CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
Prof. Lucilio Rogerio Aparecido Alves
Depto. de Economia, Administração e Sociologia
ASSAF NETO, A. Finanças corporativas e valor. Cap.2
ASSAF NETO, A.; LIMA, F.G. Curso de administração financeira. Cap.3
CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
Introdução
Juro: recompensa pelo sacrifício de poupar no presente,
postergando o consumo para o futuro
Determina o custo de um crédito ou retorno de uma
aplicação de capital
Juro: é a remuneração ou custo do capital – aluguel
pelo uso do capital
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CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
Introdução
Quando o detentor do capital vai realizar um investimento,
deve estabelecer a remuneração desejada para os seus
recursos e, para isso, atentar para os seguintes aspectos:
Despesas sobre o investimento: operacionais, contratuais
e tributárias;
 Risco: probabilidade de não obter a remuneração e o
capital de volta;
 Inflação: perda de poder aquisitivo de capital causada
pela elevação generalizada de preços;
 Lucro: fixado em função das oportunidades de
investimentos perdidas;
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CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
Introdução
Portanto, a receita do juro deve ser suficiente para:
 Cobrir o risco;
 Cobrir as despesas;
 Cobrir a perda de poder aquisitivo do capital investido;
 Proporcionar lucro ao investidor;
Critérios de capitalização:
simples (linear)
compostos (exponencial)
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CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
2.1
Juros Simples
Maioria das taxas de juros aplicadas no mercado financeiro
são referenciadas pelo critério simples
Juros incidem unicamente sobre o capital inicialmente
aplicado ou alocado
Encontra ampla aplicação prática em operações financeiras
de curto prazo
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CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
2.1
Juros Simples
Sistema de capitalização simples: os juros não-pagos não
devem ser agregados ao capital para efeito de cálculo dos
juros dos períodos subseqüentes
Caso os juros calculados para um determinado período não
sejam pagos, eles são incorporados ao capital, mas não
para efeito de cálculo dos juros dos período seguintes
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CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
2.1
Juros Simples
Fórmula do Montante (M):
Onde:
C = Capital inicial (principal)
M=C+J
i = taxa (linear) de juros
J = valor (em $) dos juros
Fórmula dos Juros (J):
n = número de períodos
J=Cxixn
M = montante acumulado
Se:
-Crédito de $50.000, por 5 meses
-Juros de 2% a.m.
Então:
-Remuneração de $1.000 a.m.
-Total de $5.000 em remuneração
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2.1
Juros Simples
Fórmula do Montante e Capital
desconhecendo-se os Juros:
M = C + [C x i x n]
Colocando-se C em evidência:
Onde:
C = Capital inicial (principal)
M = C x [1+ i x n]
i = taxa (linear) de juros
ou
J = valor (em $) dos juros
C = M / (1 + i x n)
n = número de períodos
M = montante acumulado
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CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
2.1
Juros Simples
Exemplo de cálculo.
Calcular o montante de um capital de $100.000, aplicado
durante 6 meses, à taxa de juros simples de 2% a.m.
Forma de cálculo 1:
M=C+J
M = $100.000 + $12.000 = $112.000
Forma de cálculo 2:
M = C x (1 + i x n)
M = $100.000 x (1 + 0,02 x 6)
M = $112.000
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CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
2.1
Juros Simples
Exemplo de cálculo da taxa de juro:
Um investidor aplicou em um banco a quantia de R$100.000,00
pelo prazo de 14 meses e, ao término, resgatou a quantia de
R$134.000,00. Calcular a taxa de juro média mensal desse
investimento pelo sistema de capitalização simples.
Solução algébrica
Solução numérica
M = C [1 + i x n]
i = [(M/C) – 1]/n
1 + i x n = M/C
i = [(134.000/100.000) – 1]/14
i x n = (M/C) – 1
i = [1,34 – 1]/14
i = [(M/C) – 1]/n
i = 0,34/14
i = 0,0242857 ou i = 2,43% a.m.
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CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
2.1.1
Taxa nominal e taxa proporcional
Taxa nominal:
 taxa de juro contratada numa operação;
 normalmente é expressa para um período superior ao da
incidência dos juros;
Exemplo:
 um financiamento pode ser concedido para liquidação em
pagamentos mensais, sendo a taxa nominal de juros de 30% a.a.;
 taxa mensal considerada: 30%/12 meses = 2,5% a.m.
Obs.: A taxa nominal não corresponde, necessariamente, à taxa efetiva da
operação. Pode haver outras taxas, como comissões, IOF etc., que aumenta a
taxa efetiva de um empréstimo, por exemplo.
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CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
2.1.1
Taxa nominal e taxa proporcional
Taxa proporcional:
 o prazo da taxa é geralmente igual ao período de capitalização
dos juros;
 duas taxas expressas em diferentes unidades de tempo são
definidas como proporcionais quando enunciam valores iguais
numa mesma unidade de tempo;
Exemplo:
Considere hoje uma quantia de $
100,00 a juros simples de 10% ao
mês nominal. Seus respectivos
montantes serão:
 3% a.m. = 36% a.a.;
 9% a.t. = 36% a.a.;
Para transformar uma taxa nominal
em outra, basta multiplicar, se
desejarmos aumentar o período (10%
a.m. vezes 3 meses = 30% a.t.), ou
dividirmos para diminuir de período
(40% ao quadrimestre dividido por 2
bimestres = 20% a.b.)
$ 100,00
10% a.m.
20% a.b.
30% a.t.
40% a.q.
$ 110,00
$ 120,00
$ 130,00
$ 140,00
1 mês
2 meses
3 meses
4 meses
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CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
2.1.1
Taxa nominal e taxa proporcional
Exemplo
Determinar o montante (M) e os juros (J) de uma aplicação de
$ 150.000,00 efetuada pelo prazo de oito meses à taxa de
juros simples de 26,4% a.a.
Montante
Solução:
M = C [1 + i x n]
M = 150.000,00 [1+ 0,022 x 8]
Dados
M = 176.400,00
C = $ 150.000,00
Juros
n = 8 meses
J=M–C
i = 26,4% / 12 meses
J = 176.400,00 - 150.000,00
= 2,2% a.m.
J = 26.400,00
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2.2
Juros Compostos: Capital
Encontra ampla aplicação prática em operações financeiras
de médio e longo prazos
Os juros incidem sobre o saldo acumulado (montante)
O juro gerado em determinada operação é adicionado ao
principal e serve de base para cálculo de juros posteriores
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CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
2.2
Juros Compostos: Capital
Fórmula do Montante (M):
C = Capital inicial (principal)
M=C+J
i = taxa (linear) de juros
No primeiro período:
Juro
Montante
Onde:
J = valor (em $) dos juros
J=Cxi
n = número de períodos
M=C+Cxi
M = montante acumulado
No segundo período
Juro
J = (C + C x i) x i
Montante
M = (C + C x i) + [(C + C x i) x i]
M = C + C x i + C x i +C x i2 = C x i2 + 2(C x i) + C
M = C x (1 + i) x (1 + i)
M = C x (1 + i)2
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2.2
Juros Compostos: Capital
Para o enésimo período:
Montante
M = C x (1 + i) x (1 + i) ... (1 + i)
M = C x (1 + i)n
Onde:
ou
PV = valor presente (principal)
Fórmula do valor futuro (FV):
FV  PV 1  i 
n
FV = valor futuro (montante)
i = taxa (exponencial) de juros
n = número de períodos
Fórmula do valor presente (PV):
PV 
FV
1  i n
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CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
2.2
Juros Compostos: Capital
Exemplo:
Calcular o montante produzido por um capital de $1.000,00
aplicados à taxa de juro de 10% a.m. pelo prazo de 10 anos (120
meses) utilizando o sistema de capitalização composta.
Solução numérica
M = 1.000,00 x (1+0,10)120
M = 1.000,00 x 92.709,06882
M = 92.709.068,82
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CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
2.2
Juros Compostos: Capital
Exemplo
Se uma pessoa desejar obter $200.000,00 dentro de um ano,
quanto deverá aplicar hoje num fundo que rende 7% a.t.? Em
outras palavras, qual é o valor presente dessa aplicação?
Solução:
Valor presente:
PV 
Dados
FV = $200.000,00
n = 4 trimestres
i = 7% a.t.
FV
1  i n
$ 200.000,00
PV 
(1,07) 4
P V  $ 152.579,00
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2.2
Juros Compostos: Capital
Exemplo
Determinar a taxa mensal de juros de uma aplicação de
$120.000,00 que gera um montante de $130.439,50 ao final
de um semestre.
Cálculo da taxa:
Solução:
130.439,50  120.000,00 
130.439,50
120.000,00
1  i 
6

