 0 

a) Sem atrito
2
 ⇒ ∆K = −∆U
1 2
F
∆U = 0 − kd

2
1 2 1 2
k
mv = kd ⇒ v =
d
2
2
m
d
∆E = ∆K + ∆U = Watr = − µc mgd
b) Com atrito
1 2 1 2
mv = kd − µc mgd
2
2
F
d
fa
kd 2
v =
− 2 µc gd
m
Física
Exemplo:
Um trenó de 5 kg escorrega com a velocidade inicial de 4 m/s. Sendo 0,14 o
coeficiente de atrito entre e a neve, qual a distância que o trenó percorrerá antes de
ficar em repouso?
Física
Exemplo (cont):