RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Olá, pessoal!
Com a publicação do edital da RFB, resolverei algumas questões de Estatística
Inferencial propostas pela ESAF em 2012. Vale ressaltar que das 20 questões
(com peso 2) na prova de 2009 para Auditor, 6 foram de Estatística.
01. (Ministério da Integração Nacional 2012/ESAF) Seja X uma variável
aleatória contínua com função densidade de probabilidade constante no
intervalo [0,2]. Determine sua variância.
a) 1/3
b) 1/2
c) 2/3
d) 5/7
e) 5/6
Resolução
Utilizando o cálculo integral (assunto de cursos na área de exatas como
engenharia, matemática, etc.), pode-se demonstrar que o valor esperado e a
variância desta distribuição de probabilidade são dados por:
2
² Assim, a variância será igual a:
² ²
12
4
1
2 0²
12 3
12
Letra A
02. (Ministério da Integração Nacional 2012/ESAF) Se X for a soma dos
quadrados de n variáveis aleatórias N(0,1) independentes, então X é uma
variável
a) F com 1 grau de liberdade no numerador e n graus de liberdade no
denominador.
b) T2 de Hotelling com n-1 graus de liberdade.
c) “t” de Student com n-1 graus de liberdade.
d) Lognormal.
e) Qui quadrado com n graus de liberdade.
Resolução
Questão puramente teórica. Inclusive, no concurso da CGU em 2008, tivemos
uma questão idêntica a essa. A soma de n variáveis aleatórias N(0,1)
independentes é uma distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade.
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O símbolo N(0,1) é uma forma de representar variáveis aleatórias normais. O
“N” indica que a variável aleatória normal. Dentro dos parênteses, o primeiro
número indica a média e o segundo número indica a variância.
Então o que temos na questão é uma soma de quadrados de variáveis normais
com média zero e desvio padrão unitário (já que a variância é igual a 1).
Letra E
03. (Ministério da Integração Nacional 2012/ESAF) Uma amostra aleatória
simples de tamanho 9 de uma população com distribuição normal levou ao
cálculo de uma média amostral igual a 32 e ao cálculo de uma variância
amostral igual a 225. Construa um intervalo de 95% de confiança para a
média da população.
a) 27,1 a 36,9
b) 22,2 a 41,8
c) 12,4 a 51,6
d) 2,6 a 61,4
e) -17 a 81
Resolução
Repare que não conhecemos a variância da população. Sempre que isso
acontece, nós devemos adotar os seguintes procedimentos:
Utilizamos a variância amostral no lugar da variância da população e depois
consultamos a tabela da distribuição T. Portanto, o procedimento correto seria
utilizar a distribuição T. Mesmo assim, a ESAF não forneceu a tabela da
distribuição T de Student.
Desta forma, teremos que utilizar os valores da variável normal reduzida.
Reiterando que o correto seria utilizar a distribuição T, mas não vamos “brigar”
com o enunciado.
Devemos saber que o valor de Z associado a 95% de confiança é 1,96 (tem
que decorar esse valor!!).
Z 0 = 1,96
Em seguida devemos determinar o valor de X específico para a amostra feita
(esse valor foi fornecido no enunciado).
32
Agora vamos determinar o desvio padrão de X . A amostra tem tamanho 9 (n
= 9). O desvio padrão de X é dado pela fórmula (observe que como a
variância é 225, o desvio padrão é 15):
15
5
√ √9
Pois bem, o intervalo de confiança pedido é dado por:
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– · ; · Substituindo os valores:
X − Z0 ×σ X ≤ µ ≤ X + Z0 ×σ X
32 − 1,96 × 5 ≤ µ ≤ 32 + 1,96 × 5
32 − 9,8 ≤ µ ≤ 32 + 9,8
22,2 ≤ µ ≤ 41,8
Letra B
04. (Ministério da Integração Nacional 2012/ESAF) Dos 120 candidatos do sexo
masculino que se submeteram a um concurso, 55 foram aprovados, enquanto
dos 180 candidatos do sexo feminino que se submeteram ao mesmo concurso,
95 foram aprovados. Se desejarmos testar a hipótese estatística de que a
proporção de aprovação no concurso independe do sexo dos candidatos,
calcule o valor mais próximo da estatística do teste, que tem
aproximadamente uma distribuição Qui quadrado com um grau de liberdade.
a) 1,91
b) 1,74
c) 1,65
d) 1,58
e) 1,39
Resolução
Frequências observadas:
Aprovados
Homem 55
mulher 95
Total
150
Reprovados
65
85
150
Total
120
180
300
No geral, temos 50% de aprovados. Se a proporção de aprovados for a mesma
entre homens e mulheres, então esperaríamos ter 50% de aprovados em cada
grupo.
Frequências esperadas:
Aprovados
Homem 60
mulher 90
Total
150
Reprovados
60
90
150
Total
120
180
300
Para cálculo da estatística teste, fazemos o seguinte:
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- subtraímos as frequências observadas das esperadas
- elevamos ao quadrado
- dividimos pela frequência esperada
- somamos todos os resultados acima indicados.
A estatística teste fica:
²
!"
²
55 60$ 65 60$ 95 90$ 85 90$ 25 25 25 25
60 60 90 90
60
60
90
90
!"
5
5
5
5
10 10 5 5 15 10 25
& 1,39
12 12 18 18 12 18 6 9
18
18
Letra E
05. (Ministério da Integração Nacional 2012/ESAF) A especificação técnica de
um produto afirma que a média de sua característica principal é de 200. Para
testar esta afirmação, uma amostra aleatória simples de tamanho 9 forneceu
uma característica média de 187 e desvio padrão amostral de 26. Calcule o
valor mais próximo da estatística t para testar a hipótese nula de que a média
da característica principal do produto é 200, admitindo que a distribuição da
característica é normal.
a) -2,17
b) -1,96
c) -1,89
d) -1,67
e) -1,5
Resolução
Para calcular o valor da estatística teste, devemos utilizar a seguinte fórmula:
("
("
!"
!"
) )
*
*+,
√
187 200
13
3
13 ·
1,5
26
26
26
3
√9
Letra E
Ficamos por aqui. Foco nos estudos, pessoal!
Um abraço e até o próximo ponto.
Guilherme Neves
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