Dados
1  i 
6
 1,086996
PV = $ 120.000,00
6
1  i 
6
 6 1,086996
FV = $ 130.439,50
1  i  6 1,086996
n = 6 meses
1  i  1,014
i  0,014 ou 1,4% a.m.
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1  i 
6
CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
2.2.1
Taxa equivalente e taxa efetiva
Taxas equivalentes são as que geram montantes idênticos
quando capitalizadas sobre um mesmo capital e prazo
20% a.s. e 44% a.a. são equivalentes pois produzem o
mesmo montante em prazo idêntico
2,0% a.m., 6,12%a.t. e 12,62% a.s. são admitidas como
sendo taxas equivalentes, pois, capitalizando qualquer
capital, produzem o mesmo valor futuro ao final de um
período. Para um capital de $100,00, tem-se:
FV  100,00 1,02
 $126,82
12
FV  100,00 1,0612  $126,82
4
FV  100,00 1,1262  $126,82
2
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CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
2.2.1
Taxa equivalente e taxa efetiva
Expressão:
Onde:
iq  1  i 1
q
= taxa de juros equivalente relativa a uma
parte de determinado intervalo de tempo
iq
q = número de partes do intervalo de tempo
considerado
Ou,
i 

i e  1 

 100
prazo que eu quero
prazo que eu tenho
1
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CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
2.2.1
Taxa equivalente e taxa efetiva
Exemplo
Quais as taxas de juro mensal e trimestral equivalentes de 21% a.a.
Solução:
b) Taxa de juros equivalente
a) Taxa de juros equivalente
mensal
trimestral
i  21% a.a.
q  12 meses
i  21% a.a.
q  4 trimestres
i12  12 1,21 1
i 4  4 1,21 1
i12  0,016 ou 1,6%a.m.
i 4  0,0488 ou 4,88%a.t.
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CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
2.2.1
Taxa equivalente e taxa efetiva
Exemplo
Qual a taxa de juro anual equivalente à 1,6% a.m.
Solução:
a) Taxa de juros equivalente anual
i  1,6%a.m.
q  12 meses
i 

