RESOLUÇÃO
Matemática APLICADA
FGV Administração - 09.12.12
VESTIBULAR FGV 2013 – 09/12/2012
RESOLUÇÃO DAS 10 QUESTÕES DE MATEMÁTICA
DA PROVA DA TARDE – MÓDULO DISCURSIVO
QUESTÃO 1
A Editora Progresso decidiu promover o lançamento do livro Descobrindo o Pantanal em uma Feira Internacional de Livros, em 2012. Uma pesquisa feita pelo departamento de Marketing estimou a quantidade de livros
adquirida pelos consumidores em função do preço de cada exemplar.
Preço de Venda
Quantidade Vendida
R$ 100,00
30
R$ 90,00
40
R$ 85,00
45
R$ 80,00
50
Considere que os dados da tabela possam ser expressos mediante uma função polinomial do 1º grau
y = a ⋅ x + b, em que x representa a quantidade de livros vendida e y, o preço de cada exemplar.
a) Que preço de venda de cada livro maximizaria a receita da editora?
b) O custo unitário de produção de cada livro é de R$ 8,00. Visando maximizar o lucro da editora, o gerente
de vendas estabeleceu em R$ 75,00 o preço de cada livro. Foi correta a sua decisão? Por quê?
Resolução:
100 = a $ 30 + b
100 = a $ 30 + b
a = –1
a) *
&*
&*
90 = a $ 40 + b
10 = –10a
b = 130
Logo, y = –x + 130
Receita = R = x ⋅ y = x ⋅ (–x + 130)
0 130
R é máxima para x = +
= 65 , portanto para y = –65 + 130 = 65 (reais).
2
b) Na venda de x livros, ao preço y reais cada um, o lucro L é dado por:
L = x ⋅ y – 8x = –x2 + 130x – 8x = –x2 + 122x
–122
L é máximo para x =
= 61, portanto para y = –61 + 130 = 69 (reais).
2 (–1)
Portanto, a decisão não foi correta.
Resposta:
a) R$ 65,00
b) Não. O lucro é máximo se o preço de venda de cada livro for R$ 69,00.
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QUESTÃO 2
A editora fez também um estudo sobre o lançamento do livro em duas versões: capa dura e capa de papelão.
A pesquisa mostrou que, se a versão capa dura for vendida por x reais e a versão capa de papelão por y reais,
serão vendidos, no total, 130x + 70y – (x2 + y2) exemplares das duas versões. Por uma questão de estratégia,
o gerente de vendas decidiu que a versão capa dura deve custar o dobro da versão capa de papelão.
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QUESTÃO 4
Um funcionário do setor de planejamento da Editora Progresso verificou que as livrarias dos três clientes
mais importantes estão localizadas nos pontos A (0,0), B (1,7) e C (8,6), sendo que as unidades estão em
quilômetros.
a) Qual deve ser o preço de venda de cada versão, de modo que a quantidade de livros vendida seja a maior
possível?
a) Em que ponto P(x, y) deve ser instalado um depósito para que as distâncias do depósito às três livrarias
sejam iguais?
b) Nas condições do item a), quantos exemplares a editora estima vender no total?
b) Qual é a área do quadrado inscrito na circunferência que contém os pontos A, B e C?
Resolução:
a) Quantidade de livros vendida = Q = 130x + 70y – (x2 + y2)
Caso x = 2y, Q = 130 ∙ 2y + 70y – (4y2 + y2) = 330 y – 5y2
300
Q é máxima para y =
= 33, logo x = 66.
2 ( 5)
b) Para x = 66 e y = 33:
Q = y (330 – 5y) = 33 ∙ (330 – 165) = 33 ∙ 165 = 5 445
Resolução:
a) O triângulo de vértices A (0,0), B (1,7) e C (8,6) é retângulo em B, pois:
AC = 10; BC =
2
2
50 ; AB = 50 e 102 = ` 50j + ` 50j .
Então, o ponto P (x, y) equidistante dos vértices do DABC é o ponto médio de sua hipotenusa. Logo:
xP =
0+8
0+6
= 4 e yP =
=3
2
2
Resposta:
a) Capa dura por R$ 66,00 e capa de papelão por R$ 33,00.
b) 5 445 exemplares
QUESTÃO 3
No estande de vendas da editora foram selecionados 5 livros distintos, grandes, de mesmo tamanho, e 4
livros distintos, pequenos, de mesmo tamanho. Eles serão expostos em uma prateleira junto com um único
exemplar de Descobrindo o Pantanal.
a) De quantas maneiras diferentes eles podem ser alinhados na prateleira, se os de mesmo tamanho devem
ficar juntos e Descobrindo o Pantanal deve ficar em um dos extremos?
b) No final da feira de livros, a editora fez uma promoção. Numerou os livros da prateleira de 1 a 10, e sorteou
um livro para o milésimo visitante do estande. Qual é a probabilidade expressa em porcentagem de o visitante receber um livro cujo número seja a média aritmética de dois números primos quaisquer compreendidos
entre 1 e 10?
Resolução:
a) Existem 2 maneiras diferentes de colocar o exemplar Descobrindo o Pantanal e, para cada uma delas, 2
maneiras de dispor os tamanhos pequenos e grandes, que ainda podem ser permutados entre si. Então,
o total de maneiras é:
2 ∙ 2 ∙ 4! 5! = 4 ∙ 24 ∙ 120 = 11 520
2+2
3 3
3 5
3 7
5 7
7 7
;3= + ;4= + ;5= + ;6= + e 7= + ;
2
2
2
2
2
2
os possíveis números entre 1 e 10 que podem ser escritos como a média aritmética de dois primos quais6
quer compreendidos entre 1 e 10 são 2, 3, 4, 5, 6 e 7, e a probabilidade pedida é
= 60% .
10
b) Os primos entre 1 e 10 são 2, 3, 5 e 7. Como 2 =
Resposta:
a) 11 520
b) 60%
b) Observando que o DABC, além de retângulo, é isósceles (AB / BC), a área do quadrado inscrito na circunferência que contém os pontos A, B e C é o dobro da área do DABC:
50 $ 50
S=2$
= 50
2
Resposta:
a) P (4,3)
b) S = 50 km2
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QUESTÃO 5
A figura mostra a maquete do depósito a ser construído. A escala é 1 : 500, ou seja, 1 cm, na representação,
corresponde a 500 cm na realidade.
Qual será a capacidade, em metros cúbicos, do depósito?
Resolução:
De acordo com o enunciado, as dimensões reais do depósito estão na figura abaixo:
Portanto, o volume do depósito é igual a d15 $ 4, 5 +
Resposta: 3 240 m3
15 $ 3
3
n $ 36 = (67, 5 + 22, 5) $ 36 = 3 240 m
2
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