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Curso Matemática Para Concursos II – Módulo II
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS II
Fonte: http://www.migmeg.com.br/
MÓDULO II
Estudaremos neste módulo geometria espacial e volume dos
principais sólidos geométricos. Mas antes de começar a aula, segue
uma dica interessante de um link sobre a História da Geometria
Espacial:
http://calculomatematico.vilabol.uol.com.br/geoespacial.htm .
UM BOM ESTUDO PARA TODOS NÓS...
___________________________________________________________
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Curso Matemática Para Concursos II – Módulo II
GEOMETRIA ESPACIAL E VOLUME DOS PRINCIPAIS
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
PRISMAS: são poliedros convexos que têm duas faces paralelas e
congruentes (chamadas bases) e as demais faces em forma de
paralelogramos (chamadas faces laterais).
Prisma reto
Aspectos comuns
Bases são regiões
poligonais congruentes
Prisma oblíquo
A altura é a distância
entre as bases
Arestas laterais são
paralelas com as
mesmas medidas
Faces laterais são
paralelogramos
Objeto
Prisma reto
Arestas laterais têm a mesma medida
são perpendiculares
Arestas laterais
ao plano da base
Faces laterais
são retangulares
Prisma oblíquo
têm a mesma medida
são oblíquas
ao plano da base
não são retangulares
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Quanto à base, os prismas mais comuns estão mostrados na tabela:
triangular
quadrada
pentagonal
hexágonal
Área da Superfície de um Prisma
- Superfície lateral: formada pelas faces laterais
- Área lateral: área da superfície lateral (Sl)
- Superfície Total: é formada pelas bases e pelas faces laterais
- Área total é a área da superfície total (St)
Exemplos: Dado um prisma reto de base hexagonal (hexágono regular),
cuja altura é h = 3 m e cujo raio do círculo que circunscreve a base é R =
2m, calcular a área total desse prisma.
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Prisma Planificado
- Cálculo da base (Sb)
A base é um hexágono regular que pode ser decomposto em seis
triângulos eqüiláteros, de lado igual ao raio da circunferência.
S triângulo =
a2 3 4 3
=
= 3m2
4
4
Sb = 6 ⋅ S triângulo = 6 ⋅ 3 m 2
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- Cálculo da área lateral (Sl)
Num prisma regular, sabemos que as faces laterais são retângulos.
S retângulo = 2 3 m 2
Como temos 6 retângulos, vem:
Sl = 6 ⋅ S retângulo
Sl = 6 ⋅ 2 3
Sl = 12 3 m 2
- Cálculo da área total (St)
St = Sl+2Sb
St = 12 3 + 2 ⋅ 6 3
St = 24 3 m 2
Fazendo
3 ≃ 1,7, temos:
St = 24 ⋅ 1,7 = 40,8m 2
Resposta: A área total do prisma é de 40,8m 2 .
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Considerações:
Um paliteiro e uma barra de sabão são exemplos de objetos de uso
comum de forma prismática;
- Se todas as faces são quadrados, o prisma é um cubo;
- Se todas as faces são paralelogramos, o prisma é um paralelepípedo.
Em qualquer paralelepípedo as faces são paralelas duas a duas.
Num prisma temos os seguintes elementos:
- bases (polígonos)
- faces (paralelogramos)
- arestas das bases (lados das bases)
- arestas laterais (lados das faces que não pertencem às bases)
- vértices (pontos de encontro das arestas)
- altura (distância entre os planos das bases).
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Volume de um prisma
Sendo B a área da base e h a medida da altura de um prisma, o volume
−
−
V desse prisma é dado por:
−
Seja você também a diferença,
mas não deixe de sonhar nunca,
mostre para as outras pessoas que você é especial,
e verá no futuro, muitos iguais a você
fazendo um volume de exemplos para o mundo.
Seja a diferença nesta vida!