i e  1 

 100
prazo que eu quero
prazo que eu tenho
12
1
 1,6 
i e  1 
 1
 100
i e  21%
iq  1  i q  1
i12  1  0,01612  1
i12  1,20983  1
i12  21%a.a.
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1
CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
2.2.1
Taxa equivalente e taxa efetiva
O que acontece quando a taxa de juro é dada em prazo superior
ao período de capitalização dos juros?
 Ex.: os juros são capitalizados mensalmente e a taxa é
expressa em termos anuais....
Se o critério adotado de incorporação dos juros ao capital for o
composto equivalente, o montante ao final do prazo será o
mesmo;
iq  1  i 1
q
Se a capitalização for processada pelo critério de juro simples
(taxa nominal), a taxa de juro no final do período (taxa efetiva),
será maior que a taxa contratada;
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CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
2.2.1
Taxa equivalente e taxa efetiva
Exemplo
Financiamento de $ 200.000,00, contratado à taxa nominal
de 20% a.a. com capitalização semestral (proporcional)
FV  PV 1  i 
n
i  20% a.a.
FV  200.000,00 1,20
FV  $ 240.000,00
i  10%a.s.
FV  200.000,00 1,10
FV  $ 242.000,00
2
Diferença ocorrida pelo prazo de capitalização
ser diferente do prazo da taxa de juros
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CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
2.2.1
Taxa equivalente e taxa efetiva
Identidade de cálculo da taxa efetiva de qualquer operação,
quando o prazo de capitalização não coincidir com o prazo
definido pela taxa contratada e os juros forem distribuídos de
forma proporcional nos períodos de capitalização
z
 i
i e  1    1
 z
2
Exemplo:
 0,2 
ie  1 
 1
2 

i e  21% a.a.
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Onde:
z = número de
períodos de
capitalização da taxa
contratada em
determinado período
de tempo
CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
2.2.1
Taxa equivalente e taxa efetiva
Exemplo
Determinar o montante de uma aplicação de $60.000,00
efetuada pelo prazo de um ano à taxa de juros de 17,5% a.a.
capitalizados trimestralmente
a) Capitalização de forma proporcional à taxa nominal
Taxa efetiva:
FV  P V  1  i 
n
 0,175
FV  60.000,00 1 

4 

FV  $ 71.209,38
4
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4
 0,175
i e  1 
 1
4 

i e  0,1868ou 18,68%a.a.
CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
2.2.1
Taxa equivalente e taxa efetiva
b) Capitalização pelo uso da taxa trimestral equivalente
composta
Taxa equivalente composta = taxa efetiva definida
i e  4 1,175  1
i e  0,04114a.t.
FV  P V  1  i 
n
FV  60.000,00 1,04114
4
FV  $ 70.500,00
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CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
2.3
Juros Compostos: Série de Pagamentos ou Recebimentos
Até agora, operações com um único desembolso ou recebimento
Insere-se, então, as operações que envolvem uma série de
pagamentos ou recebimentos:
Determinação do custo de vários tipos de empréstimos e
financiamentos (BNDES, por exemplo)
Taxa de retorno de projetos de investimento
Avaliação de ações
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CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
2.3
Juros Compostos: Série de Pagamentos ou Recebimentos
Representação Gráfica
Valor
Futuro
Capitalização
1.000
0
1
2.000
2
3
4
9.098,17
Valor
Presente
Descapitalização
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3.000
4.000
5.000
5
6
7
anos
CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
2.3.1
Séries de pagamentos ou recebimentos não uniformes
Quando as periodicidades não forem uniformes, o valor
presente (PV) é obtido da seguinte forma:
PV 
n
CFj
 1  i
j1
j
Onde:
CFj = valor (fluxo de caixa) a ser recebido ou pago no período j
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CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
2.3.1
Séries de pagamentos ou recebimentos não uniformes
Exemplo
O valor presente de uma dívida que deve ser paga em três
parcelas mensais consecutivas de $100.000,00, $150.000,00 e
$200.000,00, respectivamente, à taxa de 1,2% a.m., é:
PV 
100.000,00 150.000,00 200.000,00


2
1,012
1,012
1,0123
PV  98.814,23  146.463,78  192.969,40
PV  $ 438.247,41
É indiferente (equivalente), para uma taxa de 1,2% a.m., o pagamento (ou o
recebimento) de $438.247,41 à vista ou em três parcelas mensais.
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CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
2.3.1
Séries de pagamentos ou recebimentos não uniformes
A identidade do valor (montante) para uma série de
pagamentos ou recebimentos não uniformes pode ser
expressa da seguinte maneira:
FV 
n

j1
CFj  1  i 
j
Onde:
CFj = valor (fluxo de caixa) a ser recebido ou pago no período j
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CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
2.3.1
Séries de pagamentos ou recebimentos não uniformes
Exemplo
O valor futuro ao final do mês 4 dos pagamentos mensais da
dívida apresentada atinge:
FV  100.000,00 1,012 150.000,00 1,012  200.000,001,012
3
2
FV  103.643,37  153.621,60  202.400,00
FV  $ 459.664,97
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2.3.2
Séries de pagamentos ou recebimentos uniformes
O valor futuro (FV) de uma série uniforme de fluxos de
caixa é obtido por:
FV 
n

