UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
ESCOLA POLITÉCNICA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA
ENG 008 – Fenômenos de Transporte I A – Profª Fátima Lopes
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Estática dos fluidos
Definição:
Um fluido é considerado estático se todos os elementos do fluido estão parados ou
se movem com uma velocidade constante, relativamente a um sistema de referência.
Para que esta condição seja satisfeita, é necessário que exista um equilíbrio entre
as forças que agem sobre o elemento do fluido considerado.
A ciência da estática dos fluidos será tratada em duas partes:
1. O estudo da pressão e sua variação no interior de um fluido;
2. O estudo das forças de pressão em superfícies finitas.
Como não há movimento de uma camada de fluido em relação à outra adjacente, não
haverá desenvolvimento de tensões de cisalhamento no fluido.
Dentre as forças de superfície as forças tangenciais (responsáveis pela tensão de
cisalhamento) não são consideradas pois está se estudando estática dos fluidos e a ação
deste tipo de força colocaria o fluido em movimento. Resta então as forças normais
responsáveis pela tensão normal, tensão de pressão ou simplesmente pressão.
Desta forma, em todos os sistemas estudados pela estática dos fluidos, agirão
somente forças normais de pressão.
Pressão em um ponto:
A pressão média é calculada dividindo-se a força normal que age contra uma
superfície plana, pela área desta.
A pressão em um ponto M qualquer é definida como o limite da relação entre a
força normal e a área, quando fazemos a área tender a zero no entorno do ponto.
P = lim
δA → 0
δF
δA
A pressão em um ponto de um fluido em repouso é a mesma em qualquer direção,
seu valor independe da direção sendo portanto uma grandeza escalar.
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Deste modo, a pressão no seio de um fluido é uma função de posição (função de
ponto), ou seja p = p(x,y,z).
Pode-se demonstrar este fato, adotando um pequeno corpo em forma de cunha, de
comprimento unitário, no ponto (x,y) de um fluido em repouso.
Como não podem existir tensões de cisalhamento as únicas forças são as normais:
de contato e o peso (campo).
peso = ? x volume
volume = área da base x altura
área da base = área do triângulo
altura = 1
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∑ Fx = p x δ y − (p s δ S)x
∑ Fy = p y δ x − (p s δ S)y − γ
δy
δx δy
2
δS
δ x = δ S cos θ
θ
δ y = δ S sen θ
δx
ps δ S
θ
(p s δ S )y
(p s δ S )x
(ps δ S)x = p s δ S sen θ = p s δ y
(ps δ S)y = ps δ S cos θ = ps δ x
∑ Fx = p x δ y − (ps δ S)x = p x δ y − p s δ y
δx δy
δx δy
= p y δ x − ps δ x − γ
∑ Fy = p y δ x − (p s δ S)y − γ
2
2
Se um fluido está em repouso a força resultante que age sobre ele é zero, logo isto
implica também em dizer que as componentes da força resultante são nulas.
∑ Fx = p x δ y − p s δ y = 0
δx δy
=0
∑ Fy = p y δ x − ps δ x − γ
2
γ
δ x δ y é um infinitésimo de ordem superior e pode ser desprezado.
2
p x δ y − p s δ y = 0 ∴ (p x − p s ) δ y = 0 ∴ p x − p s = 0 ∴ p x = p s
p y δ x − p s δ x = 0 ∴ (p y − p s ) δ x = 0 ∴ p y − p s = 0 ∴ p y = p s
Se p x = p s e p y = p s , temos:
p x = p y = ps
Como θ é um ângulo arbitrário, esta equação prova que a pressão é a mesma em
todas as direções em um ponto de um fluido em repouso.
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Se o fluido estiver em movimento de forma que uma camada se mova em relação a
outra adjacente, ocorrerão tensões de cisalhamento, e as tensões normais não terão o
mesmo valor em qualquer direção em torno de um ponto.
A pressão neste caso (não estático) será definida como sendo a média das três
tensões de compressão normais quaisquer, mutuamente perpendiculares em um ponto.
p=
px + py + pz
3
(
)
Em um fluido ideal ou perfeito µ = 0 , não ocorrerão tensões de cisalhamento,
mesmo quando o fluido está sujeito a qualquer movimento, neste caso a pressão será a
mesma em todas as direções.
Equação básica da estática dos fluidos
Variação da pressão em um fluido em repouso.
As forças que agem em um elemento de fluido em repouso são:
1. forças de campo (peso)
2. forças de contato ou superfície (pressão)
Objetivo:
Obter uma equação que permita determinar o campo de pressão no fluido.
Vamos considerar um elemento diferencial de massa dm com dimensões dx, dy e
dz:

