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CURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS I - MÓDULO IV
MÓDULO IV
Antes de começar a estudar o Módulo IV, faço a sugestão de leitura de um
artigo que considero interessante para introduzir o assunto Razões e
Proporções.
Nesse artigo se encontra um detalhamento multicultural de nosso tema de
estudo nesse módulo. Ele nos transporta para às Civilizações Clássicas (Grécia
e Roma Antiga). Nos lembra os mais nobres pensamentos que perpetuaram
nossa Matemática.
Não deixe de acessar:
http://www.cdcc.sc.usp.br/ciencia/artigos/art_26/proporcao.html
Iniciaremos nosso estudo de razões e proporções entendendo os conceitos, as
propriedades e os tipos de proporções, bem como, aplicações envolvendo este
tema que é importantíssimo para quem presta concursos.
Então, um bom estudo para todos nós.......
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CURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS I - MÓDULO IV
Razões e Proporções
Razão
É o resultado da comparação entre duas grandezas. Como por exemplo:
3
ou
5
3÷5 .
Se
20
8
20 8
= 2 e = 2 , podemos então escrever
= ou 20 ÷ 10 = 8 ÷ 4 , que se lê
10
4
10 4
20 está para 10 , assim como 8 está para 4 .
Então, razão de dois números é o quociente do primeiro número pelo segundo.
Exemplo: Calcule a razão entre 0,5 e 0, 025 .
Temos que 0,5 chama-se antecedente e 0, 025 chama-se conseqüente.
Então:
0,5
ou 0,5 ÷ 0, 025
0, 025
1
100
5
25
5 1000
÷
=
⋅
10 1000 10 1
25 5
=
100
= 20
5
A razão entre 0,5 e 0, 025 é 20 .
Dizemos que a razão entre dois números racionais a e b , com b ≠ 0 , é o
quociente de a por b .
Indica-se: a ÷ b ou
a
, sendo a antecedente e b conseqüente.
b
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Razões Inversas
Duas razões são inversas quando o antecedente de uma é igual ao
conseqüente da outra e vice-versa.
Exemplo:
Proporção
Dados quatro números a , b , c , d diferentes de zero, dizemos que formam
uma proporção ou que estão em proporção se a razão entre os dois primeiros
a e b for igual a razão entre os dois últimos c e d .
Proporção é uma igualdade entre duas razões.
Exemplo: 6 , 3 , 10 e 5 formam uma proporção, pois:
6 ÷ 3 = 10 ÷ 5
2
=
2
Indicaremos que os números a , b , c , d formam uma proporção da seguinte
maneira:
a c
= ou a ÷ b = c ÷ d que se lê:
b d
a está para b , assim como c está para d .
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Termos de uma proporção
a = 10 antecedente
c = 2 0 antecedente
b = 10 conseqüente
d = 2 0 conseqüente
Propriedade Fundamental
Em toda a proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
Exemplo:
16 12
=
4
3
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Cálculo do termo desconhecido de uma proporção (resolução).
Significa encontrar o valor do termo desconhecido aplicando a propriedade
fundamental.
Exemplo: Calcular o termo desconhecido em
5 ÷ 6 = x ÷ 12
6 ⋅ x = 5 ⋅12
6 x = 60
x=
60
6
x = 10
Quarta Proporcional
Para se encontrar a quarta proporcional dos números a , b e c , basta formar
com eles uma proporção, tal que: a ÷ b = c ÷ x , onde x é a quarta proporcional
de a , b e c .
Exemplo: Qual é a quarta proporcional dos números
1 3
1
,
e ?
2 4
4
Forma-se a proporção:
1 3 1
÷ = ÷x
2 4 4
Onde:
1
3 1
⋅x = ⋅
2
4 4
1
3
x=
2
16
x 3
=
2 16
x ⋅16 = 2 ⋅ 3
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16 x = 6
x=
6 ÷2
16
x=
3
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Proporção Contínua
Aquela que tem ou os meios ou os extremos iguais, tais como:
a)
36 12
=
12 4
b)
9 27
=
3 9
Média Proporcional ou Média Geométrica
A média proporcional ou geométrica de dois números é igual a raiz quadrada
do produto desse números.