1  i 1
PMT
i
Onde:
PMT = valor de cada pagamento ou recebimento uniforme periódico
1  i n  1 = Fator de Valor Futuro (FVF)
i
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CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
2.3.2
Séries de pagamentos ou recebimentos uniformes
Como obter a fórmula?
Consideremos uma série uniforme descontada mensalmente a uma
taxa de 4%, em cinco períodos. O cálculo do valor futuro seria:
S1 = 100 x (1,04)4 = 100 x 1,16986 = 116,98
S2 = 100 x (1,04)3 = 100 x 1,12486 = 112,49
S3 = 100 x (1,04)2 = 100 x 1,08160 = 108,16
S4 = 100 x (1,04)1 = 100 x 1,04000 = 104,00
S5 = 100 x (1,04)0 = 100 x 1,00000 = 100,00
St = .................................................. = 541,63
Assim, podemos concluir que, o montante de 5 aplicações, mensais e consecutivas
aplicadas a uma taxa de 4% a.m. acumula um montante de $ 541,63.
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CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
2.3.2
Séries de pagamentos ou recebimentos uniformes
Como obter a fórmula?
Sabemos que St = S1 + S2 + S3 + S4 + S5.
substituindo S1, S2 , S3..., por seus respectivos valores temos:
St = 100 x (1,04)4 + 100 x (1,04)3 + 100 x (1,04)2 + 100 x (1,04)1 + 100 x (1,04)0.
Como o fator 100 é comum a todos os termos, podemos agrupar a expressão acima:
St = 100 { (1,04)0 + (1,04)1 + (1,04)2 + (1,04)3 + (1,04)4 }
Como a série entre chaves, acima, representa a soma de uma progressão geométrica
de razão 1,04, podemos aplicar a seguinte fórmula,
Sn 
a1  an  q
1 q
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CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
2.3.2
Séries de pagamentos ou recebimentos uniformes
Como obter a fórmula?
St = 100 { (1,04)0 + (1,04)1 + (1,04)2 + (1,04)3 + (1,04)4 }
A expressão em colchetes representa a soma dos n primeiros termos
de uma progressão geométrica com os seguintes parâmetros:
Primeiro termo: a1 = (1+i)0
Enésimo termo: an = (1+i)4
Razão: q = (1+0,04)
Soma PG: sn = (a1-(anq))/(1-q)
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CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
2.3.2
Séries de pagamentos ou recebimentos uniformes
Como obter a fórmula?
a1  an q
sn 
1 q
1, 04   1, 04  1, 04 
0
sn 
sn 
4
1  1, 04 
1  1, 04 
5
0, 04
  1
1, 04   1
5
sn 
sn
0, 04
1 i


n
1
FV  PMT s n
i
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n

1  i 1
 PMT
i
CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
2.3.2
Séries de pagamentos ou recebimentos uniformes
Exemplo
Suponha que uma pessoa tenha aplicado, ao final de cada mês, a
quantia de $ 4.000,00 mensalmente, durante 12 meses, numa
conta de poupança que rende 1,5% a.m. Ao final do período,
esse aplicador acumula a quantia de:
12

1,015  1
FV  4.000,00
0,015
FV  4.000,0013,041211
FV  $ 52.164,85
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2.3.2
Séries de pagamentos ou recebimentos uniformes
E se a pergunta fosse inversa?
Calcular a quantia que se deve investir mensalmente em um
fundo de investimento que remunera o investidor à taxa de juro
de 1% a.m. para se obter a quantia de $100.000,00 em 10 anos:
PMT  FV 
i
1  i 
n
1
PMT  100.000 
0, 01
1  0, 01
120
1
PMT  100.000  0, 004347095
PMT  $434, 71
Pode-se chamar esta fórmula de Fator de Formação de Capital
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CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
2.3.2
Séries de pagamentos ou recebimentos uniformes
Quando as séries de pagamentos ou recebimentos são de
mesmo valor e periodicidade, o valor presente (PV) poderá ser
obtido da seguinte forma:
1 - 1  i 
i
n
PV  PMT
PV 
n

1  i 1
PMT
1  i n i
Onde:
PMT = valor de cada pagamento ou recebimento uniforme periódico
n
1 - 1  i  = Fator de valor presente (FVP)
i
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CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
2.3.2
Séries de pagamentos ou recebimentos uniformes
Como obter a fórmula?
Consideremos uma série uniforme descontada durante 5 meses a
uma taxa de 4%. O cálculo do valor presente seria:
PV1= 100 x
1
= 100 x 0,96154 = 96,15
(1,04)1
PV2= 100 x
1
= 100 x 0,92456 = 92,46
(1,04)2
PV3= 100 x
1
= 100 x 0,88900 = 88,90
(1,04)3
PV4= 100 x
1
= 100 x 0,85480 = 85,48
(1,04)4
PV5= 100 x
1
= 100 x 0,82193 = 82,19
(1,04)5
PVt=
= 445,18
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2.3.2
Séries de pagamentos ou recebimentos uniformes
Como obter a fórmula?
Portanto:
1
1
1
1
1
PVt= 100 x
+ 100 x
+ 100 x
+ 100 x
+ 100 x
(1,04)1
(1,04)2
(1,04)3
(1,04)4
(1,04)5
PVt= 100 x
[
1
+
1
+
1
+
1
+
1
(1,04)1
(1,04)2
(1,04)3
(1,04)4
(1,04)5
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]
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2.3.2
Séries de pagamentos ou recebimentos uniformes
Como obter a fórmula?
PVt= 100 x
[
1
+
1
+
1
+
1
+
1
(1,04)1
(1,04)2
(1,04)3
(1,04)4
(1,04)5
]
A expressão em colchetes representa a soma dos n primeiros termos
de uma progressão geométrica com os seguintes parâmetros:
Primeiro termo: a1 = 1/(1+i)
Enésimo termo: an = 1/(1+i)n
Razão: q = 1/(1+i)
Soma PG: sn = (a1-(anq))/(1-q)
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CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
2.3.2
Séries de pagamentos ou recebimentos uniformes
Como obter a fórmula?
sn 
1  i   1
1  i   1
n
n
1  i  1  i  1  i  1  i 

sn 

i
1  i   1
1  i 
1  i 
n
1  i   1
n
a1  an q
sn 
1 q
1
1
1

1  i  1  i n 1  i 
sn 
1
1
1  i 
n
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1  i  1  i 
n
1 i  1