∂p d y
 p +
 d x d z
∂
y
2


y
(− j)
no centro a pressão é p
dy
0
dz
dx

∂ p d y
 p −
 d x d z
∂
y
2


( j)
x
z
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d F = d Fs + d F B
d F = d m a = a d m = a ρ d∀
dF
=ρa
d∀
Fluido estático: a = 0 ⇒ d F = 0
d∀
Para um elemento diferencial de fluido, a força de campo
d FB = g d m = g ρ d ∀
d F B , é:
onde:
g - vetor gravidade local
ρ - massa específica
d ∀ - volume do elemento
em coordenadas cartesianas:
Assim:
d∀ = dx dy dz
d FB = ρ g d x d y d z
ou:
d FB = γ d ∀
sendo γ = ρ g e d ∀ = d x d y d z
Logo:
d FB = ρ g d x d y d z
Inicialmente vamos considerar que p = p(x,y,z).
A força de pressão resultante pode ser calculada somando-se as forças que agem
nas seis faces do elemento de fluido.
Seja a pressão no centro 0 do elemento igual a p.
Então:
pL = p +
∂p
∂p
dy
∂p dy
( yL − y) = p +  −  = p −
∂y
∂y 2 
∂y 2
Teorema do valor médio:
f ( y + ∆ y ) = f ( y) + f ′ ( y ) ∆ y
pR = p +
∂p
(y R − y ) = p + ∂ p  d y  = p + ∂ p d y
∂y
∂y 2 
∂y 2
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
∂p dx

∂p dx
d FS =  p −
 d y d z (i) +  p +
 d y d z (− i ) +
∂
x
2
∂
x
2





∂p d y

∂ p d y
 p −
 d x d z ( j) +  p +
 d x d z (− j) +
∂
y
2
∂
y
2





∂ p d z

∂p dz
 p −
 d x d y (k ) +  p +
 d x d y ( − k )
∂
z
2
∂
z
2




 ∂p
∂p
∂p 
d F S =  −
i−
j−
k  d x d y d z
∂
x
∂
y
∂
z


ou
∂p
∂p
∂p 
d F S = − 
i+
j+
k  d x d y d z
∂
x
∂
y
∂
z


− grad p = − ∇ p
d FS = − grad p (d x d y d z ) = − ∇ p d x d y d z
d FS
grad p = ∇ p = −
dx d y d z
O gradiente de pressão é a força de superfície por unidade de volume devido à
pressão, com sinal negativo.
d F = d Fs + d F B
(− grad p + ρ g ) d x d y d z
Em termos de volume unitário:
dF
dF
=
= − grad p + ρ g
d∀ d x d y d z
Para uma partícula de fluido, a segunda lei de Newton fornece:
d F = d m a = a d m = a ρ d∀
Para um fluido estático, a = 0, então:
dF
=ρa=0
d∀
Substituindo-se:
− grad p + ρ g = 0
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− grad p
 força de pressão por 