Exemplo: Qual é a média geométrica dos números
5
20
e
?
6
24
Forma-se a proporcional contínua:
5
20
÷x= x÷
6
24
5 20
x⋅x = ⋅
6 24
x2 =
100
144
x=
100
144
x=
10
12
÷2
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x=
5
6
Terceira Proporcional
É o quarto termo de uma proporção contínua. Se uma proporção ocorrer:
2 ÷ 10 = 10 ÷ x , temos que x é um terceiro elemento diferente, que com os
outros dois (2 e 10) formam essa proporção contínua. Diz-se que x é a terceira
proporção de dois números, a e b , basta formar com eles nessa ordem, uma
proporção contínua, onde b é o meio igual, ou seja, a ÷ b = b ÷ x .
Exemplo: Qual é a terceira proporcional dos números
3
2
e ?
4
3
3 2 2
÷ = ÷x
4 3 3
3
2 2
⋅x = ⋅
4
3 3
3
4
x=
4
9
3x ⋅ 9 = 4 ⋅ 4
27 x = 16
x=
16
27
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Propriedades das Proporções
1a ) Propriedades da soma dos termos
A soma dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo),
assim como a soma dos dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto).
, temos:
2 a ) Propriedade da diferença dos termos
A diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo),
assim como a diferença dos dois últimos termos está para o terceiro (ou para o
quarto).
Então em
, temos:
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Exemplo: Calcular dois números cuja diferença entre eles é 20 e que estão si
na razão de 6 ÷ 4 .
Solução:
Sejam a e b os números procurados.
Aplicando a propriedade da diferença dos termos:
, temos:
20 2
=
a 6
20 2
=
b 4
a ⋅ 2 = 20 ⋅ 6
2 ⋅ b = 20 ⋅ 4
2a = 120
a=
120
2
a = 60
2b = 80
b=
80
2
b = 40
Os números procurados são 60 e 40.
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3a ) Propriedade da soma dos antecedentes e dos conseqüentes.
A soma dos antecedentes está para a soma dos conseqüentes, assim como
cada antecedente está para o seu conseqüente.
, temos:
4 a ) Propriedade da diferença dos antecedentes e dos conseqüentes
A diferença dos antecedentes está para a diferença dos conseqüentes, assim
como cada antecedente está para o seu conseqüente.
, temos:
(1)
a−c a
=
b−d b
ou
(2)
a−c c
=
b−d d
Exemplo: Resolver a proporção
x y
= , sabendo que x + y = 42 .
9 12
Solução:
, temos:
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Como x + y = 42 :
(1)
42
x
=
9 + 12 9
42 x
=
21 9
21 ⋅ x = 42 ⋅ 9
21x = 378
x=
378
21
x = 18
(2)
42
y
=
9 + 12 12
42 y
=
21 12
21 ⋅ y = 42 ⋅12
21 y = 504
y=
504
21
y = 24
Resposta x = 18 e y = 24
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5a ) Propriedade do produto dos antecedentes e dos conseqüentes
O produto dos antecedentes está para o produto dos conseqüentes, assim
como o quadrado de cada antecedente está para o quadrado do seu
conseqüente.
, temos:
Em qualquer proporção, os quadrados de seus termos também formam uma
proporção.
