Rede Recíproca em 1D
Espaço real ou direto – rede de bravais
a
Onda Plana eiKx onde K=2/
Para alguns valores de K, a onda
plana terá a mesma periodicidade
da rede de bravais
O conjunto de vetores de onda K
que produzem ondas planas com a
mesma periodicidade de uma dada
rede de Bravais é conhecido como
rede recíproca.
eiK(x+a) = eiKx
ou
eiKa=1 (K=2/a)
Espaço recíproco – rede de Bravais
2/a
Rede Recíproca em 3D e 2D
Conjunto de vetores K com a mesma periodicidade:
A rede recíproca também é uma rede de Bravais:
3D:
2D:
g1  2
a2  n
a1  a2
g 2  2
n  a1
a1  a2
g3  0 n
Observemos primeiramente que: bi  aj = 2ij
Podemos escrever K como uma combinação linear dos vetores b1, b2, b3
e R como combinação linear dos vetores a1, a2, a3
K=k1b1 + k2b2 + k3b3, R=n1a1 + n2a2 + n3a3
KR = 2(k1n1 + k2n2 + k3n3)= 2  inteiro
k1, k2, k3 são inteiros
Célula de Wigner-Seizt
Escolha um ponto da rede e trace
linhas que conecte este ponto aos
vizinhos mais próximos
Desenhe
bissetrizes
cortando,
perpendicularmente, as linhas traçadas
anteriormente.
A menor área definida por estas linhas
é a célula de Wigner-Seizt (em laranja)
Espaço direto
Espaço recíproco
Célula de Wigner-Seizt de uma BCC
Zona de Brillouin BCC
Célula de Wigner-Seizt de uma FCC
Zona de Brillouin FCC
Estrutura de Bandas para a Ag
Rede recíproca em 3D: composta de pontos distribuídos no espaço
Rede recíproca em 2D: composta de linhas distribuídas no plano
Rede recíproca de um cristal real: superposição das duas redes
Nomeclatura de superfícies
Notação de Wood:
S(hkl)(mn)R-A
Notação Matricial:
b1 = s11a1 + s12a2
b2 = s21a1 + s22a2
s11 s12
S= s21 s22
Superfícies de Metais
• Relaxações em superfícies limpas;
• Reconstruções em superfícies limpas;
• Reconstruções devido a presença de
contaminantes.
fcc(100)
fcc(110)
fcc(111)
bcc(100)
bcc(110)
bcc(111)
Relaxações em Metais
Por que relaxação?
Reconstruções
em Metais
fcc(110)(1x2):
Missing-row
• Iridium
• Platina
• Ouro
fcc(100)(1x5):
• Iridium
• Platina
• Ouro
bcc(100)c(2x2):
• Tungstênio
Reconstruções em Metais devido à presença de
contaminantes
Sítios de adsorção de alta simetria no fcc(100):
top
4-fold
hollow
bridge
Sítios de adsorção de alta simetria no fcc(110)
hollow-tilted
2-fold
hollow
short bridge
top
long bridge
Sítios de adsorção de alta simetria no fcc(111):
bridge
3-fold fcc
hollow
3-fold hcp
hollow
top
Co(0001)(33)R30-CO
Experimental
Theory
(2,0)
Intensity (a.u.)
(4/3,1/3)
(2/3,2/3)
(1,1)
(1,0)
(1/3,1/3)
//
100
200
300
Energy(eV)
400
100
200
300
Energy(eV)
1.17 0.06 Å
0.04 0.04 Å
1.78 0.06 Å
2.04 0.05 Å
2.034 Å
400
Rh(111)(33)R30-CO
Rh(111)(2x2)-3CO
Top
Bridge
FCC
HCP
4fold
2.4
2.2
Bond Length (Å)
2.0
C-Co
1.8
1.6
1.4
C-O
1.2
1.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
Effective Coordination
4.0
4.5
5.0
5.5
fcc(110)(2x1)-O – missing row/added row
O
missing rows
Sn sobre Ni(111), Ni(100) e Ni(110)
Ni(111)(3x3)R30-Sn (Sb sobre Ag(111))
Sn
Ni
Sn-Ni= (0.45±0.03)Å
Sb-Ag= (0.07±0.04)Å
Ni(100)c(2x2)-Sn
Sn
Ni
Sn-Ni= (0.44±0.05)Å
Ni(110)c(2x2)-Sn (Sb sobre Ag(110))
Sn
Ni
Sn-Ni= (0.40±0.03)Å
Sb-Ag= (-0.05±0.05)Å
(111)
(100)
(110)
Sn sobre Ni
0.45
0.44
0.40
Sb sobre Ag
0.05
??
-0.05
Cu(100)(3x3)-5Li
Cu(100)(4x4)-10Li