MODELO DE EQUILÍBRIO
EM OLIGOPÓLIOS
UFSC – PPGEP
Tópicos Especiais em Logística e Transporte
Prof. Dr. Sérgio Fernando Mayerle
Junelene Costodio
Equilíbrio de Cournot-Nash para
Oligopólio Espacialmente
Distribuído
o
OLIGOPÓLIO:
Mercado
onde
há
poucos
fornecedores e cada um detém uma
parcela grande do mercado, de forma
que qualquer mudança em sua
política
de
vendas
afeta
a
participação de seus concorrentes
e
os
induz
a
reagir.
(Vasconcellos, 1998)
Equilíbrio de Cournot-Nash para
Oligopólio Espacialmente
Distribuído

Os modelos de oligopólio em rede são
utilizados
como
alternativas
aos
modelos gerais de equilíbrio, para
analisar situações de confronto
entre
firmas
separadas
espacialmente, por exemplo, com
equilíbrio espacial de preços.
(MARCOTTE, 1987)
Equilíbrio de Cournot-Nash para
Oligopólio Espacialmente
Distribuído

De acordo com Harker (1986),
“quando os mercados se comportam no
modo Cournot-Nash, se considera que
cada mercado considera as decisões dos
demais mercados produtores como sendo
fixas, quando decide a sua própria
estratégia de distribuição”.
Equilíbrio de Cournot-Nash para
Oligopólio Espacialmente
Distribuído



CARACTERÍSTICAS:
Cada mercado tem conhecimento
do comportamento da demanda
em cada localidade
Nenhum mercado é monopolista
do sistema de transporte, nem o
controla,
mas
preferivelmente
contrata o mesmo pelo preço
econômico.
Equilíbrio de Cournot-Nash para
Oligopólio Espacialmente
Distribuído





O PROBLEMA
O problema clássico de oligopólio é
considerado como sendo aquele em que
existem m produtores estão envolvidos
na produção de uma commodity
homogênea.
A quantidade produzida pelo mercado i
será denotada por qi;
fi denota o custo da produção da
commodity pelo mercado i;
p denota o preço de demanda
(NAGURNEY, 1999).
Equilíbrio de Cournot-Nash para
Oligopólio Espacialmente
Distribuído

De acordo com o modelo proposto por
Nagurney (1999), assumi-se que:
f i  f i (qi )
m
p  p ( qi )
i 1
O lucro do mercado i, denotado por ui, pode ser expresso como:
m
u i q   p( qi )qi  f i qi 
i 1
Equilíbrio de Cournot-Nash para
Oligopólio Espacialmente
Distribuído


Generalizando
as
considerações
apresentadas para o modelo clássico de
oligopólio, apresentadas por Nagurney
(1999), novas estruturas de modelagem
matemática podem ser formuladas.
Considere a existência de m mercados
produtores
e
n
mercados
consumidores
que
se
encontram
espacialmente distribuídos e assumindo
que uma commodity seja produzida
pelos mercados m e consumidas nos
mercados n.
Equilíbrio de Cournot-Nash para
Oligopólio Espacialmente
Distribuído

Tem-se, do modelo anterior:

qi com a quantidade produzida pelo mercado i

Novas variáveis:


dj, a qual denota a demanda da commodity na
região j.
Tij a variável representante do fluxo de
transporte entre o par de mercados (i,j).
Equilíbrio de Cournot-Nash para
Oligopólio Espacialmente
Distribuído
Segundo Nagurney (1999), as equações
conservação de fluxo são dadas por:
n
qi  Tij , i
j 1
m
d j   Tij , j
i 1
Tij  0, i, j.
de
Equilíbrio de Cournot-Nash para
Oligopólio Espacialmente
Distribuído

A função lucro do mercado i é dada por:
Lucro = receita – custo - transporte
n
n
j 1
j 1
ui   p j Tij  f i   t ijTij
Onde:
tij = custo do transporte entre (i,j)
pj = preço de venda da commodity no mercado j
Equilíbrio de Cournot-Nash para
Oligopólio Espacialmente
Distribuído
Considerando o mecanismo de um mercado
oligopolístico,
onde
os
m
mercados
fornecedores da commodity funcionam de
maneira não-cooperativa (cada um tentando
maximizar seu próprio lucro), a função
utilidade (lucro) pode ser reescrita como:
n
qi  Tij , i
j 1
m
d j   Tij , j
u  u (T )
i 1
Desse modo, conforme Nagurney (1999) se determina uma
distribuição modelo T para cada mercado m, o qual será um
estado de equilíbrio para tais mercados.
Equilíbrio Espacial de Cournot-Nash