Fonte: http://paginas.terra.com.br/arte/sonhosepoemas/reflexao/c_reflexao.htm
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Fonte: http://paginas.terra.com.br/arte/sonhosepoemas/reflexao/cartao215.htm
Exercícios:
1) Um calendário de madeira tem a forma e as dimensões da figura
abaixo. Quantos cm 2
de madeira foram usados para fazer o
calendário? (use: 3 ≃ 1,7)
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Sb =
a2 3
4
Sb =
62 3
4
r = 6cm
h = 12cm
Sb = 9 3 cm 2
S retângulo = b ⋅ h
S retângulo = 6 ⋅ 12
S retângulo = 72cm 2
Como temos 3 retângulos
Sl = 3 ⋅ S retângulo
Sl = 3 ⋅ 72
Sl = 216cm 2
St = Sl + 2Sb
St = 216+2 ⋅ 9 3
St = 216+18 3
St = 216+30,6
St = 246,6cm 2 de madeira.
2) Calcular o volume de um prisma triangular no qual a resta da base
mede 4cm e a altura mede 10 3 cm.
Resolução:
- Cálculo da área da base
A base é um triângulo eqüilátero de lado a = 4cm; logo:
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B=
a2 3
4
B=
16 3
4
B = 4 3 cm 2
- Cálculo do volume
V = B⋅ h
V = ( 4 3 cm 2 ) ⋅ (10 3 cm)
V = 120cm 3
Resposta: O volume do prisma é de 120cm 3 .
3) Um prisma pentagonal regular tem 20cm de altura. A aresta da base
do prisma mede 4cm. Determine a sua área lateral.
Resolução:
S retângulo = b ⋅ h
S retângulo = 20 ⋅ 4
S retângulo = 80cm 2
Como o prisma é pentagonal (5 lados)
Sl = 5 ⋅ S retângulo
Sl = 5 ⋅ 80
Sl = 400cm 2
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Resposta: A área lateral do prisma pentagonal é de 400cm 2 .
4) Um fabricante de embalagens de papelão quer construir uma caixa em
forma de prisma hexagonal regular. Sabendo que a altura da caixa é
de 20cm e que o lado do polígono da base mede 16cm. Calcule a área
do papelão necessária para se construir essa embalagem. Admita que
se utilize 25% a mais de material do que o estritamente calculado para
que seja possível fazer colagens necessárias à confecção da caixa
(use: 1,73).
Resolução:
Prisma hexagonal regular
h = 20cm
a = 16cm
- Cálculo da área da base (Sb)
A base é um hexágono regular que pode ser decomposto em 6 triângulos
eqüiláteros cujos lados medem 16cm.
S triângulo =
S=
a2 3
4
162 3
4
S = 110,72cm 2
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Logo, Sb = 6 ⋅ S triângulo
Sb = 6 ⋅ 110,72
Sb = 664,32cm 2
- Cálculo da área lateral (Sl)
Num prisma regular, sabemos que as faces laterais são retângulos.
S retângulo = b ⋅ h
S = 16 ⋅ 20
S = 320cm 2 → é a superfície de um triângulo, como é hexagonal
Sl = 6 ⋅ S retângulo
Sl = 6 ⋅ 320
Sl = 1920cm 2
- Cálculo da área total (St)
St = Sl+2Sb
St = 1920+2 ⋅ 664,32
St = 3248,64cm 2
Devemos usar, conforme o enunciado do problema, 25% a mais de
papelão do que o calculado:
área = St+25% ⋅ St
área = 1St+0,25St
área = 1,25 ⋅ St
área = 1,25 ⋅ 3248,64
área = 4060,8cm 2
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Resposta: A área do papelão para fabricar uma caixa é igual a
4060,8cm 2 .
Paralelepípedo Retângulo e Cubo
- Paralelepípedo Retângulo
O paralelepípedo retângulo tem as seis faces retangulares e são inúmeros
os objetos que têm sua forma: um tijolo, uma caixa de sapatos, uma caixa
de fósforos, um livro...
Seja o paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c da figura:
Temos quatro arestas de medida a, quatro arestas de medida b e quatro
arestas de medida c; as arestas indicadas pela mesma letra são
paralelas.
