Mecânica I
Mecânica I
Capitulo 3 - Dinâmica do ponto material
DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial
Mecânica I
Definição de Força: de um modo geral, força define-se como qualquer interacção
entre corpos capaz de modificar o estado de repouso ou de movimento de um corpo
(conceito dinâmico) ou de lhe causar uma deformação permanente ou temporária
(conceito estático).

F
Linha de Acção
P

F
Intensidade
Características do vector força
- Ponto de aplicação: ponto do corpo onde a força actua.
- Direcção: linha segundo a qual a força actua (ou qualquer recta paralela).
- Sentido: o sentido de actuação da força é de onde e para onde a força actua.
- Intensidade ou módulo: valor numérico expresso em unidades de força.
- Unidade: Newton (N).
DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial
Mecânica I
Tipos de Forças
Forças externas
Forças internas
 Externas e Internas

Fa
 Outras forças

N

Fg
 Concentradas e Distribuídas
F
DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial
F(X)

F
Mecânica I
Classificação das forças quanto à sua natureza
Forças de contacto - são as forças nascidas do mútuo contacto entre os corpos.
Forças de "acção à distância" - são forças de campo, nascidas em função das suas
propriedades.
1 - Força muscular - (exercida pelo homem ou animais);
2 - Força gravitacional - (força gravítica);
3 - Força magnética - (exercida pelos ímãs e electroímanes);
4 - Força electrostática - (exercida pelas cargas eléctricas em repouso);
5 - Força electromagnética - (pelas correntes eléctricas);
6 - Força elástica - (pelas molas e fluidos sob pressão);
7 - Força de atrito - (força resultante do contacto entre corpos);
8 - Forças reacção, etc.
DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial
Mecânica I
Exemplos de Forças
Terra

F

F

F
Lua

F
N
-
m
+
Forças gravitacionais
Forças electrostáticas

F

F
Forças magnéticas

F


F


F

Órbita da Terra em volta do Sol.
DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial
F
F  K x
S
Mecânica I
Classificação dos Sistemas de forças
coplanar (concorrente, paralelo, qualquer)
Sistema
espacial (concorrente, paralelo, qualquer)
Resultante das forças de um sistema



FR  F1  F2
No caso mais geral, se tivermos n forças a actuar no mesmo ponto, a força
resultante pode ser expressa como uma soma vectorial, isto é;




FR  F1  F2  ....  Fn
ou

FR 

 Fi
i
DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial
Mecânica I
Decomposição de vectores força
y

F = Vector força

F


 = Ângulo entre F e o eixo x
x
y

F


Fx

Fy



F  Fx  Fy

F  F cos  iˆ  Fsen ˆj
DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial

Fy

F


Fx
x
Mecânica I
Se tivermos n forças a actuar no mesmo ponto, a força resultante pode ser
expressa como uma soma vectorial das sua componentes, isto é:

FR 
 Fx
iˆ   Fy ˆj
Os eixos usados para obter as componentes rectangulares não necessitam ser
horizontais ou verticais.
DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial
Mecânica I
Leis de Newton
1ª lei de Newton, ou lei da inércia
Isaac Newton
“Qualquer corpo permanece no estado de repouso ou de movimento rectilíneo
uniforme se a resultante das forças que actuam sobre esse corpo for nula”.
Assim, se o corpo estiver em repouso continuará em repouso; se estiver em movimento,
continuará o seu movimento em linha recta e com velocidade constante.
DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial
Mecânica I
2ª lei de Newton, ou lei da força
“A aceleração adquirida por um corpo é directamente proporcional à
intensidade da resultante das forças que actuam sobre o corpo, tem
direcção e sentido dessa força resultante e é inversamente proporcional à
sua massa”.


P  mv




dP
d
dv
mv   m
F 

dt
dt
dt
1. A força da mão imprime à caixa uma aceleração a.
2. Duas vezes a força imprime à caixa uma aceleração duas vezes maior.
3. Duas vezes a força sobre uma massa duas vezes maior, produz a
mesma aceleração original, a.
DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial


F  ma
Mecânica I
3ª lei de Newton, ou lei da acção reacção
“Para cada acção existe uma reacção igual e contrária”.
As forças manifestam-se aos pares. Se A exerce uma força sobre B, este, reagirá
com outra força do mesmo módulo, mesma direcção e sentido contrário. Não existe
acção sem reacção.

F

F
Exemplo: um avião a jacto funciona da seguinte forma: o gás expandindo-se nas
câmaras de combustão, é expelido pelo avião, para trás e reage de acordo com a 3ª lei
de Newton, exercendo sobre o avião uma força que o impulsiona para a frente.
DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial
Mecânica I
Outros exemplos das leis de Newton
Exemplo 1: Certamente já teve a sensação de estar em repouso, mesmo com o
carro em movimento? Porque será que tem esta sensação?

Movimento rectilíneo uniforme, FR  0
Exemplo 2: Quando o veículo é acelerado (movimento rectilíneo uniformemente
variado), você tem a sensação de movimento mesmo estando isolado
do mundo exterior. Porque será que tem esta sensação?
Resultante das forças (FR) diferente de zero,
Logo há alteração do módulo do vector velocidade.
DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial
Mecânica I
Categorias de Movimento
Y
1ª Categoria: Ponto material em queda livre
ˆj
a) Lei da Aceleração

 
a  g  9.81 ˆj m / s 2

g

Y

Fg
b) Lei da Força
 

F  Fg  mg  mg ˆj N 
DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial
ˆj
Mecânica I
2ª Categoria: Ponto material vinculado a um plano
inclinado isento de atrito

