Série 1
versão 13/10/2011
Mecânica dos Meios Contínuos
Série de exercícios 1 - Notação indicial
1. Seja
2
1 0 2
3
6
7
[Sij ] = 4 0 1 2 5
3 0 3
Avalie
Sii ; Sij Sij ; Sjk Sjk ; Smn Snm
Solução:
Sii = 5
Sij Sij = 28
Sjk Sjk = 28
Smn Snm = 23
2. Escreva a forma completa da expressão
Tij = Aim Ajm
Solução:
T11 = A1m A1m = A11 A11 + A12 A12 + A13 A13
T12 = A1m A2m = A11 A21 + A12 A22 + A13 A23
:::
T33 = A3m A3m = A31 A31 + A32 A32 + A33 A33
3. Determine quais das seguintes equações têm o mesmo sentido que a equação ai = Qij a0j
al = Qlm a0m
ap = Qqp a0q
am = a0n Qmn
Solução: al = Qlm a0m
(sim), ap = Qqp a0q
(não), am = a0n Qmn
(sim)
4. Considere a equação
ai + b j = 0
O que é que se pode dizer sobre as grandezas a1 , a2 , a3 e b1 , b2 , b3 ?
Solução: b1 = b2 = b3 =
a1 =
a3 .
a2 =
5. Temos
2
a1
3
6
7
a = [ai ] = 4 a2 5 ;
a3
2
B11 B12 B13
3
2
C11 C12 C13
3
h i
h i
7
7
b = [Bij ] = 6
b = [Cij ] = 6
B
;
C
4 B21 B22 B23 5
4 C21 C22 C23 5
B31 B32 B33
C31 C32 C33
Escreva as expressões seguintes em notação de índice:
1/4
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eb
b= B
(a) D
|{z}
bT
=B
b
(b) b = Ba
b =B
bC
b
(c) D
eb
b =B
bC
(d) D
Solução: a) (Dij = Bji ); b) (bi = Bij aj ); c) (Dij = Bim Cmj ); d) (Dij = Bim Cjm )
6. Escreva a forma completa da equação ai = Uim Vmk ck .
Solução:
ai = Ui1 (V11 c1 + V12 c2 + V13 c3 ) + Ui2 (V21 c1 + V22 c2 + V23 c3 ) + Ui3 (V31 c1 + V32 c2 + V33 c3 )
Ou seja, a nossa equação representa de facto um sistema de três equações, tendo cada uma delas
a soma de nove termos.
7. Seja
Tij = 2 Eij + Ekk
Encontre
ij
1
W = Tij Eij
2
p = Tij Tij
Solução:
(Ekk )2
2
p = 4 2 Eij Eij + (Ekk )2 4 + 3
W = Eij Eij +
8. Seja
Encontre
2
1
2
3
0
2
3
0 1 2
3
7
6
6 7
6 7
a = 4 2 5 ; b = 4 2 5 ; Sb = 4 1 2 3 5
4 0 1
3
0
Tb; com Tij = "ijk ak
c; com ci = "ijk Sjk
d; com dk = "ijk ai bj
Solução:
2
2
0
6
Tb = 4 0
0
2
0
2
1
2
3
3
7
1 5
0
6 7
c=4 2 5
0
2
3
6
6
7
d = 4 3 5:
2
2/4
3
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9. Seja
2
a1
3
2
3
b1
2
d1
3
6
7
6
7
6
7
a = 4 a2 5 ; b = 4 b2 5 ; d = 4 d2 5
a3
b3
d3
onde
dk = "ijk ai bj :
Prove que
d=a
b
10. Prove que as condições
"ijk Tjk = 0 e Tij = Tji
são equivalentes.
11. Mostre que
ij "ijk
=0
12. Escreva todas as contracções de Eij Fkm tais que o resultado seja uma grandeza com dois índices.
Solução:
Eij Fim = Gjm
Eij Fki = Hjk
Eij Fjm = Qim
Eij Fkj = Rik
13. Prove que
"ijm "klm =
ik jl
il jk
"ijm "klm =
ik jl
il jk
14. Pela contracção da fórmula
mostre que
"ilm "jlm = 2
ij
e determine "ijk "ijk .
Solução:
"ijk "ijk = 2
ii
=6
15. Escreva a fórmula
a
(b
c) = (a c) b
(a b) c
em notação de índice e provar o resultado directamente.
Solução:
"lkn "ijk al bi cj = ai ci bn
ai b i c n
16. Prove que, se
Tij =
Tji ,
então
Tij ai aj = 0
17. Prove que, se
Tij =
Tji e Sij = Sji ,
então
Tij Sij = 0
3/4
Eii Fkm = Kkm
Eij Fkk = Pij
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18. Represente uma matriz Sij como uma soma de uma matriz simétrica e outra antisimétrica.
Solução:
Tij =
Sij + Sji
;
2
Rij =
Sij
Sji
2
19. Temos uma função f (x1 ; x2 ; x3 ). Exprima o diferencial desta função em notação de índice.
Solução:
df =
@f
dxi
@xi
20. Prove a fórmula
det [Aij ] = "ijk Ai1 Aj2 Ak3
4/4