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db = diagonal base
dp = diagonal paralelepípedo
Diagonal = d = a 2 + b 2 + c 2
Área Total = St = 2(ab + ac + bc)
Volume = V = a ⋅ b ⋅ c
Usando:
a = comprimento
b = largura
c = altura
Exercícios
1) Calcular a medida da diagonal de um paralelepípedo retângulo de
dimensões 5cm, 4cm e 3cm.
Resolução:
d=
a2 + b2 + c2
d=
52 + 42 + 32
d=
25 + 16 + 9
d=
50
d = 5 2 cm
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Resposta: A medida da diagonal é 5 2 cm.
2) Deseja-se cimentar um quintal retangular com 10m de largura e 14m
de comprimento. O revestimento será feito com uma mistura de areia e
cimento de 3cm de espessura. Qual é o volume da mistura utilizado
nesse revestimento?
Resolução:
V = a⋅ b⋅ c
V = 14 ⋅ 10 ⋅ 0,03
V = 4,20m 3
Resposta: O volume da mistura é de 4,20m 3 .
- Cubo
O cubo tem as seis faces quadrados e um objeto típico é o dado.
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dc = diagonal cubo
db = diagonal base
Diagonal = d = a 3
Área total = St = 6 ⋅ a 2
Volume = V = a 3
Exercícios
1) Calcular a medida da diagonal de um cubo de aresta 5cm:
d=a 3
d = 5 3 cm
2) Qual é o volume de um cubo de 5cm de aresta?
V = a3
V=5
3
V = 125cm 3
3) Num cubo de aresta 10cm, qual é a área total?
St = 6 ⋅ a 2
St = 6 ⋅ 10 2
St = 600cm 2
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Cilindro
Cilindro reto ou de revolução é o sólido obtido quando giramos, em
torno de uma reta, uma região retangular.
Um exemplo típico é o brinquedo chamado reco-reco.
Área da base (Sb) → é a área do círculo de raio r
−
Sb = π ⋅ r 2
Área lateral (Sl) → Sl = 2 π rh
Área total (St) → St = 2 π r (h + r )
Volume (V) → o volume do cilindro é igual a área da base multiplicado
pela altura.
V = Sb ⋅ h
ou
V = π r2 h
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Exercícios
1) Calcular a área lateral e a área total de um cilindro circular reto, cujo
raio da base mede 6cm e a altura mede 5cm.
Solução:
Sl = ?
Sb = π r 2
Sl = 2 π r h
St = Sl+2Sb
St = ?
Sb = π ⋅ 6 2
Sl = 2 π 6 ⋅ 5
St = 132 π cm 2
r = 6cm
Sb = 36 π cm 2
Sl = 60 π cm 2
h = 5cm
2) Calcular o volume de um cilindro reto de raio 5cm e altura 9cm.
Solução:
r = 5cm
V = π r2 h
h = 9cm
V = π ⋅52 ⋅9
V = 225 π cm 3
3) Uma lata de cerveja tem a forma cilíndrica, com 8cm de diâmetro e
15cm de altura. Quantos cm 3 de cerveja cabem nessa lata?
Solução:
d = 8cm
h = 15cm
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V=?
d = 2r
2 r =d
r =
d
2
r =
8
2
r = 4cm
V = π r2 h
V = π ⋅ 4 2 ⋅ 15
V = 240 π cm 3
π ≃ 3,14
240 ⋅ 3,14 = 753,6cm 3
Cabem 753,6cm 3 de cerveja nesta lata ou 753,6 ml ou 0,7536 litros.
Cone
g = 2R
g = geratriz
Sb = π R 2
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Sl = π Rg
∝ =
3600 R
8
∝ = ângulo do setor
St = Sl+Sb
V=
ou
St = π R(g+R)
Sb ⋅ h
3
g 2 = h2 + r 2
Piadas Curtas!
Se você está se sentindo sozinho, abandonado, achando que ninguém liga
para você... “Atrase um pagamento..."
“Um eletricista vai até a UTI de um hospital, olha para os pacientes ligados a
diversos tipos de aparelhos e diz-lhes: Respirem fundo: vou trocar o fusível.”
“Dois amigos conversam sobre as maravilhas do Oriente. Um deles diz:
Quando completei 25 anos de casado, levei minha mulher ao Japão. Não diga?