sn 
n
1  i  i
n
1  1  i 
s 
n
n
1  i 
i
i
1 - 1  i 
PV  PMT
i
n
CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
2.3.2
Séries de pagamentos ou recebimentos uniformes
Exemplo
O valor presente de um bem que é pago em 10 prestações
mensais e iguais de $5.000,00, à taxa de juros de 2,0% a.m., é:
1  1,02
PV  5.000,00
0,02
10
PV  5.000,00 8,982585
PV  $ 44.912,93
Representa o preço à vista do bem, isto é, o
valor máximo de pagamento à vista supondo
uma taxa de desconto de 2% a.m.
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CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
2.3.2
Séries de pagamentos ou recebimentos uniformes
Exemplo
A venda de um computador é financiada por uma loja em 5
pagamentos mensais, iguais e sucessivos de $1.200,00. A taxa
de juros cobrada é de 1,5% a.m. Determinar o valor à vista do
computador (valor presente) ao se admitir o financiamento sem
entrada (0+5).
 1,0155  1 
  $5.739,17
P V0  5  1.200,00 
5

 1,015  0,015
Representa o preço à vista do bem, isto é, o
valor máximo de pagamento à vista supondo
uma taxa de desconto de 2% a.m.
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2.3.2
Séries de pagamentos ou recebimentos uniformes
Exemplo
A venda de um computador é financiada por uma loja em 5
pagamentos mensais, iguais e sucessivos de $1.200,00. A taxa
de juros cobrada é de 1,5% a.m. Determinar o valor a vista do
computador (valor presente), supondo a primeira prestação paga
no ato da compra (1+4).
n
PV 

1  i 1
PMT
1  i n1 i
 1,0155  1 
  $5.825,26
P V1  4  1.200,00 
51

 1,015  0,015
Representa o preço à vista do bem, isto é, o
valor máximo de pagamento à vista supondo
uma taxa de desconto de 2% a.m.
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2.3.3
Coeficientes ou fatores de financiamento
Considerando que o cálculo do Valor Presente de uma série
uniforme é:
PV 
n

1  i 1
PMT
1  in i
A obtenção do valor de uma prestação a partir de um
determinado valor presente, dada uma taxa de juro e prazo, é:
PMT 
n

1  i i
PV
1  in 1
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2.3.3
Coeficientes ou fatores de financiamento
Coeficiente de financiamento (CF) é a expressão que,
quando multiplicado pelo valor do crédito, produz as
prestações periódicas:
CF 
1  in i 
i
1  in 1 1  1  in
Onde
i
1  1  i 
n
(1  i ) i
(1  i ) n  1
n
= inverso do fator de valor presente
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2.3.3
Coeficientes ou fatores de financiamento
Exemplo
O coeficiente de financiamento a ser pago em seis prestações
mensais iguais, à taxa de 1,4% a.m., é de 0,174928, isto é:
0,014
CF 
6
1  1,014
CF 
0,014
0,080033
Assim, para uma dívida total de R$ 20.000,00,
com pagamento em 6 parcelas e juro de 1,4%
a.m., o pagamento mensal deve ser de:
R$ 20.000,00 x 0,174928 = R$ 3.498,56
CF  0,174928
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2.3.3
Coeficientes ou fatores de financiamento
Exemplo
Calcular o valor da série uniforme de pagamentos de 10 parcelas
referentes a um capital de $100.000,00, utilizando a taxa de
juro de 3%:
CF 
CF 
0,03
1  1,03
0, 03
0, 2559
10
O valor da série uniforme de um capital de
$100.000,00, com pagamento em 10 parcelas
e juro de 3% é:
R$ 100.000,00 x 0,1172 = R$ 11.720,00
CF  0,1172
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2.3.3
Anos
Coeficientes ou fatores de financiamento
Taxa de desconto r (%)
1%
2%
3%
4%
5%
6%
7%
8%
9%
10%
11%
12%
13%
14%
15%
16%
17%
18%
19%
20%
1
1,0100
1,0200
1,0300
1,0400
1,0500
1,0600
1,0700
1,0800
1,0900
1,1000
1,1100
1,1200
1,1300
1,1400
1,1500
1,1600
1,1700
1,1800
1,1900
1,2000
2
0,5075
0,5150
0,5226
0,5302
0,5378
0,5454
0,5531
0,5608
0,5685
0,5762
0,5839
0,5917
0,5995
0,6073
0,6151
0,6230
0,6308
0,6387
0,6466
0,6545
3
0,3400
0,3468
0,3535
0,3603
0,3672
0,3741
0,3811
0,3880
0,3951
0,4021
0,4092
0,4163
0,4235
0,4307
0,4380
0,4453
0,4526
0,4599
0,4673
0,4747
4
0,2563
0,2626
0,2690
0,2755
0,2820
0,2886
0,2952
0,3019
0,3087
0,3155
0,3223
0,3292
0,3362
0,3432
0,3503
0,3574
0,3645
0,3717
0,3790
0,3863
5
0,2060
0,2122
0,2184
0,2246
0,2310
0,2374
0,2439
0,2505
0,2571
0,2638
0,2706
0,2774
0,2843
0,2913
0,2983
0,3054
0,3126
0,3198
0,3271
0,3344
6
0,1725
0,1785
0,1846
0,1908
0,1970
0,2034
0,2098
0,2163
0,2229
0,2296
0,2364
0,2432
0,2502
0,2572
0,2642
0,2714
0,2786
0,2859
0,2933
0,3007
7
0,1486
0,1545
0,1605
0,1666
0,1728
0,1791
0,1856
0,1921
0,1987
0,2054
0,2122
0,2191
0,2261
0,2332
0,2404
0,2476
0,2549
0,2624
0,2699
0,2774
8
0,1307
0,1365
0,1425
0,1485
0,1547
0,1610
0,1675
0,1740
0,1807
0,1874
0,1943
0,2013
0,2084
0,2156
0,2229
0,2302
0,2377
0,2452
0,2529
0,2606
9
0,1167
0,1225
0,1284
0,1345
0,1407
0,1470
0,1535
0,1601
0,1668
0,1736
0,1806
0,1877
0,1949
0,2022
0,2096
0,2171
0,2247
0,2324
0,2402
0,2481
10
0,1056
0,1113
0,1172
0,1233
0,1295
0,1359
0,1424
0,1490
0,1558
0,1627
0,1698
0,1770
0,1843
0,1917
0,1993
0,2069
0,2147
0,2225
0,2305
0,2385
11
0,0965
0,1022
0,1081
0,1141
0,1204
0,1268
0,1334
0,1401
0,1469
0,1540
0,1611
0,1684
0,1758
0,1834
0,1911
0,1989
0,2068
0,2148
0,2229
0,2311
12
0,0888
0,0946
0,1005
0,1066
0,1128
0,1193
0,1259
0,1327
0,1397
0,1468
0,1540
0,1614
0,1690
0,1767
0,1845
0,1924
0,2005
0,2086
0,2169
0,2253
13
0,0824
0,0881
0,0940
0,1001
0,1065
0,1130
0,1197
0,1265
0,1336
0,1408
0,1482
0,1557
0,1634
0,1712
0,1791
0,1872
0,1954
0,2037
0,2121
0,2206
14
0,0769
0,0826
0,0885
0,0947
0,1010
0,1076
0,1143
0,1213
0,1284
0,1357
0,1432
0,1509
0,1587
0,1666
0,1747
0,1829
0,1912
0,1997
0,2082
0,2169
15
0,0721
0,0778
0,0838
0,0899
0,0963
0,1030
0,1098
0,1168
0,1241
0,1315
0,1391
0,1468
0,1547
0,1628
0,1710
0,1794
0,1878
0,1964
0,2051
0,2139
16
0,0679
0,0737
0,0796
0,0858
0,0923
0,0990
0,1059
0,1130
0,1203
0,1278
0,1355
0,1434
0,1514
0,1596
0,1679
0,1764
0,1850
0,1937
0,2025
0,2114
17
0,0643
0,0700
0,0760
0,0822
0,0887
0,0954
0,1024
0,1096
0,1170
0,1247
0,1325
0,1405
0,1486
0,1569
0,1654
0,1740
0,1827
0,1915
0,2004
0,2094
18
0,0610
0,0667
0,0727
0,0790
0,0855
0,0924
0,0994
0,1067
0,1142
0,1219
0,1298
0,1379
0,1462
0,1546
0,1632
0,1719
0,1807
0,1896
0,1987
0,2078
19
0,0581
0,0638
0,0698
0,0761
0,0827
0,0896
0,0968
0,1041
0,1117
0,1195
0,1276
0,1358
0,1441
0,1527
0,1613
0,1701
0,1791
0,1881
0,1972
0,2065
20
0,0554
0,0612
0,0672
0,0736
0,0802
0,0872
0,0944
0,1019
0,1095
0,1175
0,1256
0,1339
0,1424
0,1510
0,1598
0,1687
0,1777
0,1868
0,1960
0,2054
21
0,0530
0,0588
0,0649
0,0713
0,0780
0,0850
0,0923
0,0998
0,1076
0,1156
0,1238
0,1322
0,1408
0,1495
0,1584
0,1674
0,1765
0,1857
0,1951
0,2044
22
0,0509
0,0566
0,0627
0,0692
0,0760
0,0830
0,0904
0,0980
0,1059
0,1140
0,1223
0,1308
0,1395
0,1483
0,1573
0,1664
0,1756
0,1848
0,1942
0,2037
23
0,0489
0,0547
0,0608
0,0673
0,0741
0,0813
0,0887
0,0964
0,1044
0,1126
0,1210
0,1296
0,1383
0,1472
0,1563
0,1654
0,1747
0,1841
0,1935
0,2031
24
0,0471
0,0529
0,0590
0,0656
0,0725
0,0797
0,0872
0,0950
0,1030
0,1113
0,1198
0,1285
0,1373
0,1463
0,1554
0,1647
0,1740
0,1835
0,1930
0,2025
25
0,0454
0,0512
0,0574
0,0640
0,0710
0,0782
0,0858
0,0937
0,1018
0,1102
0,1187
0,1275
0,1364
0,1455
0,1547
0,1640
0,1734
0,1829
0,1925
0,2021
26
0,0439
0,0497
0,0559
0,0626
0,0696
0,0769
0,0846
0,0925
0,1007
0,1092
0,1178
0,1267
0,1357
0,1448
0,1541
0,1634
0,1729
0,1825
0,1921
0,2018
27
0,0424
0,0483
0,0546
0,0612
0,0683
0,0757
0,0834
0,0914
0,0997
0,1083
0,1170
0,1259
0,1350
0,1442
0,1535
0,1630
0,1725
0,1821
0,1917
0,2015
28
0,0411
0,0470
0,0533
0,0600
0,0671
0,0746
0,0824
0,0905
0,0989
0,1075
0,1163
0,1252
0,1344
0,1437
0,1531
0,1625
0,1721
0,1818
0,1915
0,2012
29
0,0399
0,0458
0,0521
0,0589
0,0660
0,0736
0,0814
0,0896
0,0981
0,1067
0,1156
0,1247
0,1339
0,1432
0,1527
0,1622
0,1718
0,1815
0,1912
0,2010
30
0,0387
0,0446
0,0510
0,0578
0,0651
0,0726
0,0806
0,0888
0,0973
0,1061
0,1150
0,1241
0,1334
0,1428
0,1523
0,1619
0,1715
0,1813
0,1910
0,2008
Prof. Lucilio Alves
CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
2.3.3
Coeficientes ou fatores de financiamento
 No Cepea, o Coeficiente de financiamento multiplicado pelo
valor do bem é tratado como
CUSTO ANUAL DE REPOSIÇÃO DO PATRIMÔNIO – CARP
para analisar a sustentabilidade de negócios agropecuários.
 O produtor vive uma sucessão de ganhos e perdas de capital:
– Um ano seu VP pode subir (ganho de capital);
– Outro pode cair (perda de capital)
 Como examinar a sustentabilidade da fazenda?
 A fazenda vai se manter ao longo do tempo?
Prof. Lucilio Alves
CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
2.3.3
Coeficientes ou fatores de financiamento
 Considere um trator: ele deve ser substituído a cada certo
período de tempo;
 O CARP representa quanto o uso do trator deve proporcionar
anualmente para que:
– Um novo trator possa ser adquirido ao final do período;
– O proprietário tenha um retorno equivalente ao custo de
oportunidade do capital (r);
Prof. Lucilio Alves
CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
2.3.3
Coeficientes ou fatores de financiamento
 Como exemplo, o CARP para uma máquina será:
CARPmaq  frcmaqCRmaq
Onde: frc é o fator de recuperação do capital e CR é o valor de
mercado para reposição da máquina;
 O fator frc leva em conta o custo de oportunidade do capital (r)
e a vida útil da máquina (v):
frc maq
(1  r ) v r

