Teoria das Desições Financeiras II
José Fajardo Barbachan
IBMEC Business School
Rio de Janeiro
Teoria das Desições Financeiras II – p.1/15
Probabilidade para Finanças
Teoria das Desições Financeiras II – p.2/15
Exercícios
1. No jogo de Craps dois dados são jogados. Se o
jogador tira 7 ou 11 pontos ele ganha. Se ele tira
2,3 ou 12 ele perde. Nos outros casos ele continua
jogando os dois dados até sair 7, caso em que ele
ganha, ou então sair o primeiro resultado, caso em
que ele ganha. descreva o espaço amostral Ω.
Qual é a probabilidade dele ganhar?
Teoria das Desições Financeiras II – p.3/15
Exercícios
2. Suponha que a queda ou não da SELIC dependa
da Inflação cair ou não. Admita-se que se a
inflação caiu a SELIC cairá com probabilidade 0, 8
e se a inflação não cai a SELIC cairá com
probabilidade 0, 1. Sabendo-se que a SELIC caiu,
calcule a
probabilidade de que a inflação cairá.
Teoria das Desições Financeiras II – p.4/15
Exercícios
2. Suponha que a queda ou não da SELIC dependa
da Inflação cair ou não. Admita-se que se a
inflação caiu a SELIC cairá com probabilidade 0, 8
e se a inflação não cai a SELIC cairá com
probabilidade 0, 1. Sabendo-se que a SELIC caiu,
calcule a
probabilidade de que a inflação cairá.
3. Certo experimento consiste em lançar um dado
equilibrado duas vezes, independentemente.
Dado que os dois números sejam diferentes, qual
é a probabilidade condicional da soma dos
números
ser 8?
Teoria das Desições Financeiras II – p.4/15
Exercícios
4. Durante o mês de junho a probabilidade de chuva
é de 0, 3. O Flamengo perde um jogo em um dia
com chuva com a probabilidade de 0,6; em um dia
sem chuva com a probabilidade 0,8. Se o
Flamengo perdeu um jogo em junho, qual é a
probabilidade de que choveu nesse dia?
Teoria das Desições Financeiras II – p.5/15
Exercícios
4. Durante o mês de junho a probabilidade de chuva
é de 0, 3. O Flamengo perde um jogo em um dia
com chuva com a probabilidade de 0,6; em um dia
sem chuva com a probabilidade 0,8. Se o
Flamengo perdeu um jogo em junho, qual é a
probabilidade de que choveu nesse dia?
5. José quer enviar sua dissertação a seu orientador
que esta na França. A probabilidade de que José
escreva a dissertação é 0,8. A probabilidade de
que o correio não a perca é de 0,9. A
probabilidade de que o carteiro a entregue é de
0,9. Dado que o orientador não recebeu a
dissertação, qual é a probabilidade condicional de
que José não tenha escrito?
Teoria das Desições Financeiras II – p.5/15
Varíaveis Aleatórias
Lembramos que apartir de agora estamos
trabalhando num espaço de probabilidade (Ω, F, P ).
Teoria das Desições Financeiras II – p.6/15
Varíaveis Aleatórias
Lembramos que apartir de agora estamos
trabalhando num espaço de probabilidade
(Ω, F, P ).Uma variável aleátoria X é definida como
uma função de Ω em T ⊂ IR.
Teoria das Desições Financeiras II – p.6/15
Varíaveis Aleatórias
Lembramos que apartir de agora estamos
trabalhando num espaço de probabilidade
(Ω, F, P ).Uma variável aleátoria X é definida como
uma função de Ω em T ⊂ IR. Ela representa uma
quantidade incerta, daqui o nome variável, que varia
não como se fosse uma variável algebrica, isto é
tomando valores deterministicos, pelo contrario dando
eventos aleátorios.
Teoria das Desições Financeiras II – p.6/15
Varíaveis Aleatórias
Lembramos que apartir de agora estamos
trabalhando num espaço de probabilidade
(Ω, F, P ).Uma variável aleátoria X é definida como
uma função de Ω em T ⊂ IR. Ela representa uma
quantidade incerta, daqui o nome variável, que varia
não como se fosse uma variável algebrica, isto é
tomando valores deterministicos, pelo contrario dando
eventos aleátorios.
Exemplo:
Ω = {c, e
c} ⇒ X : Ω 7→ {0, 1} ⊂ IR
c}) = 0
X({c}) = 1 e X({e
é uma varíavel aleatória (v.a.)