gx
a) Lei da Aceleração

 
a  g x  gsen iˆ m / s 2



gy

g


N

Fx
b) Lei da Força



F  mg x  mgsen iˆ N 
DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial


Fg

Fy
Mecânica I
3ª Categoria: Ponto material em movimento circular e uniforme ( at=0 )
a) Lei da Aceleração

un
b) Lei da Força

un

un
an
Fn
an
R

un

un
an
Fn
R
an
Fn
Fn

un

un



v2 
a  0 ut 
un m / s 2
R





a  0 ut  w2 R un m / s 2

DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial


v2 
F  0 u t  m u n N 
R



F  0 ut  mw2 R un N 
Mecânica I
4ª Categoria: Ponto material em movimento circular variado
a) Lei da Aceleração

ut

un
an

 dv  v 2 
a
ut  u n m / s 2
dt
R




dw 
aR
ut  w 2 R u n m / s 2
dt

DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial
Ft

F
at

a
R
b) Lei da Força
R
Fn

ut

un

dv 
v2 
F m
ut  m u n N 
dt
R


dw 
F  mR
u t  m w2 R u n N 
dt
Mecânica I
Pêndulo Cónico
Suponhamos uma partícula de massa m conectada a um eixo vertical de um motor.
A partícula de massa m desvia-se de um ângulo  quando a velocidade angular é
maior que um valor crítico wc.
A partícula descreve uma trajectória circular de raio, R=L sen .
A este sistema chama-se pêndulo cónico.
 
 Fz  0


F

m
a
 n
n
DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial
Mecânica I
Leis do Atrito
Atrito é a força que resiste ou se opõe ao movimento quando uma
superfície desliza sobre a outra.
Blaise Pascal (1623 - 1662)
O atrito estático impede o deslizamento; o atrito dinâmico contraria o deslizamento dos
corpos em contacto.
Quando se trava fazendo as rodas girarem mais lentamente o atrito é grande, pois os
pneus não deslizam (atrito estático), e o carro para logo. Se você trava violentamente,
impedindo as rodas de girarem, elas deslizam e o atrito é menor (atrito dinâmico) ; o
carro não parará logo e derrapará.
DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial
Mecânica I
Quando uma superfície sólida desliza sobre outra as pequenas reentrâncias que
nelas existem prendem-se umas nas outras e produzem o atrito de deslizamento que
se opõe ao movimento.
Corpo em repouso sobre a superfície da mesa
Corpo a deslizar sobre a superfície da mesa

R

F

R

R

F

Fg

R

 Fg
Centro da Terra
DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial

Fg

R

R
Mecânica I
A intensidade da força de atrito estático é proporcional à intensidade da reacção
normal de apoio:
Faest. = μe N
A intensidade da força de atrito dinâmico (ou cinemático) é proporcional à intensidade
da reacção normal de apoio:
Fadin. = μd N
Nota: os números e μe e μd são denominados respectivamente, coeficientes de atrito estático e dinâmico.

R

N

N

F

Fa

Fg
DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial

F

Fa

Fg
Mecânica I
Coeficientes de atrito estático e dinâmico
O ângulo de atrito estático mede a inclinação de um plano no qual o corpo,
abandonado do repouso, se apresenta na iminência de deslizar.
O ângulo de atrito dinâmico mede a inclinação de um plano no qual o corpo,
abandonado com velocidade descendente, continua a deslizar com movimento
uniforme. A força gravítica deve coincidir com a geratriz do “cone de atrito”.
e  tagθ

N

Fa
 d  tagθ

Fg

Fg


DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial

N

Fa
Física
Leis do Atrito
Força atrito [ N ]
Fa limite
Fa dinâmico
Coeficiente de atrito estático
Fa estático
tagθ  e
F1

N


Fg
F2 F3
Força externa [ N ]

N

Fg

Fa

Fa

Fg

DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial

N


Fa
Mecânica I
Valores aproximados dos coeficientes de atrito estático e dinâmico
Material
µe
µd
Aço / aço (seco)
0.70
0.60
Bronze / aço (seco)
0.19
0.18
Cobre / aço (seco)
0.50
0.40
Madeira / madeira (seco)
0.50
0.30
Metal/metal lubrificado
0.15
0.06
Teflon / aço
0.04
0.04
Juntas humanas
0.01
0.003
Gelo/gelo
0.10
0.03
DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial
Mecânica I
Atrito de rolamento versus atrito de deslizamento
O atrito de rolamento é menor do que o atrito de deslizamento. Os antigos egípcios
usavam toros de madeira para mover pedras e estátuas enormes. Nós usamos
pequenas rodas e rolamentos para diminuir o atrito.
Características do atrito
As intensidades das forças de atrito (estáticas ou dinâmicas) são independentes das
áreas das superfícies em contacto, desde que elas não se tornem demasiadamente
pequenas (arestas ou vértices).
Os coeficientes de atrito estático e dinâmico dependem da natureza das superfícies
em contacto (material e acabamento).
Para cada par de materiais em contacto, o coeficiente de atrito estático é maior que o
coeficiente de atrito dinâmico
DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial
Mecânica I
Movimento de veiculo em curva plana
Desenhe o diagrama de corpo do veiculo que descreve uma curva plana de raio constante R com
velocidade v e estabeleça as equações de equilíbrio estático e dinâmico:
DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial
Mecânica I
Movimento de veiculo em curva com inclinação
Complete o diagrama de corpo do veiculo que descreve uma curva inclinada de
raio constante R com velocidade mínima v e estabeleça as equações de equilíbrio
estático e dinâmico:
z
O
DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial
Mecânica I
Estabeleça os diagramas de corpo livre dos veículos mostrados que descrevem
curvas planas e inclinadas de raio constante R com velocidade v.
DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial