PUC - Goiás
Curso: Engenharia Civil
Disciplina: Mecânica Vetorial
Corpo Docente: Geisa Pires
Plano de Aula
Leitura obrigatória
Mecânica Vetorial para Engenheiros, 5ª edição revisada, Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston, Jr.
Editora Pearson
CAPÍTULO 3 – Corpos Rígidos: Sistemas
Equivalentes de forças.
4. Produto Vetorial de Dois Vetores
1. Introdução
O produto vetorial de dois vetores é definido por:
No capítulo anterior considerou-se o corpo com um
ponto material. Neste capítulo considera-se o corpo
como o conjunto de vários pontos.
2. Forças Internas e Externas
Forças externas: Ação de outros corpos sobre o
corpo rígido considerado.
Forças internas: Mantém unidos os pontos
materiais que formam o corpo rígido.
Ainda:
  
V  a b

| V | ab.sen
3. Princípio da Transmissibilidade. Forças
equivalentes
Equilíbrio não se altera para força que atuam na
mesma direção.
Vetores: Entes matemáticos que possuem
intensidade, direção e sentido e que se somam de
acordo com a Lei do Paralelogramo.
5. Produto Vetorial Expresso em Termos das
Componentes Cartesianas
Se
  
V  a b
Então:

i

V  ax
bx
Não altera nada no sistema se trocarmos F por F’
pois ambas têm o mesmo módulo, direção e
sentido (estão na mesma linha de ação).
São Chamadas de Forças Equivalentes.

j
ay
by

k
az
bz




V  (a y bz  a z by )i  (a z bx  a x bz ) j  (a x by  a y bx )k
1
6. Momento de Uma Força em Relação a um
Ponto
9. Produto Escalar de Dois Vetores
O produto escalar de dois vetores é definido como
sendo o produto dos módulos de P e Q pelo
cosseno do ângulo formado entre eles:
 
P  Q  PQ cos 
O resultado é um escalar (não é um vetor)
Por definição:

 
M0  r  F
O produto escalar apresenta a propriedade
distributiva:
M 0  rFsen

 
 
 
P.(Q1  Q2 )  P.Q1  P.Q2
Sendo F uma força aplicada em um corpo e r a
posição do ponto de aplicação da força em relação
a um ponto O fixo.
Em termos de coordenadas cartesianas:
 
P  Q  Px Q x  Py Q y  Pz Q z
PQ cos   Px Q x  Py Q y  Pz Q z
7. Teorema de Varignon
cos  
Se várias forças F1, F2, F3,...FN são aplicadas em
um mesmo ponto A de um campo rígido, o
momento total que age sobre o corpo pode ser
determinado usando a propriedade distributiva do
produto vetorial (que foi enunciada primeiramente
pelo matemático Varignon) que é conhecida como
Teorema de Varignon.
Px Q x  Py Q y  Pz Q z
PQ
Projeção de um vetor sobre um dado eixo:
8. Componentes Cartesianas do Momento de
Uma Força
O momento pode ser representado por suas
componentes:

i
ˆj
kˆ
  
M  r  F  rx
ry
rz 
Fx
Fy
Fz
POL  P cos 
 
P.Q  PQ cos   POL Q
 
P.Q Px Q x  Py Q y  Pz Q z
POL 

Q
Q
 (ry Fz  rz Fy )iˆ  (rx Fz  rz Fx ) ˆj  (rx Fy  ry Fx )kˆ
Então:
M x  (ry Fz  rz Fy )
Com Q orientado em OL.
M y  (rx Fz  rz Fx )

Uma escolha particular de Q sendo unitário  ,
temos:
 
POL  P.
M z  (rx Fy  ry Fx )
POL  Px cos   Py cos   Pz cos 
2
10. Produto Misto de Três Vetores
O produto misto é dado pela expressão:

  
S. P  Q
Sx
  
S . P  Q  Px
Qx



Sy
Py
Qy

  
  
 
rA  F  rB  ( F )  (rA  rB )  F  r  F
  
M  r  F  rFsen
Sz
Pz
Qz
M  F .d
11. Momento de uma Força em Relação a Um
Eixo Dado
Onde d é a distância entre as linhas de ação.

Definição: Projeção do momento M 0 sobre o eixo
OL.
13. Binários Equivalentes

Dois binários que tem o mesmo momento M são
chamados de binários equivalentes.
14. Adição de Binários
     
M  r  F  r  ( F1  F2 )
    
M  r  F1  r  F2



M  M1  M 2
x
M OL
y
z
15. Binários Representados por Vetores
M OL  rx ry rz
Fx Fy Fz

é a projeção de M 0 sobre o eixo OL.
12. Momento de Um Binário
Duas forças F e –F que tenham o mesmo módulo,
linhas de ação paralelas e sentidos opostos formam
um binário. A soma das componentes é zero. A
soma dos momentos não é zero.
3
16. Decomposição de uma Força Dada em uma
Força em O e um Binário
18. Sistema Equivalente de Força
Dois sistemas de forças são equivalentes se
puderem ser reduzidas ao mesmo sistema forçabinário em um dado ponto O.