unidade
de
volume
em


 um ponto



Componente-x:
Componente-y:
Componente-x:
Tem-se que:
ρg
+
=
 força de campo por 


unidade
de
volume
em


 um ponto



0
= 0
∂p
+ ρ gx = 0
∂x
∂p
−
+ ρ gy = 0
∂y
∂p
−
+ ρ gz = 0
∂z
−
gx = 0
gz = 0
gy = − g
Logo:
∂p
=0
∂x
∂p
=−ρg
∂y
∂p
=0
∂z
dp
=−ρg= −γ
dy
(1)
Foi considerado o eixo y sendo vertical.
Para o fluido estático a gravidade é a única força de corpo.
Esta equação diferencial simples relaciona a variação de pressão com o peso
específico e a variação de cota, sendo válida tanto fluidos compressíveis como para
incompressíveis.
Para fluidos que podem ser considerados como homogêneos e incompressíveis,
= constante, pode-se integrar a equação (1):
γ
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p=−γ y+c
(2)
onde
c – constante de integração
A lei básica da hidrostática só computa valores para a pressão devidos à coluna de
líquido. Portanto, na superfície:
Para y = 0, p = 0 ⇒ c = 0 ⇒
p=−γ y
y
p aumenta com h
h
A lei da hidrostática da variação de pressão é escrita freqüentemente na forma:
p= γh
(3)
na qual h é medida verticalmente para baixo.
Exemplo:
Obter a equação (3) adotando-se como sistema fluido uma coluna vertical de
líquido de altura finita h, tendo sua face superior na superfície livre.
área A
h
c
A pressão p no ponto c deve-se ao peso da coluna de líquido dividido pela área:
p=
F
A
∴
p=
mg
A
Multiplicando e dividindo por h:
p=
mgh mgh
=
Ah
V
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Mas:
m
g=ρg= γ
V
Então:
p= γh
Exemplo 2.1 – Streeter, pág. 31:
Um tanque aberto contém 0,61 m de água coberto por 0,30 m de óleo de
densidade 0,83. Determinar a pressão na interface e no fundo do tanque.
p0 = 0
óleo
h1 = 0,30 m
água
h2 = 0,61 m
p1
p2
γ H 2 O = 10 3 kgf m 3
γ óleo = 0,83 × 10 3 kgf m3
γ óleo = 8,3 × 10 2 kgf m3
p1 = γ óleo h 1 = 8,3 × 10 2 kgf m3 × 0,30 m = 249,0 kgf m 2
p 2 = p1 + γ H 2 O h 2 = 249,0 kgf m 2 + 103 kgf m3 × 0,61 m =
= 859,0 kgf m 2
Pressões instrumentais e absolutas
Valores de pressão devem ser dados relativos a um nível de pressão de referência.
Se o nível de referência for um vácuo, as pressões são chamadas absolutas.
Em sua maioria, os manômetros de pressão na verdade lêem uma diferença de
pressão – a diferença entre o nível de pressão medido e o nível ambiental (normalmente,
a pressão atmosférica).
Níveis de pressão medidos com relação à pressão atmosférica são denominados
pressões instrumentais ou manométricas.
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Nível de pressão 2
Pinstrumental ou manométrica 2
Pabsoluta 2
Pabsoluta 1
Pefetiva negativa (depressão, vácuo, sucção)
Nível de pressão 1
Patm nas condições padrões ao
nível do mar
vácuo
patm = 101,3 kPa = 14,696 lbf/in2 abs
1 kPa = 1000 Pa → Pa [=] N/m2
Pressões absolutas devem ser usadas em todos os cálculos com a equação do gás
ideal e outras equações de estado. Assim,
pabsoluta = p instrumental + patmosférica
Vimos então que a pressão pode ser expressa em relação a qualquer referência
arbitrária.
Usualmente, adota -se como tal, o zero absoluto e a pressão atmosférica local.
Ø Pressão absoluta – quando a medida de pressão é expressa como sendo a
diferença entre o seu valor e o vácuo absoluto.
Ø Pressão efetiva ou relativa ou instrumental – quando é expressa como sendo a
diferença entre o seu valor e o da pressão atmosférica, (é a leitura do manômetro).
Unidades típicas de pressão:
1. lbf/in2 = psi
2. lbf/ft2
3. kgf/m2
4. in de Hg
5. mm de Hg
6. ft de H2 O ou m de H2O
7. N/m2 = Pa