Se
Exemplo: Calcular x e y na proporção
x 2
= , sabendo-se que x 2 + y 2 = 52 .
y 3
Solução:
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Aplica-se a propriedade da soma dos termos ( 10 ) vem.
x 2 + y 2 = 52
(1)
52 4 + 9
=
4
x2
(2)
52 4 + 9
=
9
y2
52 13
=
4
x2
52 13
=
9
y2
x 2 ⋅13 = 52 ⋅ 4
y 2 ⋅13 = 52 ⋅ 9
13 x 2 = 208
13 y 2 = 468
x2 =
208
13
y2 =
468
13
x 2 = 16
y 2 = 36
x = 16
y = 36
x=4
y=6
Resposta: x = 4 e y = 6
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Série de razões iguais (proporção múltipla).
Em qualquer proporção múltipla, a soma (ou diferença) dos antecedentes está
para a soma (ou diferença) dos conseqüentes, assim como cada antecedente
está para o seu conseqüente.
Exemplo: Calcular a , b e c em
a b c
= =
, sabendo que a − b + c = 33 .
32 8 20
Solução:
Aplica-se
propriedade
da
soma
(ou
diferença)
dos
antecedentes
e
conseqüentes.
Como a − b + c = 33 :
(1)
a −b +c
a
=
32 − 8 + 20 32
33 a
=
44 32
44 ⋅ a = 33 ⋅ 32
44a = 1056
a=
1056
44
a = 24
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(2)
33 b
=
44 8
44 ⋅ b = 33 ⋅ 8
44b = 264
b=
(3)
264
44
b=6
33 c
=
44 20
44 ⋅ c = 33 ⋅ 20
44c = 660
c=
660
44
c = 15
Resposta: a=24 b=6 e c=15
Bom de Papo
Um sujeito acaba de conseguir um cargo de vendedor em uma loja que vendia
de Tudo. Terminado o primeiro dia, o gerente de RH pergunta:
- Como foi seu primeiro dia? Quantas vendas você fez?
- Fiz apenas uma venda - responde o vendedor.
- Uma só? - espanta-se o gerente - Mas todos os outros vendedores fazem de
20 a 30 vendas por dia... E de quanto foi esta venda?
- R$ 145.350,00 - responde o vendedor.
O gerente arregala os olhos. Uma venda daquele valor era realmente inusitada.
- Como é que você conseguiu isto? - pergunta, o gerente, intrigado.
- Bem, - responde o vendedor - vendi a este cliente um anzol pequeno, um
médio e um grande. Vendi os três tipos de linhas para cada tipo de anzol e
também todos os apetrechos para pesca. Ao perguntar-lhe onde ele iria pescar
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e obtendo a resposta de que pretendia ir ao litoral, informei-lhe de que seria
necessário um barco. Ele então comprou o de 22 pés, cabinado, com dois
motores. Como o carro dele não seria capaz de rebocá-lo, vendi-lhe uma
Blazer...
O gerente o interrompe:
- Você fez esta venda para um sujeito que entrou pedindo um anzol?
- Bem, - responde o vendedor - na realidade, o sujeito veio me perguntar onde
havia uma farmácia. Perguntei-lhe o que ele iria comprar lá, e soube que seria
um OB para sua esposa. Aproveitei e comentei: "Já que seu fim-de-semana foi
pro saco mesmo, que tal uma pescaria?"
Exercícios:
1) A escala utilizada, quando representamos um comprimento real de 250m
em um desenho de comprimento igual a 2,5cm, é:
Solução:
Comprimento real ( CR ) = 250m = 25000cm
Comprimento do desenho ( CD ) = 2,5cm
Portanto:
E=
CR
CD
E=
25
25000
E=
1
1000
ou 1:1000
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2) O coeficiente de proporcionalidade dos números proporcionais:
15
7
14
12
90
42
84
72
é:
Solução:
Como
15 1
=
90 6
7 1
=
42 6
14 1
=
84 6
12 1
1
= , concluímos que o coeficiente de proporcionalidade é .