 F   F ' 
M  M'
0
0
Exercícios
Isso nos diz que qualquer força F que atua sobre
um corpo rígido pode ser deslocada para um ponto
arbitrário O, desde que seja acrescentado um
binário de momento igual ao momento de F em
relação a O.
1 – Uma força de 200 N é aplicada ao suporte
ABC, como ilustrado. Determine o momento da
força em relação a A.
R: 7,50 i – 6,00 j – 10,4 k (N.m)
17. Redução de um Sistema de Forças a uma
Força e um Binário
Vimos que toda força pode ser deslocada ao ponto
O, se for adicionado um binário correspondente.
  
Após fazer isso com todas as forças ( F1 , F2 , F3 )
teremos vários vetores de força concorrentes, que
podem ser somados, assim como vários momentos,
que também se somam vetorialmente nos
fornecendo uma resultante.
4
2 – O fio AE está esticado do canto A ao canto E
de uma chapa dobrada. Sabendo que a tração no fio
é de 435 N, determine o momento em relação a O
da força exercida pelo fio (a) no canto A e (b) no
canto E.
R: a) M = (-29.75, 17.23,29.75) N.m
b)
5 – O suporte ACD está articulado em A e D e é
sustentado por um cabo que passa através do anel
em B e que está preso nos ganchos G e H. Sabendo
que a tração no cabo é de 450 N, determine o
momento em relação à diagonal AD, da força
aplicada no suporte pelo segmento BH do cabo.
R: -90,0 N.m
3 – Três cabos são utilizados para sustentar um
recipiente, como ilustrado. Determine o ângulo
formado pelos cabos AB e AD.
R: 77,9 °
4 – Sabendo que a força de tração no cabo AB é de
570 N, determine o momento, em relação a cada
um dos eixos coordenados, da força aplicada no
ponto B da placa.
M x  0 N .m
R: M y  162 N .m
M z  270 N .m
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6 – A barra vertical CD, de 584 mm, está soldada
ao ponto médio da barra AB de 1270 mm.
Determine o momento em relação a AB da força P
de módulo igual a 1045 N.
R: 280 N.m
9 – Uma força de 11,6 kN é aplicada ao ponto D do
suporte de ferro fundido da figura. Substitua a
força por um sistema força-binário equivalente no
centro A da seção da base.
7 – Determine as componentes do binário
equivalente aos dois binários da figura.
R: Mx = -67,5 N.m My = 30,0 N.m Mz = 22,5 N.m
10 – A haste AB de 4,57 m tem a extremidade A
fixa, sendo a força de tração no cabo BC de 1690
N. Substitua a força do cabo em B por um sistema
força-binário equivalente em A.
R: F = -1334 i + 534 j – 890 k (N)
M = 4067 j + 2440 k (N.m)
8 – Duas forças de 60 N são aplicadas, como
ilustrado, aos vértices A e C de uma placa
quadrada de 200 mm de lado. Determine o
momento do binário formado pelas duas forças: a)
multiplicando o módulo das forças pela distância
entre suas linhas de ação e b) decompondo cada
força segundo as direções horizontal e vertical e
somando os momentos dos dois binários
resultantes.
R: Por qualquer método é M = 16,39 N.m
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11 – Uma laje quadrada suporta as quatro colunas
indicadas. Determine o módulo, a direção, o
sentido e o ponto de aplicação da resultante das
quatro cargas.
R: R = -400 j
Posição = x = 1,05 m e z = 0,90 m
13 – Uma força de 1156 N é aplicada ao perfil de
aço da figura. Substitua a força por um sistema
força-binário equivalente aplicado ao centro C da
seção.
14 – Uma força vertical P de 150 N é aplicada no
ponto A do suporte da figura, que está presa por
parafusos em B e C. (a) Substitua P por um sistema
força-binário equivalente, aplicado em B. (b)
Determine as duas forças horizontais aplicadas em
B e C que são equivalentes ao binário obtido no
item (a).
12 – Uma laje retangular de concreto suporta a
carga de quatro colunas como ilustrado. Determine
o módulo, a direção e o ponto de aplicação da
resultante das quatro cargas.
R: R = -500 j
Posição = x = 2,56 m e z = 2,00 m
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