ISSN 1984-8218
Aspectos Fundamentais na Modelagem Matemática do
Comportamento Dinâmico de um Cilindro Pneumático Diferencial
Camila V. Zamberlan*
Rozimerli M. Richter
Depto de Ciências Exatas e Engenharias, DCEEng, UNIJUÍ
98700-000, Ijuí, RS
E-mail: [email protected]; [email protected]
Antonio C. Valdiero
Luiz A. Rasia
Depto de Ciências Exatas e Engenharias, DCEEng, UNIJUÍ Campus Panambi
98280-000, Panambi, RS
E-mail: [email protected]; [email protected]
RESUMO
Este trabalho tem por objetivo tratar dos aspectos fundamentais a serem considerados no
estudo e na modelagem matemática do comportamento dinâmico de um cilindro pneumático
diferencial e sua importância para o sucesso do projeto e da implementação de controladores
precisos. Tais aspectos consideram as características dinâmicas não lineares que podem
prejudicar o desempenho de atuadores pneumáticos e até acarretar a instabilidade do sistema
dinâmico controlado. O cilindro pneumático diferencial possui uma haste simples e é muito
comum em atuadores pneumáticos quando se deseja produzir o deslocamento linear de uma
carga ou a própria aplicação de uma força de carga FL. A grande vantagem de aplicação do
atuador pneumático é a facilidade de instalação, a alta relação força por peso, o baixo custo e a
disponibilidade de ar comprimido na maioria das instalações industriais e dos equipamentos, e
além disto, eles são limpos e não causam prejuízos ao meio ambiente [1, 2]. A metodologia
utilizada baseia-se em estudos teórico-experimentais disponíveis na literatura científica e na
experiência dos pesquisadores do Núcleo de Inovação em Máquinas Automáticas e Servo
Sistemas (NIMASS) da UNIJUÍ Campus Panambi.
A Figura 1 apresenta o desenho esquemático de um atuador pneumático linear. O atuador
pneumático é composto por um cilindro pneumático diferencial e por uma válvula de controle
direcional que pode ser do tipo on-off ou proporcional, responsável por controlar a passagem do
ar comprimido (a uma pressão de suprimento ps) para uma das câmaras do atuador e liberar o
escoamento do ar da outra câmara para a atmosfera (a uma pressão atmosférica patm). Este
trabalho trata apenas dos aspectos referentes à modelagem matemática do cilindro pneumático,
cujos principais parâmetros e forças estão representados no cilindro da Figura 1.
Figura 1: Desenho esquemático de um Cilindro Pneumático de haste simples
Entre as características não lineares inerentes ao comportamento dinâmico do cilindro
pneumático pode-se citar a compressibilidade do ar; o vazamento interno entre as câmaras
dependente da folga entre o êmbolo e o cilindro; e o atrito dinâmico nas superfícies de contato
da vedação na haste do cilindro (para diminuir vazamentos externos) e do escoamento do ar no
* Bolsista Capes do Curso de Mestrado em Modelagem Matemática - UNIJUÍ
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êmbolo. Os aspectos iniciais a serem considerados estão relacionados à compressibilidade do ar
e influenciam diretamente o comportamento dinâmico da variação das pressões nas câmaras. O
ar ao entrar ou sair da câmara produz uma variação temporal positiva ou negativa da pressão.
Note, por exemplo, a equação (1) da dinâmica da pressão pa na câmara do cilindro. Se o volume
da câmara do cilindro é muito pequeno, esta dinâmica é muito rápida resultando em altos
valores da frequência natural ωn do cilindro pneumático dada pela equação (2), ou seja, o
sistema dinâmico torna-se oscilatório e em certas condições até instável [2]. A partir da
modelagem matemática e dos valores dos parâmetros dimensionais do cilindro, pode-se calcular
a frequência natural do cilindro e verificar os limites de uma região central do curso onde ela
permanece praticamente constante. Fora desta região e próximo dos finais de curso há um
acréscimo brusco da frequência natural [1].
A γ y&
Rγ T
p& a = − 1
pa +
qma ( pa , u )
(1)
A1 y + Va 0
A1 y + Va 0
ωn =

2γ ps 
A12
A22


+
3M  A1 y + Va 0 Vb 0 − A2 y 
(2)
onde γ é a relação entre os calores específicos do ar, T é a temperatura do ar de suprimento, R é
a constante universal dos gases, q ma = dma dt é a vazão mássica na câmara 1 do cilindro, M é
a massa total deslocada, A1 e A2 são respectivamente as áreas das seções transversais das
câmaras 1 e 2, Va0 e Vb0 são respectivamente os volumes das câmaras 1 e 2 para o êmbolo na
posição y = 0. Outro aspecto importante é o vazamento interno, Qin, entre as câmaras do cilindro
que depende da folga entre o êmbolo e o cilindro. Um pequeno vazamento interno é desejável e
torna o sistema mais amortecido, podendo ser considerado na modelagem através do coeficiente
de amortecimento viscoso e desprezado em relação à modelagem matemática da dinâmica das
pressões no balanço de massa na câmara. O uso de anéis de vedação entre o êmbolo e o cilindro
pode limitar o vazamento interno, mas podem ocasionar um aumento significativo na força de
atrito Fatr. Se a folga é muito grande, podem ocorrer grandes vazamentos, sendo necessária a
inclusão da equação dos vazamentos na modelagem matemática da dinâmica das pressões na
equação (1). Note que grandes vazamentos internos limitam os valores possíveis das pressões pa
e pb nas câmaras e consequentemente limitam a força pneumática Fp a valores inferiores,
diminuindo a capacidade disponível de força do atuador pneumático, conforme a equação da
dinâmica do movimento do êmbolo dada pela equação (3).
M &y& + Fatr = Fp − FL
(3)
Um dos aspectos mais importante e complexo na modelagem matemática do cilindro
pneumático é o atrito dinâmico, representado pela força Fatr, e que pode alcançar valores
significativos em comparação com a força pneumática disponível Fp, ocasionando por
consequência uma perda da capacidade de ação em relação à força de carga FL necessária para
realizar a tarefa desejada. Entre as diversas dificuldades de se modelar o atrito, pode-se citar as
características dinâmicas chamadas de atrito estático, atrito de Coulomb, atrito viscoso ou de
arraste, atrito de Stribeck, memória do atrito e deslocamento de predeslizamento. Estas
características resultam em efeitos danosos ao comportamento do atuador pneumático como,
por exemplo, o efeito adere-desliza (stick-slip) comum em baixas velocidades [2].
Palavras-chave: Cilindro Pneumático, Características Dinâmicas, Matemática Aplicada.
Referências
[1] D. Bavaresco, “Modelagem matemática e controle de um atuador pneumático”,
Dissertação de Mestrado, Mestrado em Modelagem Matemática-UNIJUÍ, 2007..
[2] A. C. Valdiero, C. S. Ritter, C. F. Rios, M. Rafikov, “NonLinear Mathematical Modeling
in Pneumatic Servo Position Applications”, Mathematical Problems in Engineering
(Online) , vol. 2011, pp.1 - 16, (2011).
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