(1  r ) v  1
Prof. Lucilio Alves
CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
2.3.3
Coeficientes ou fatores de financiamento
 Desta forma, determina-se o custo total de produção:
CT = CO + CARP
 Para a fazenda, CARP é a soma dos CARPs individuais que
compõem o patrimônio;
 O produtor deve comparar periodicamente seus valores de RLmax
com o CARP para a fazenda;
 Para se manter no negócio: RLmax  CARP
 Se sistematicamente, RLmax  CARP, o negócio não é
sustentável;
Prof. Lucilio Alves
CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
Dados para uma
fazenda de algodão,
na safra 2006/07,
Mato Grosso, cujo
investimento é para
600 hectares.
O “share of use” é a
razão de cada item
por 600 hectares.
Com um
investimento total
de R$ 1,8 milhão, o
CARP é de R$
932,46/ha,
anualmente.
Description and Quantity
Tractor 121 cv
tractor 140 cv
Tractor 180 cv
Automotriz Uniport
Caminhão Volks 15 mil L
Moto XLR
Caminhonete F350
Colheitadeira
Arado Subsolador
Distribuidor de Calcário
Grade Aradora 18x32 pol
Grade Aradora 28x28 pol
Plantadeira
Vicon
Grade Niveladora
Jato dirigido
Bas Boy
Prensa
Roçadeira
Cultivador - adubador
Arrancador - Vatanab
Concha dianteira
Guincho
Carreta
Tanque de água
Carreta para Transporte de insumos
Casa do administrador
Barracão para defensivos 10x15
Casa de temporário
Oficina
Ferramentas
Almoxarifado
Casa de temporário
Barracão para máquinas 15x30
Cantina para refeição
Alojamento para 12 pessoas
Escritório
TERRA
TOTAL LCF farm equipment
Useful
Life (yrs)
7
7
7
7
10
8
10
7
8
6
8
8
7
7
8
7
5
5
7
7
7
10
10
10
10
10
15
15
15
15
4
6
15
15
15
15
15
1
Replacement Value
BRL
USD
110.000
51.162,79
128.000
59.534,88
155.000
72.093,02
180.000
83.720,93
80.000
37.209,30
9.000
4.186,05
60.000
27.906,98
560.000 260.465,12
17.000
7.906,98
15.000
6.976,74
9.000
4.186,05
8.500
3.953,49
48.000
22.325,58
5.000
2.325,58
11.000
5.116,28
11.000
5.116,28
25.000
11.627,91
30.000
13.953,49
8.000
3.720,93
15.000
6.976,74
42.000
19.534,88
18.000
8.372,09
5.000
2.325,58
45.000
20.930,23
5.000
2.325,58
4.500
2.093,02
40.000
18.604,65
25.000
11.627,91
30.000
13.953,49
10.000
4.651,16
5.000
2.325,58
20.000
9.302,33
30.000
13.953,49
15.000
6.976,74
30.000
13.953,49
30.000
13.953,49
5.000
2.325,58
3.371
1.567,84
1.847.374
859.244
Prof. Lucilio Alves
CRF
0,2054
0,2054
0,2054
0,2054
0,1627
0,1874
0,1627
0,2054
0,1874
0,2296
0,1874
0,1874
0,2054
0,2054
0,1874
0,2054
0,2638
0,2638
0,2054
0,2054
0,2054
0,1627
0,1627
0,1627
0,1627
0,1627
0,1315
0,1315
0,1315
0,1315
0,3155
0,2296
0,1315
0,1315
0,1315
0,1315
0,1315
0,1000
Share
of Use
0,0017
0,0017
0,0017
0,0017
0,0017
0,0017
0,0017
0,0017
0,0017
0,0017
0,0017
0,0017
0,0017
0,0017
0,0017
0,0017
0,0017
0,0017
0,0017
0,0017
0,0017
0,0017
0,0017
0,0017
0,0017
0,0017
0,0017
0,0017
0,0017
0,0017
0,0017
0,0017
0,0017
0,0017
0,0017
0,0017
0,0017
1,0000
Annual Depreciation Cost
(SV)
BRL
USD
37,66
17,52
43,82
20,38
53,06
24,68
61,62
28,66
21,70
10,09
2,81
1,31
16,27
7,57
191,71
89,17
5,31
2,47
5,74
2,67
2,81
1,31
2,66
1,24
16,43
7,64
1,71
0,80
3,44
1,60
3,77
1,75
10,99
5,11
13,19
6,13
2,74
1,27
5,14
2,39
14,38
6,69
4,88
2,27
1,36
0,63
12,21
5,68
1,36
0,63
1,22
0,57
8,76
4,08
5,48
2,55
6,57
3,06
2,19
1,02
2,63
1,22
7,65
3,56
6,57
3,06
3,29
1,53
6,57
3,06
6,57
3,06
1,10
0,51
337,08
156,78
932,46
433,70
CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
2.3.4
Anuidades perpétuas
O cálculo do valor presente para fluxos de pagamento ou
recebimentos com durações indeterminadas se dá
seguinte forma:
PMT3
PMT
PMT PMT2
PV 