E o que pensa fazer quando completarem 50? Volto lá para buscá-la.”
Fonte: http://www.piadasengracadas.com.pt
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Curso Matemática Para Concursos II – Módulo II
Exercícios
1) O raio da base de um cone eqüilátero mede 5cm. Calcule a medida g
da geratriz e a medida h da altura.
r = 5cm
g 2 = h2 + r 2
g=?
10 2 = h 2 +5 2
h=?
h 2 +25 = 100
h 2 =100-25
g = 2r
h 2 = 75
g = 2⋅ 5
h =
g = 10cm
h = 5 3 cm
75
2) O tanque cônico indicado na figura tem 8m de profundidade e seu topo
circular tem 6m de diâmetro. Calcular o volume máximo que esse
tanque pode conter água:
r =
r=
d
2
6
2
r = 3m
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Curso Matemática Para Concursos II – Módulo II
V=
V=
V=
V=
π r 2h
3
π ⋅ 32 ⋅ 8
3
π ⋅9 ⋅8
3
72π
3
V = 24π m 3 ou 24 ⋅ 3,14 = 75,36m 3 ou 75360 litros.
Esfera
S = 4π R 2
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Curso Matemática Para Concursos II – Módulo II
V=
4
π R3
3
R2 = r 2 + d 2
Exercícios
1) O volume de uma esfera é
π
6
cm 3 , então seu diâmetro é:
Solução:
4π R3
V=
3
π
4π R3
=
6
3
3 π = 24 π R 3
24 π R 3 = 3 π
R3 =
3π
24π
R3 =
1
8
3 3 =3 1
R
8
R=
3
R=
1
2
1
8
d = 2R
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Curso Matemática Para Concursos II – Módulo II
d = 2⋅
1
2
d=1
Resposta: O diâmetro é de 1cm.
2) Calcular a área de uma superfície esférica de raio 6cm.
Solução:
r = 6cm
S=?
S = 4π r2
S = 4π ⋅ 6 2
S = 36 ⋅ 4 π
S = 144 π cm 2 é a área da superfície esférica.
Pirâmide
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Classificação
Uma pirâmide é reta quando a projeção ortogonal do vértice coincide com
o centro do polígono da base.
Toda pirâmide reta, cujo polígono da base é regular, recebe o nome de
pirâmide regular. Ela pode ser triangular, quadrangular, pentagonal etc.,
conforme sua base seja, respectivamente, um triângulo, um quadrilátero,
um pentágono etc.
Veja:
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Exercícios
1) Em uma pirâmide quadrangular regular, a aresta da base mede 8cm.
Sabendo-se que a altura da pirâmide é de 3cm, calcular a área lateral
e a área total dessa pirâmide:
Solução:
a = 8cm
h = 3cm
Como a base é um quadrado (pirâmide quadrangular regular), temos:
m=
a
2
m=
8
2
m = 4cm
m = apótema da base
Cálculo do apótema da pirâmide (g)
Como o ∆ VOM é retângulo, aplicando Pitágoras, temos:
g 2 = h2 + m2
g 2 = 3 2 +4 2
g 2 = 9+16
g = 5cm
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Cálculo da área lateral (Sl)
S face =
a⋅g
2
S face =
8⋅5
2
S face =
40
2
S face = 20cm 2
Sl = 4 ⋅ S face
Sl = 4 ⋅ 20
Sl = 80cm 2
Sb = a 2
Sb = 8 2
Sb = 64cm 2
Cálculo da área total (St)
St = Sb+Sl
St = 64+80
St = 144cm 2
Área lateral = 80cm 2
Área total = 144cm 2
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2) A base de uma pirâmide é um quadrado de aresta 3cm. Sabendo que
a altura da pirâmide mede 10cm, calcular o volume dessa pirâmide
Solução:
a = 3cm
Sb = a 2
h = 10cm
Sb = 3 2
V=?
Sb = 9cm 2
V=
1
Sb ⋅ h
3
V=
1
⋅ 9 ⋅ 10
3
V=
90
3
V = 30cm 3
O volume da pirâmide é de 30cm 3 .
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