Teoria das Desições Financeiras II – p.6/15
Varíaveis Aleatórias
Como definir a v.a. Y =Número de caras em “n” lances.
Teoria das Desições Financeiras II – p.7/15
Varíaveis Aleatórias
Como definir a v.a. Y =Número de caras em “n” lances.
Seja Xi ({c}) = 1 e Xi ({e
c}) = 0 no i-esimo lance, daqui:
Teoria das Desições Financeiras II – p.7/15
Varíaveis Aleatórias
Como definir a v.a. Y =Número de caras em “n” lances.
Seja Xi ({c}) = 1 e Xi ({e
c}) = 0 no i-esimo lance, daqui:
Y = X1 + X2 + ... + Xn
é a v.a. número de caras em “n” lances
Teoria das Desições Financeiras II – p.7/15
Varíaveis Aleatórias
Como definir a v.a. Y =Número de caras em “n” lances.
Seja Xi ({c}) = 1 e Xi ({e
c}) = 0 no i-esimo lance, daqui:
Y = X1 + X2 + ... + Xn
é a v.a. número de caras em “n” lances
Defina a v.a. Z =Soma das faces do lance de dois dados:
Teoria das Desições Financeiras II – p.7/15
Varíaveis Aleatórias
Como definir a v.a. Y =Número de caras em “n” lances.
Seja Xi ({c}) = 1 e Xi ({e
c}) = 0 no i-esimo lance, daqui:
Y = X1 + X2 + ... + Xn
é a v.a. número de caras em “n” lances
Defina a v.a. Z =Soma das faces do lance de dois dados:
Lembremos que Ω = {(i, j) : i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6.}
Teoria das Desições Financeiras II – p.7/15
Varíaveis Aleatórias
Como definir a v.a. Y =Número de caras em “n” lances.
Seja Xi ({c}) = 1 e Xi ({e
c}) = 0 no i-esimo lance, daqui:
Y = X1 + X2 + ... + Xn
é a v.a. número de caras em “n” lances
Defina a v.a. Z =Soma das faces do lance de dois dados:
Lembremos que Ω = {(i, j) : i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6.}
Z((i, j)) = i + j
Teoria das Desições Financeiras II – p.7/15
Varíaveis Aleatórias em Espaços Enumeráveis
No caso que Ω seja enumerável podemos definir a
distribuição de X da seguinte forma:
P (X = j) =
X
pi ,
{ωi :X(ωi )=j}
Teoria das Desições Financeiras II – p.8/15
Varíaveis Aleatórias em Espaços Enumeráveis
No caso que Ω seja enumerável podemos definir a
distribuição de X da seguinte forma:
P (X = j) =
X
pi ,
{ωi :X(ωi )=j}
onde pi =probabilidade de acontecer ωi .
Teoria das Desições Financeiras II – p.8/15
Varíaveis Aleatórias em Espaços Enumeráveis
No caso que Ω seja enumerável podemos definir a
distribuição de X da seguinte forma:
X
P (X = j) =
pi ,
{ωi :X(ωi )=j}
onde pi =probabilidade de acontecer ωi . Neste caso a
distribuição de X será
P (X ∈ A) =
X
P (X = j)
j∈A
Teoria das Desições Financeiras II – p.8/15
Varíaveis Aleatórias em Espaços Enumeráveis
No caso que Ω seja enumerável podemos definir a
distribuição de X da seguinte forma:
X
P (X = j) =
pi ,
{ωi :X(ωi )=j}
onde pi =probabilidade de acontecer ωi . Neste caso a
distribuição de X será
P (X ∈ A) =
X
P (X = j)
j∈A
Como fizemos no Exerc. 1
Teoria das Desições Financeiras II – p.8/15
Exemplos
• X
é Poisson com parametro λ.
Teoria das Desições Financeiras II – p.9/15
Exemplos
• X
é Poisson com parametro λ. Então X : Ω → IN , e
P (X ∈ A) =
X
j∈A
P (X = j) =
X λj e−λ
j∈A
j!
Teoria das Desições Financeiras II – p.9/15
Exemplos
• X
é Poisson com parametro λ. Então X : Ω → IN , e
P (X ∈ A) =
é fácil provar que
X
P (X = j) =
X λj e−λ
j∈A
j∈A
P∞
= j) = 1.
j=0 P (X
j!