...



1  i  1  i 2 1  i 3
1

i
 

PV  
J 1
No limite:
PMTJ
1  i 
J
PV 
PMT
i
Onde
PV = valor presente
PMT = valor de cada pagamento ou recebimento uniforme periódico
i = taxa de desconto
Prof. Lucilio Alves
CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
2.3.4
Anuidades perpétuas
Exemplo
Suponha uma renda mensal perpétua de $ 1.000,00. O valor
presente, à taxa de desconto de 1% a.m., é
*
1.000,00
PV 
0,01
PV  $ 100.000,00
* Esse raciocínio é muito utilizado em avaliação de ações
Prof. Lucilio Alves
CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
2.3.4
Anuidades perpétuas
Exemplo
Calcular o valor de uma empresa que gera fluxos de caixa de
$120.000,00 por ano para seu proprietário. Calcular o valor
presente desse fluxo de caixa utilizando a taxa de juro de 12%
a.a., considerando os prazos 10 anos, 20 anos, 30 anos, 50
anos, 100 anos, 150 anos, 200 anos e a perpetuidade.
Prof. Lucilio Alves
CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
2.3.4
Anuidades perpétuas
1  0,12 1  $678.026,76
1  0,1210  0,12
10
10 Anos- PV  120.000
PV 
n

1  i 1
PMT
1  in i
20

1  0,12  1
20 Anos- PV  120.000
 $896.333,23
1  0,1220  0,12
30

1  0,12  1
30 Anos- PV  120.000
 $966.622,08
30
1  0,12  0,12
50

1  0,12  1
50 Anos- PV  120.000
 $996.539,82
1  0,1250  0,12
100

1  0,12  1
100Anos- PV  120.000
 $999.988,03
1  0,12100  0,12
150

1  0,12  1
150Anos- PV  120.000
 $999.999,96
150
1  0,12  0,12
200

1  0,12  1
200Anos- PV  120.000
 $1.000.000,00
1  0,12200  0,12
P erpet uidade - P V 
Prof. Lucilio Alves
120.000
 $1.000.000,00
0,12
CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
2.3.4
Anuidades perpétuas
• Como avaliar a evolução do patrimônio da fazenda/ agroindústria?
• No caso da fazenda, todo ano o produtor faz o possível para
aumentar o valor de sua propriedade (VP), produzindo aquilo que
proporciona a maior Receita Líquida (RL);
Receita Líquida (RL) = Receita Bruta (RB) – Custos Operacionais (CO)
• Quando RL aumenta – dado o custo de oportunidade do capital (r) –
o patrimônio aumenta;
• O VP é obtido pela capitalização do fluxo presente e futuro de RL.
Prof. Lucilio Alves
CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
2.3.4
Anuidades perpétuas
• Se os preços de produtos e insumos permanecerem
indefinidamente como estão, assim como a tecnologia, o valor
do patrimônio (VP) seria:
RLmax
VP 
r
onde RLmax é a receita líquida máxima da fazenda.
• Suponha uma fazenda de 1000 hectares com soja;
• Se RL = R$ 300,00/ha e objetivou-se um retorno de 10%:
300, 00*1000 300.000, 00
VP 

 3.000.000, 00
0,1
0,1
Prof. Lucilio Alves
CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
Resumo das fórmulas
Considere:
FV = Valor Futuro ou Montante (M);
PV = Valor Presente ou Capital (C);
PMT = Valor de cada Pagamento ou Recebimento
DADO
ACHAR
FÓRMULA
PV
FV
FV  PV 1  i 
PV
 1 
PV  FV 

n
 1  i  
Fator de Valor Atual – FVA
PMT


i
PMT  PV 

n
1  1  i  
Fator de Recuperação do Capital – FRC
Custo Anual de Reposição do Patrimônio – CARP
PV
1  1  i  n 
PV  PMT 

i


Fator de Valor Atual de uma Série – FVAS
PMT
FV
 1  i n  1 
FV  PMT 

i


Fator de Acumulação de uma Série – FAZ
FV
PMT


i
PMT  FV 

n
 1  i   1 
Fator de Formação de Capital – FFC
FV
PV
PMT
FATOR
n
Fator de Acumulação de Capital – FAC
Prof. Lucilio Alves