1. Equação linear
Equação linear é toda equação da forma:
a11x1 + a12x2+ a13x3 + ... + a1nxn = b1
em que a11, a12, a13, ... , a1n são números reais, que recebem o
nome de coeficientes das incógnitas; x1, x2,x3, ... , xn, são as
incógnitas; e b1 é um número real chamado termo
independente (quando b=0, a equação recebe o nome de
linear homogênea).
Exemplos:
a) 3x1  4x2  5x3  x4  5
3, 4, -5 e -1  são os coeficientes
x1, x2, x3 e x4  são as incógnitas
5  é o termo independente
b) 2x1  x2  x3  0
c) 0 x1  0 x2  0 x3  4
d ) 0x1  0x2  0x3  0x4  0
1. Equação linear
Uma equação linear não apresenta incógnitas em expoentes
diferente de 1, isto é, não temos incógnitas na forma, x2, xy, x,
1/x, etc.
As equações 3x + 2x2 = -3 e -4xy + z = 2, por exemplo, não
são lineares.
Uma equação linear cujo termo independente é nulo (b = 0)
é chamada equação linear homogênea.
2. Solução de uma Equação linear
Uma sequência de números reais (a1, a2, a3,..., an) é solução
da equação linear
a11x1 + a12x2+ a13x3 + ... + a1nxn = b1
se trocarmos cada xi por ai na equação e este fato implicar que
o membro da esquerda é identicamente igual ao membro da
direita, isto é, se a igualdade for verdadeira:
a11a1 + a12a2+ a13a3 + ... + a1nan = b1
Exemplos:
a) Verifique se a sequência (1, 2, 3, -2) é solução da equação
2x1 + 3x2 – x3 + x4 = 3.
Resolução:
2.1 + 3.2 – 3 + (-2) = 3
2+6–3–2=3
3=3
SIM
2. Solução de uma Equação linear
b) A equação 0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = 0, admite como solução a
sequência ordenada (a1, a2, a3,..., an), n  N.
Resolução:
0.a1 + 0.a2 + 0.a3 + 0.a4 = 0
0=0
c) A equação 0x + 0y + 0z + 0t = 2, não admite como solução
a quádrupla ordenada (a1, a2, a3,..., an), n  N.
Resolução:
0.a1 + 0.a2 + 0.a3 + 0.a4 = 2
0=2
Se duas equações têm as mesmas soluções em um mesmo conjunto
universo, estas são ditas EQUAÇÕES EQUIVALENTES.
Se uma equação linear é homogênea (b = 0) esta sempre admite a
solução {0, 0, 0...}, que é dita SOLUÇÃO TRIVIAL ou IMPRÓPRIA.
3. Sistema de Equações lineares
É um conjunto de m (m  1) equações lineares nas incógnitas
x1, x2, x3, ..., xn. Assim o sistema abaixo é linear:
 a11 x1  a12 x2  a13 x3    a1n xn  b1
 a x  a x  a x  a x  b
 21 1 22 2
23 3
2n n
2

 .........................................................
am1 x1  am 2 x2  am 3 x3    amn xn  bm
Lembrando a definição de produto de matrizes, podemos
representar o sistema na FORMA MATRICIAL.
 a11
a
 21
 

am1
a12
a13
a22

a23

am 2
am 3
 a1n   x1   b1 
 a2 n   x2  b2 


    
    
 amn   xn  bn 
3. Sistema de Equações lineares
EQUAÇÃO MATRICIAL EQUIVALENTE
Matriz dos coeficientes
Matriz dos termos independentes
A. X = B
Matriz das variáveis ou incógnitas
 x  2y  z  8

 3x  y  z  4
2 x  2 y  z  3

1 2 1 
3  1 1 


2 2  1
 x
. y  
 z 
8 
4
 
 3 
Equação matricial
Exemplos:
2 x  3 y  4
a) O sistema linear: 
 x y 2
pode ser escrito na forma: 2 3   x  4
1  1   y   2

    
4. Solução de um Sistema Linear
Se o conjunto ordenado de números reais (a1, a2, ..., an) for
solução de todas as equações do sistema, então será
denominado solução do sistema linear.
Exemplos:
a) Verifique se a terna ordenada (1, 2, 3) é solução do sistema
linear:
 x yz 6

2x  y  z  1
3x  y  z  4

1  2  3  6 (V)
SIM, é solução do sistema
2 1  2  3  1 (V)
3 1  2  3  4 (V)
Se fizermos a mesma verificação para a terna ordenada (-5,
11, 0), perceberemos que apesar de ela ser solução das duas
primeiras equações, na terceira a sentença se torna falsa.
Logo, não é solução do sistema.
4. Solução de um Sistema Linear
a) O sistema linear:
 x  2 y  3z  5

 x  y  4z  1
0 x  0 y  0 z  6

não admite solução, pois a última equação não é satisfeita
por nenhuma tripla ordenada.
5. Classificação de um Sistema Linear
Os sistemas lineares são classificados de acordo com o
número de soluções, da seguinte forma:
SISTEMA LINEAR
POSSÍVEL
Quando admite solução
DETERMINADO (SPD)
Quando admite uma
única solução
IMPOSSÍVEL
Quando não admite solução
INDETERMINADO (SPI)
Quando admite mais de
uma solução (infinitas
soluções)
5. Classificação de um Sistema Linear
Exemplos:
 2x  y  7
 S = {3, 1} Somente esta solução, portanto SPD.

3 x  4 y  5
8 x  6 y  20  S = {1, 2}, S = {2, 4}, etc., são várias
1
2

soluções, portanto SPI.
 4 x  3 y  10
2x  3 y  8
 S = ; não existe solução, portanto SI.

4 x  6 y  6
6. Sistema Linear Homogêneo
Chamamos de sistema linear homogêneo todo sistema em que
o termo independente de todas as equações é igual a zero.
Exemplos:
 x yz 0

2 x  y  z  0
3x  4 y  z  t  0
3 x  y  3z
0


 x  2 y  z  3t  0
4 x
 z t  0
É fácil notar que um sistema homogêneo admite sempre como
solução a sequência (0, 0, 0, ..., 0), esta solução chama-se
solução trivial.
Se o sistema homogêneo admitir outra solução em que as
incógnitas não são todas nulas, a solução será chamada
solução não trivial.
7. Matrizes associadas a um sistema
Matriz Incompleta: matriz A formada pelo coeficientes das
incógnitas do sistema.
 2x  3y  z  0

 4x  y  z  7
 2 x  y  z  4

 2 3  1
A   4 1 1 
 2 1 1 
Matriz Completa: matriz B que se obtém acrescentando à
matriz incompleta, uma última coluna formada pelos termos
independentes das equações do sistema.
 2x  3y  z  0

 4x  y  z  7
 2 x  y  z  4

 2 3  1 0
B   4 1 1 7
 2 1 1 4
8. Sistema Normal
Um sistema é dito normal quando:
• O número de equações (m) é igual ao número de incógnitas
(n).
• O determinante da matriz incompleta associada ao sistema é
diferente de zero.
2x  3y  z  0

Exemplos:

Verifique se o sistema linear é normal: 4 x  y  z  7
 2 x  y  z  4

Resolução:
O sistema possui 3 equações e 3 incógnitas.
Vamos calcular o determinante da matriz incompleta:
3 1 2 3
det A  4 1 1 4 1  2  6  4  2  2  12  24
2 1 1 2 1
CONCLUSÃO: o sistema é
2
normal
9. Teorema de Cramer
Seja S um sistema linear normal (m = n e detA  0), então S
possui solução única, e portanto, será Possível e Determinado
(SPD).
Dxi
, i  1,2,3,, n
Esta solução será da forma: xi 
D
Onde, D é o determinante da matriz incompleta associada ao
sistema, e Dxi é o determinante obtido pela substituição, na
matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos
termos independentes.
x yz 6

Exemplos:

Resolver o sistema usando a regra de cramer:  x  y  z  4
 2x  y  z  1
Resolução:

1 1 1 1 1
Cálculo de D: D  1  1  1 1  1  1  2  1  2  1  1  4
2 1
1
2 1
9. Teorema de Cramer
 x yz 6
Exemplos:

Resolver o sistema usando a regra de cramer:  x  y  z  4
Resolução:
6
1
1
6
1
 2x  y  z  1

1
 1  1  4  1  6  1  4  1  6  4
 4
 1 1 1 1
1
6
Cálculo de DX: Dx   4
Cálculo de Dy: D y  1
1
 4 1
1
6
2
1
1
1  4  4  12  1  8  1  6
 12
2 1
1
1
6
1
Cálculo de Dz: Dz  1
1  4
2 1 1
1
1  1  1  8  6  12  4  1
 8
2 1
9. Teorema de Cramer
 x yz 6
Exemplos:

Resolver o sistema usando a regra de cramer:  x  y  z  4
Resolução:
Dx  4
Cálculo de x: x 

D 4
x 1
 12

Cálculo de y: y 
4
D
y3
Dz  8

Cálculo de z: z 
D 4
z2
Dy
Logo, o conjunto solução do sistema é:
S  1,3,2
 2x  y  z  1

10. Teorema de Cramer – Discussão de Sistemas
Vamos lembrar que um sistema é classificado de acordo com o
número de soluções que ele apresenta.
A partir do Teorema de Cramer, podemos classificar um
sistema, seguindo o seguinte princípio:
Se: D  0
 Soluçãoúnica SPD
Se: D  0, Dx  0, Dy  0, Dz  0,  Infinitas Soluções SPI
Se: D  0 e Dx  D y  Dz   Dx  D y  Dz    0
 Não possui Solução SI
A explicação para esse raciocínio é bem simples, pois, por
exemplo, se D = 0 e todos os Dx = Dy = Dz ... = 0, no cálculo de
x, y e z teríamos:
Dy 0
Dx 0
x


  SPI
y
D
0
D
0
10. Teorema de Cramer – Discussão de Sistemas
Exemplos:
Discutir (classificar) o sistema usando a
regra de cramer:
Resolução:
1 1
Cálculo de D: D  2
1
1 1
 x yz 3

 2x  y  z  0
3 x  y  2 z  6

1 2 1  2  3  2  3 1  4  3
3 1 2 3 1
1
Perceba que D  0, e nesse caso, mesmo sem resolver o
sistema já sabemos que ele tem uma única solução.
Portanto: SPD.
10. Teorema de Cramer – Discussão de Sistemas
Exemplos:
 x  3y  2z  1
Discutir (classificar) o sistema usando a   2 x  y  z  2

regra de cramer:

Resolução:
1
3 2
1
3
  x  4 y  3 z  1
Cálculo de D: D   2
1 1  2 1  3  3  16  2  4  18  0
1 4 3 1 4
Perceba que D = 0, e nesse caso, precisaremos calcular Dx, Dy
e Dz, e somente depois disso, é que poderemos classificar o
sistema.
1
3 2
1
1
2
1
3
1
D x   2 1 1  0 D y   2  2 1  0 Dz   2 1  2  0
1 1 3
1 4 1
1 4 3
Com base nos valores encontrados, concluímos que SPI.
10. Teorema de Cramer – Discussão de Sistemas
Exemplos:
Discutir (classificar) o sistema usando a
regra de cramer:
Resolução:
1 2
Cálculo de D: D  2
1
1 3
3 3 2
1 2
 x  2y  z 1

 2 x  y  3z  4
3 x  3 y  2 z  0

2 1  2  18  6  3  9  8  0
3 3
Perceba que D = 0, e nesse caso, precisaremos calcular Dx, Dy
e Dz, e somente depois disso, é que poderemos classificar o
sistema.
1 2
1
Dx  4 1  3  23
0 3 2
Nesse caso, já não é mais necessário o
cálculo de Dy e Dz, pois sendo Dx  0 e
D = 0, concluímos que SI.