72 6
6
3
3
3) O valor de x na proporção 4 = é:
5
x
6
2
11
4 =3
5 x
6
11
5
⋅ x = ⋅3
4
6
11
15
x=
4
6
x=
15 4
⋅
6 11
60
x=
66
x=
÷6
10
11
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4) (UFR-RJ/2005) Numa escola foi feito um levantamento para saber quais os
tipos de calçados mais usados pelas crianças. Foi obtido o seguinte
resultado: um terço usa sandálias; um quarto usa tênis; um quinto usa
sapatos, e os 52 restantes usam outros tipos de calçados.
Pode-se concluir que, pelos tipos de calçados encontrados, há nessa
escola um total de:
a) ( x ) 240 crianças
b) ( ) 250 crianças
c) ( ) 260 crianças
d) ( ) 270 crianças
e) ( ) 280 crianças
Solução:
Número total de crianças x
x x x
+ + + 52 = x
3 4 5
20 x + 15 x + 12 x + 3120 60 x
=
60
60
20 x + 15 x + 12 x + 3120 = 60 x
20 x + 15 x + 12 x − 60 x = −3120
−13 x = −3120
x = 240
Letra A
5) (UEL-PR/2005) Um comerciante varejista comprou 80 calças de dois
tamanhos diferentes, pequeno e médio, gastando R$4300,00. Cada calça
de tamanho pequeno custou R$50,00 e cada calça de tamanho médio
custou R$60,00.
Quantas
calças
de
tamanho
pequeno
e médio,
respectivamente, ele comprou?
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CURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS I - MÓDULO IV
a) ( ) 30 e 50
b) ( ) 37 e 43
c) ( ) 40 e 40
d) ( ) 43 e 37
e) ( x ) 50 e 30
Solução:
Número de calças tamanho pequeno: “ x ”
Número de calças tamanho médio: “ y ”
+10 y = 300
300
10
y = 30
y=
Substituindo y = 30
50 x + 60 ⋅ 30 = 4300
50 x + 1800 = 4300
50 x = 4300 − 1800
50 x = 2500
x=
2500
50
x = 50
Resposta: Letra E
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CURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS I - MÓDULO IV
6) (UEL-PR) As idades de Cacá e Mimi somam 34 anos. Se Cacá é mais velho
que Mimi e o produto de suas idades é numericamente igual a 288, quantos
anos Cacá tem a mais que Mimi?
a) ( ) 6
b) ( ) 5
c) ( ) 4
d) ( ) 3
e) ( x ) 2
I) C + M = 34
II) C ⋅ M = 288
De I e II) C ⋅ (34 − C ) − 288 = 0
34C − C 2 − 288 = 0
−C 2 + 34C − 288 = 0
(−1)
C 2 − 34C + 288 = 0
a =1
b = −34
c = 288
C=
−b ± b 2 − 4ac
2a
C=
34 ± 1156 − 4 ⋅1 ⋅ 288
2
C=
34 ± 2
2
CI =
34 + 2
= 18 V
2
C II =
32
= 16 F
2
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CURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS I - MÓDULO IV
Resposta: Cacá tem dois anos a mais que Mimi.
7) A razão entre a minha idade e a idade de meu primo é de 2 para 5 e juntos
temos 42 anos.
Então, tenho:
Solução:
x → eu
y → meu primo
x+ y 2+5
=
x
2
x+ y 2+5
=
y
5
42 7
=
x 2
42 7
=
y 5
7 x = 84
7 y = 210
x=
84
7
x = 12
y=
210
7
y = 30
Resposta: Tenho 12 anos
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CURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS I - MÓDULO IV
8) Em uma prova com 40 questões, um candidato acertou 25, deixando 5 em
branco e errando as demais. Qual é a razão do número de questões certas
para o de questões erradas?
Solução:
Total = 40 questões
Certas = 25 questões
Em branco = 5 questões
Então, o número de questões erradas = 40-25-5=10
Razão do número de questões certas para o de questões erradas:
40 4
= ou 4 para 1 .
10 1
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CURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS I - MÓDULO IV
GATO E GATA
Fonte: http://www2.uol.com.br/laerte/tiras/
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