Teoria das Desições Financeiras II – p.9/15
Exemplos
• X
é Poisson com parametro λ. Então X : Ω → IN , e
P (X ∈ A) =
é fácil provar que
X
P (X = j) =
X λj e−λ
j∈A
j∈A
P∞
= j) = 1.
j=0 P (X
j!
Esta distribuição pode modelar o número de
pessoas que chega a uma fila num banco,
Teoria das Desições Financeiras II – p.9/15
Exemplos
• X
é Poisson com parametro λ. Então X : Ω → IN , e
P (X ∈ A) =
é fácil provar que
X
P (X = j) =
X λj e−λ
j∈A
j∈A
P∞
= j) = 1.
j=0 P (X
j!
Esta distribuição pode modelar o número de
pessoas que chega a uma fila num banco, ou o
número de inadimplentes numa determinada
carteira de empréstimos.
Teoria das Desições Financeiras II – p.9/15
Exemplos
é de Bernoulli, se X toma somente dois valores 0
e 1,
• X
Teoria das Desições Financeiras II – p.10/15
Exemplos
é de Bernoulli, se X toma somente dois valores 0
e 1, este caraterístico númerico corresponde a um
experimento com dois possíveis resultados “erro”
ou “acerto”.
• X
Teoria das Desições Financeiras II – p.10/15
Exemplos
é de Bernoulli, se X toma somente dois valores 0
e 1, este caraterístico númerico corresponde a um
experimento com dois possíveis resultados “erro”
ou “acerto”. É comun asignar as seguintes
probabilidades:
• X
P (X = 1) = p e P (X = 0) = 1 − p
Teoria das Desições Financeiras II – p.10/15
Exemplos
é de Bernoulli, se X toma somente dois valores 0
e 1, este caraterístico númerico corresponde a um
experimento com dois possíveis resultados “erro”
ou “acerto”. É comun asignar as seguintes
probabilidades:
• X
P (X = 1) = p e P (X = 0) = 1 − p
Daqui, qual sería a distribuição da variavél Y =
número de lances até o primer acerto?,
Teoria das Desições Financeiras II – p.10/15
Exemplos
é de Bernoulli, se X toma somente dois valores 0
e 1, este caraterístico númerico corresponde a um
experimento com dois possíveis resultados “erro”
ou “acerto”. É comun asignar as seguintes
probabilidades:
• X
P (X = 1) = p e P (X = 0) = 1 − p
Daqui, qual sería a distribuição da variavél Y =
número de lances até o primer acerto?, (esta é
chamada de distribuição Geometrica).
Teoria das Desições Financeiras II – p.10/15
Exemplos
•
Agora modelemos a seguinte variável X = número
de acertos em n tentativas,
Teoria das Desições Financeiras II – p.11/15
Exemplos
•
Agora modelemos a seguinte variável X = número
de acertos em n tentativas, X pode tomar valores
em {0, 1, 2, . . . , n}.
Teoria das Desições Financeiras II – p.11/15
Exemplos
•
Agora modelemos a seguinte variável X = número
de acertos em n tentativas, X pode tomar valores
em {0, 1, 2, . . . , n}. a distribuição será
P (X = k) =
n k
pk (1 − p)n−k ,
Teoria das Desições Financeiras II – p.11/15
Exemplos
•
Agora modelemos a seguinte variável X = número
de acertos em n tentativas, X pode tomar valores
em {0, 1, 2, . . . , n}. a distribuição será
P (X = k) =
n k
pk (1 − p)n−k ,
esta distribuição é denominada distribuição Binomial
de parametros p e n.
Teoria das Desições Financeiras II – p.11/15
Exemplos
•
Agora modelemos a seguinte variável X = número
de acertos em n tentativas, X pode tomar valores
em {0, 1, 2, . . . , n}. a distribuição será
P (X = k) =
n k
pk (1 − p)n−k ,
esta distribuição é denominada distribuição Binomial
de parametros p e n.
Agora defino, Yi =1 se acerto no i−esimo lance e
0 caso contrario,
Teoria das Desições Financeiras II – p.11/15
Exemplos
•
Agora modelemos a seguinte variável X = número
de acertos em n tentativas, X pode tomar valores
em {0, 1, 2, . . . , n}. a distribuição será
P (X = k) =
n k
pk (1 − p)n−k ,
esta distribuição é denominada distribuição Binomial
de parametros p e n.