8. atm, bar
(1 bar = 0,9869 atm)
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Pressão atmosférica normal ou padrão
É a pressão média ao nível do mar.
Patm = 29,92 in Hg (30 in Hg) = 760 mm Hg = 14,7 psi = 2116 lbf/ft2
= 34 ft de H2O = 1 atm = 1,033 x 104 kgf/m2 = 10,33 m de H2 O
= 101,3 kPa
1 kPa = 1000 Pa
Pa [=] N/m2
Observação:
Uma pressão expressa em termos de coluna de um líquido, refere-se à força por
unidade de área na base da coluna.
p=γh
?
expressão para a variação da pressão com a profundidade do líquido.
Manômetro de Bourdon:
Um dos dispositivos típicos para a medida de pressões efetivas.
O zero será indicado no mostrador sempre que as pressões internas e externas do
tubo forem iguais, independentemente de seu valor.
Estes manômetros consistem de um tubo curvo aberto em uma extremidade e
fechado na outra. O lado aberto fica em contato com o fluido que se quer medir a pressão,
ao passo que a extremidade fechada é ligada a um mecanismo capaz de acionar um
ponteiro. O fluido sob pressão entra na parte aberta do tubo e tende a estica-lo, fazendo
com que o mecanismo seja acionado. A pressão é lida diretamente em um mostrador
previamente calibrado.
Pressão atmosférica local
É a medida por um barômetro ou um aneróide que mede a diferença de pressão
entre a atmosfera e um reservatório no qual foi feito o vácuo, de forma análoga que no
tipo Bourdon, exceto pelo fato de que o tubo é esvaziado e selado.
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Barômetro Aneróide ?
medidas de pressões absolutas
vácuo
Patm
0
1
As pressões exercidas fora do diafragma causam uma deflexão para dentro, e
estas deflexões fornecem uma medida direta das pressões aplicadas.
BARÔMETRO:
Considerando um tubo e uma cuba cheia de um líquido (de preferência com
pressão de vapor baixa).
Se o tubo for emborcado dentro da cuba de modo a não entrar ar o líquido irá
descer e estabilizar-se a uma certa altura h.
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Se o líquido apresentar uma pressão de vapor realmente pequena, como o
mercúrio, a pressão p 1 pode ser considerada nula (vácuo) e tem-se:
p A = p atm = γ L h
OBSERVAÇÃO:
Em relação ao gráfico de pressões, para fixar o conceito de pressão efetiva,
suponhamos que:
ponto 1
→ 18 in de Hg abs;
pressão barométrica →
29 in Hg;
Então, a pressão efetiva será:
- 11 in Hg
11 in Hg de depressão
11 in Hg de sucção
11 in Hg de vácuo
psi – unidade de pressão
1 psi =
1 lbf
in 2
1 atmosfera = 14,7
lbf
= 14,7 psi
in 2
p=γh
patm = 30 in Hg
p = 62, 4
lbf
ft 3
d Hg = 13,6
× 13,6 ×
1 ft 3
(12 )3 in 3
× 30 in = 14,7
lbf
in 2
= 14,7 psi
h (in)
γ HG  lbf 3 
in
Na convenção adotada no livro texto nada se indica quando a pressão for efetiva ,
indicando sempre que for absoluta , com exceção da pressão atmosférica que estará
sempre na escala absoluta.
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EXEMPLO 2.3:
Expressar 4 psi de oito maneiras usuais.
I) Supondo a pressão efetiva de 4 psi = 4 lbf/in2
1)
4
lbf
in
2
×
144 in 2
2
= 576 lbf ft 2
1 ft
1 atm
30 in Hg
2) 4 psi ×
×
= 8,16 in Hg
14,7 psi
1 atm
1 atm
34 ft H 2 O
3) 4 psi ×
×
= 9,25 ft H 2 O
14,7 psi
1 atm
II) Na escala absoluta
4) De (2)
8,16 in Hg (ef ) + 28,5 in Hg (bar) = 36,66 in Hg abs
5)
36,66 in Hg abs ×
6)
1, 222 atm abs ×
1 atm
= 1,222 atm abs
30 in Hg
14,7 psi
= 18,0 psia
1 atm
2116 lbf ft 2
7) 1, 222 atm abs ×
= 2583,16 lbf ft 2 abs
1 atm
8)
1, 222 atm abs ×
34 ft H 2O
= 41,6 ft H 2O abs
1 atm
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