A distribuição
de uma commodity é
T 
dita constituir um Equilíbrio de Cournot-Nash se
para cada região i, (i = 1,...,m), tem-se:
(NAGURNEY, 1999).
*
mn

 * ^*
 ^*
ui  Ti , T i   u i  Ti , T i ,




Ti  Ti1 ,...,Tin  e
^ *

Ti   n
T i  T1* ,...,Ti*1 , Ti*1 ,...,Tm*

Exemplo do modelo de Cournot-Nash



Suponha a seguinte situação, onde há um
conjunto de quatro produtores, sendo
que dois atuam num mesmo grupo
produtor, e os outros dois são grupos
individuais.
Há
também
três
mercados
consumidores, cada qual atuando de
forma individual.
A representação da rede de equilíbrio
espacial de preços para esta situação é
representada a seguir.
REDE ILUSTRATIVA
PRODUTORES
CONSUMIDORES
1
1
2
2
3
3
4
Exemplo do modelo de Cournot-Nash

Suponha que os quatro produtores da
rede ilustrada possuam as seguintes
funções de custo marginal:
PRODUTOR 1
￫ f1  CM g  2  1q1
PRODUTOR 2
￫ f 2  CM g  3  2q2
PRODUTOR 3
￫ f3  CM g  2  1q3
PRODUTOR 4
￫ f 4  CM g  4  1q4
Exemplo do modelo de Cournot-Nash

Suponha que os três mercados
consumidores
da
mesma
rede
possuam as seguintes funções de
preço, dada por:
Mercado consumidor 1
p1  20  2  d1
Mercado consumidor 2
p2  25  1 d 2
Mercado consumidor 3
p3  30 1,5  d3
Tabela que relaciona custos fixos de
transportes entre cada mercado
PRODUTOR/CONSUMIDOR
“tij”
M1
M2
M3
P1
1
2
2
P2
2
1
3
P3
2
1
4
P4
4
1
1
Quantidades (Tij) tranportadas entre os
mercados (i,j)
P1
P2
P3
P4
Quantidade
Total
Demandada
(dj)
M1
M2
M3
Quantidade Total
Produzida (qi)
“Fluxo”
2,050
0,552
3,853
6,455
0,000
3,227
0,000
3,227
1,172
4,023
2,016
7,211
0,000
2,963
3,309
6,271
9,178
Conservação
de Fluxo
23,165
3,222
10,766
ferramenta Excel,
com base no Equilíbrio de CournotNash.
f1  CM g  2  1q1
Quantidade Total
Produzida (qi)
“Fluxo”
f 2  CM g  3  2q2
f3  CM g  2  1q3 f 4  CM g  4  1q4
Custo Marginal
6,455 (q1)
8,455
3,227 (q2)
9,455
7,211 (q3)
9,211
6,271 (q4)
10,271
Custo Total:
CT   CMg
Custo Total
33,743
20,099
40,422
44,752
ferramenta Solver - Excel,
com base no Equilíbrio de CournotNash.
p1  20  2  d1
p2  25  1 d 2
p3  30 1,5  d3
Quantidade Total
Demandada (dj)
PREÇO
3,222 (d1)
13,555
10,766 (d2)
14,234
9,117 (d3)
16,234
Receita dos Produtores
R11 = (preço – custo de transporte) x quantidade transportada
R11 = (13,555 – 1) x 2,050= 25,739
Lucro11 = Receita – custo
M1
M2
M3
Receita
Total
Lucro
Individual
Lucro
Total
76,208
P1
25,739
6,752
54,844
87,335
53,593
0,000
42,714
0,000
42,714
22,615
13,545
53,246
24,659
91,450
51,029
51,029
0,000
39,212
50,404
89,616
44,865
44,865
P2
P3
P4
Rede representando a solução encontrada
PRODUTORES
CONSUMIDORES
1
1
2
2
3
3
4

Na figura acima, os arcos pontilhados representam
a “não existência” de fluxos entre esses mercados,
Bibliografia



NAGURNEY, A. - “Network Economics – A
variational inequality Approach”. Revised
Second Edition. Kluwer Academic Publishers.
Boston, 1999.
ROSSETTI, J.- “Introdução à Economia”.
São Paulo: Atlas, 20a ed., 2003.
VASCONCELLOS, M. A. S. & GARCIA, M.E. –
“Fundamentos de Economia”. São Paulo:
Saraiva, 1998.