Agora defino, Yi =1 se acerto no i−esimo lance e
0 caso
contrario, qual sería a distribuição de
Pn
Z = i=1 Yi ?
Teoria das Desições Financeiras II – p.11/15
Exemplos
•
Uma distribuição muito conhecida em economia é
a distribuiçaõ de Pareto, o nome é devido a que foi
Vilfredo Pareto o primeiro a usar esta distribuição
para modelar a distribuição de renda.
Teoria das Desições Financeiras II – p.12/15
Exemplos
•
Uma distribuição muito conhecida em economia é
a distribuiçaõ de Pareto, o nome é devido a que foi
Vilfredo Pareto o primeiro a usar esta distribuição
para modelar a distribuição de renda. X toma
valores em IN , onde
P (X = j) =
a
j α+1
Teoria das Desições Financeiras II – p.12/15
Exemplos
•
Uma distribuição muito conhecida em economia é
a distribuiçaõ de Pareto, o nome é devido a que foi
Vilfredo Pareto o primeiro a usar esta distribuição
para modelar a distribuição de renda. X toma
valores em IN , onde
P (X = j) =
a
j α+1
com α > 0 sendo um parametro fixo, e a é uma
constante tal que
X
P (X = j) = 1
j
.
Teoria das Desições Financeiras II – p.12/15
Exemplos
A seguinte função é conhecida como a Função Zero de
Riemann
Teoria das Desições Financeiras II – p.13/15
Exemplos
A seguinte função é conhecida como a Função Zero de
Riemann
∞
X
1
ζ(s) =
,
s
k
s > 1,
k=1
Teoria das Desições Financeiras II – p.13/15
Exemplos
A seguinte função é conhecida como a Função Zero de
Riemann
∞
X
1
ζ(s) =
,
s
k
s > 1,
k=1
daqui a =
1
ζ(α+1) ,
e
Teoria das Desições Financeiras II – p.13/15
Exemplos
A seguinte função é conhecida como a Função Zero de
Riemann
∞
X
1
ζ(s) =
,
s
k
s > 1,
k=1
daqui a =
1
ζ(α+1) ,
e
1
P (X = j) =
ζ(α + 1)j α+1
Teoria das Desições Financeiras II – p.13/15
Esperança e Variância
Dada a distribuição de uma variável podemos definir
dois constantes importantes,
Teoria das Desições Financeiras II – p.14/15
Esperança e Variância
Dada a distribuição de uma variável podemos definir
dois constantes importantes,
Definição
Seja uma variável aleatória real num espaço enumerável Ω. A
esperança de X , denotada por E(X), é definida por
E(X) =
X
X(ωi )pi
i
Teoria das Desições Financeiras II – p.14/15
Esperança e Variância
Dada a distribuição de uma variável podemos definir
dois constantes importantes,
Definição
Seja uma variável aleatória real num espaço enumerável Ω. A
esperança de X , denotada por E(X), é definida por
E(X) =
X
X(ωi )pi
i
Seja L1 o espaço das variáveis aleatórias reais que
tem esperança finita, então:
Se X e X 2 pertencem a L1 .
Teoria das Desições Financeiras II – p.14/15
Esperança e Variância
Dada a distribuição de uma variável podemos definir
dois constantes importantes,
Definição
Seja uma variável aleatória real num espaço enumerável Ω. A
esperança de X , denotada por E(X), é definida por
E(X) =
X
X(ωi )pi
i
Seja L1 o espaço das variáveis aleatórias reais que
tem esperança finita, então:
Se X e X 2 pertencem a L1 . A variância de X é
definida como:
2
σX
≡ E(X − E(X))2
Teoria das Desições Financeiras II – p.14/15
Exercícios
•
Se X é Geometrica(p), calcule E(X) e E(1/X).
Teoria das Desições Financeiras II – p.15/15
Exercícios
•
Se X é Geometrica(p), calcule E(X) e E(1/X).
•
Se X é Poisson(λ), λ > 0 e inteiro. Encontre
E(X), V ar(X) e E|X − λ|.
Teoria das Desições Financeiras II – p.15/15
Exercícios
•
Se X é Geometrica(p), calcule E(X) e E(1/X).
•
Se X é Poisson(λ), λ > 0 e inteiro. Encontre
E(X), V ar(X) e E|X − λ|.
•
Se X é Poisson(λ), que valor de λ maximiza
P (X = j) para j fixo?
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