Resistência dos Materiais
Resistência dos Materiais
CAPITULO 4
Tensões e Deformações em Corpos Deformáveis
DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial
Resistência dos Materiais
Sumário: Tensões e Deformações em Corpos Deformáveis
 Tensão média
 Tensão num ponto
 Tensão normal
 Tensão tangencial
 Componentes de tensão num ponto
 Deformação, deslocamento, extensão e distorção
Competências: No final do capítulo os alunos deverão ser capazes de distinguir
entre tensão num ponto e tensão média. Classificar as componentes cartesianas de
tensão e deformação. Relacionar a tensão num ponto com a orientação do plano
que o contém. Calcular as componentes cartesianas da tensão para diferentes tipos
de carregamento e geometrias. Distinguir os conceitos de extensão e distorção.
DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial
Resistência dos Materiais
Conceito de Tensão
• O principal objectivo do estudo da
resistência dos materiais é proporcionar ao
futuro
engenheiro
os
meios
para
dimensionar máquinas e estruturas sujeitas
a solicitações estáticas e dinâmicas.
• O dimensionamento de estruturas envolve a
determinação de tensões e deformações.
DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial
Resistência dos Materiais
Tensões Normais
• Tensão normal num ponto:
F
A0 A
  lim
 med 
P
A
• A distribuição real de tensões normais é
estaticamente indeterminada.
DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial
Resistência dos Materiais
Carregamento Concêntrico e Excêntrico
• Distribuição de tensões uniforme na secção.
N
• Distribuição de tensões não uniforme.
DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial
Resistência dos Materiais
Tensões Tangenciais
• As forcas P e P’ são aplicadas
transversalmente ao membro AB.
• As forças internas correspondentes que
actuam no plano da secção C designam-se
por esforços cortantes.
• A tensão tangencial média é:
V
 med 
V
A
• A distribuição de tensões tangenciais pode ser
assumida como uniforme.
DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial
Resistência dos Materiais
Tensões Tangenciais
Corte simples
Corte duplo
V
V
V
 med 
V F

A A
DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial
 med 
V
F

A 2A
Resistência dos Materiais
Tensões Tangenciais - Exemplos
2
 25 mm 
6 2
A  r  
  491 10 m
 2 
2
 C ,med
V
50103 N
 
 102MPa
A 491106 m 2
V
 A,med 
V
V
DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial
V
20 kN

 40.7 MPa
6
2
A 491 10 m
Resistência dos Materiais
Tensões Normal e Tangencial
N
V
DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial
Resistência dos Materiais
Exercício Resolvido 1
DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial
Resistência dos Materiais
DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial
Resistência dos Materiais
Tensões num Plano Oblíquo ao Eixo
• Componentes normal e tangencial da
carga P no plano oblíquo.
N  P cos
V  P sin 
• As tensões normal e tangencial médias
no plano oblíquo ao eixo são:
N
P cos
P


cos2 
A A0
A0
cos
V
P sin 
P



sin  cos
A
A
A0
0
cos

DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial
N
Resistência dos Materiais
Tensões Máximas
• As tensões normal e tangencial num plano
oblíquo a um eixo são expressas por:

P
P
cos 2   
sin  cos
A0
A0
• A tensão normal máxima ocorre para  = 0º:
m 
P
  0
A0
• A tensão tangencial máxima ocorre para
 = + 45o:
m 
DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial
P
P
sin 45 cos 45 
 
A0
2 A0
Resistência dos Materiais
Tensões para um Caso de Carregamento Qualquer
• Considerando um corpo onde estão
aplicadas várias forças vamos
estudar as condições de tensões
num ponto Q do interior do corpo.
• As componentes de tensão são
definidas por:
ΔN x
ΔN x
 x  lim
A0
 xy  lim
A0
DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial
N x
A
Vyx
A
 xz  lim
A0
Vzx
A
Resistência dos Materiais
Estado de Tensão num Ponto
• Componentes de tensão no ponto Q.
• Condições de equilíbrio:
 Fx   Fy   Fz  0
Mx  M y  Mz  0
• Considerando:
 M z  0   xy Aa   yx Aa
 xy   yx
similarmente yz =zy e zx = xz
• As 6 componentes de tensão x , y, z e xy,
yz, xz são suficientes para definir o estado
de tensão.
DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial
Resistência dos Materiais
Deformação Específica
Extensão:
 méd . 
S' S
S
S'S
B A S
  lim
S´  (1  )S
Distorção:
 nt 

 lim ´
2 B A
C A
DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial
Resistência dos Materiais
Componentes Cartesianas das Deformações Específicas
S´  (1  )S
Comprimentos aproximados dos lados do paralelogramo:
x´  (1   x )x
y´  (1   y )y
z´  (1  z )z
Ângulos aproximados entre os lados:

  xy
2

  yz
2

  zx
2
Extensões causam variação do volume do elemento.
Distorções causam variação na forma do elemento.
DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial
Resistência dos Materiais
Exercício Resolvido 2
Uma placa rectangular é deformada conforme indicado pela forma
tracejada mostrada na figura (a). Considerando que na configuração
deformada as linhas horizontais da placa permanecem horizontais e não
variam o seu comprimento, determine:
a) a extensão ao longo do lado AB;
b) a distorção da placa relativamente aos eixos x e y.
250 mm
DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial
Resistência dos Materiais
a) De acordo com a figura b), vem:
b) De acordo com a figura c), vem:
DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial