A aula de hoje será através de pesquisa em grupo em livros didáticos,
com o objetivo de desenvolver tua autonomia e capacidade de
compreensão que torna o estudo ativo e assim a aprendizagem tornase real. Em cada item há um tempo que a atividade deve ser realizada.
3.8. Matrizes associadas a um sistema.
No capítulo anterior foi mencionado que uma das aplicações das
matrizes era resolver um sistema de equações lineares. Veremos agora de
que maneira um sistema está associado à teoria de matrizes e determinantes.
1. Construa dois sistemas de equações lineares ou copie exemplos do livro.
Um 2x2 (2 equações e 2 incógnitas) e um 3x3. Tempo: 3 minutos.
2. Pesquise sobre as matrizes associadas a um sistema linear: Tome os
sistemas anteriores para associar aos itens abaixo: Tempo: 7 minutos.
(a) Matriz associada incompleta
Sistema 2x2
Sistema 3x3
(b) Matriz das variáveis.
Sistema 2x2
Sistema 3x3
(c) Matriz dos termos independentes
Sistema 2x2
Sistema 3x3
3.Agora pesquise com as matrizes associadas como transformar um sistema
linear numa EQUAÇÃO MATRICIAL. Pegue os exemplos do item 1 e transformeos em equações lineares. Entenda o suficiente para que sejas capaz de
transformar qualquer sistema e não somente aqueles do exemplo anterior.
Tempo: 8 minutos.
(a)Sistema 2x2 (exemplo 1)
Equação matricial equivalente
(b) Verifique que a equação matricial realmente equivale ao sistema fazendo
as operações matriciais indicadas na equação da coluna da direita:
(c) Sistema 3x3 (exemplo 1)
Equação matricial equivalente
(d) Verifique que a equação matricial realmente equivale ao sistema fazendo
as operações matriciais indicadas na equação da coluna da direita:
4. Responda: Agora que sabemos transformar um sistema linear nxn em uma
equação matricial, como poderíamos aproveitar os conhecimentos do 2º
bimestre para resolver este sistema? Tempo: 5 minutos.
3.9. Método de Cramer.
Este método é aplicável somente a um sistema de equações que tenha o
MESMO NÚMERO DE EQUAÇÕES E DE INCÓGNITAS, pois dependem da resolução de
determinantes.
5. Para resolução de um sistema 2x2 pelo método de Cramer, precisamos
definir três determinantes. Para sistema 3x3 precisamos definir 4
determinantes. Para sistemas 4x4, precisaríamos de 5 determinantes e assim
por diante. As nomenclaturas variam de acordo com o livro fonte, alguns
chamam de D, Dx, Dy, ... outros , x, y,... Para padronizar neste
documento usaremos a notação de s. Tempo: 10 – 13 minutos.
(a) Observe os exemplos do livro e para o sistema 2x2 do item 1, defina
quem é:
 =
x =
y =
(b) Como se calcula (só indique):
x =
y =
(c) Resolva esse sistema pelo método de Cramer.
(d) Observe os exemplos do livro e para o sistema 3x3 do item 1, defina
quem é(só defina, ainda não calcule):
 =
x =
y =
z=
(e) Como se calcula (só indique, ainda não calcule):
x =
y =
z=
(f) Resolva esse sistema pelo método de Cramer.
3.10. Generalização do método.
Vamos passar a um sistema de n equações e n incógnitas: (Agora como
são n incógnitas, fica difícil chama-las de x, y, z, ..., então usaremos
x1, x2, x3, ..., xi, ..., xn)
a11x 1  a12x 2    a1n x n  b1
a x  a x    a x  b
 21 1
22 2
2n n
2


a n1 x 1  a n2x 2    a nn x n  b n
O método de Cramer resolve qualquer sistema n x n, então vamos pensar sobre
este sistema abstrato para entender o método como um todo.
6. Escreva abaixo a transformação do sistema na equação matricial
correspondente: Tempo: 2 minutos.
7. Indique abaixo os determinantes indicados para o sistema genérico:
Tempo: 5 minutos.
 =
x1 =
x2 =
xn =
8. Indique o cálculo necessário para obter: Tempo: 2 minutos.
x1 =
x2 =
xi =
Exemplo: Resolva os sistemas abaixo: Tempo: minutos.
5x  9y  11
3x  5y  12
9. 
x  2y  z  5
10. x  2y  3z  3
4x  y  z  4

xn =
3x  y  3z  7
11. x  2y  4z  9
4x  5z  13

x  y  z  4
x  y  3w  0

12. 
2x  z  w  0

y  3z  w  0
3.11. Discussão de sistemas nxn pela regra de Cramer quanto ao número de soluções.
13. Pesquise se é possível classificar o sistema através dos determinantes
de Cramer, quando o sistema é: (Tempo 5 minutos)
(a) SPD:
(b) SPI:
(c) SI:
Se chegares neste ponto do arquivo e faltar mais de 25 minutos para o fim
da aula faça alguns exercícios.
3.12. Exercícios
1. Resolva os seguintes sistemas pela regra de Cramer:
3x  2y  3
(a) 
x  y  1
x  y  z  0
5x  3y  13
(b) 
(c) 2x  2y  z  3
4x  6y  2
3x  y  2z  21

2. Mostre que o sistema abaixo tem solução única:
2x  y  z  3

3x  2y  z  1
5x  y  7

x  2y  3z  6
(d) 2x  3y  z  0
x  y  2z  4

3. Mostre
3x –
4x +
2x +
que o sistema abaixo não tem única solução:
y + 7z = 10
2y – 6z = 8
y – 3z = 6
4. O sistema abaixo não é linear, mas podemos transformá-lo e resolvê-lo
pelo método de Cramer. Faça:
2
1
1
 x  y  z  1

1
1
1


 0

x
y
z

3
2
1


 4

x
y
z

5. Uma empresa deve enlatar uma mistura de amendoim, castanha de caju e
castanha-do-pará. Sabe-se que o quilo de amendoim custa R$5,00, o quilo da
castanha de caju, R$20,00 e o quilo da castanha-do-pará R$ 16,00. Cada
lata deve conter meio quilo da mistura e o custo total dos ingredientes de
cada lata deve ser de R$ 5,75. Além disso, a quantidade de castanha de
caju em cada lata deve ser igual a um terço da soma das outras duas. Qual
a quantidade, em gramas, de cada ingrediente por lata?
6. Resolva o sistema abaixo pelo método de Cramer:
x – y + 3z = 8
2x + z = 7
3x – y + z = 12
7. Determine para que valores de m o sistema abaixo possui uma única
solução, justifique sua resposta:
2x – y + 3z = 1
x + 2y – z = 4
3x + y + mz = 8
3.12. Respostas dos Exercícios 3.7
1. (a) sim (b) não
2. 20 g
3. Desafio. Coloque resposta separada para número de filhas e número de
filhos.
4. Justificativa a cargo do responsável da turma no site.
5. (a) r//s
(d) r  s
(b) rs
1 
 5
,

11 
 11
rs= 
(c) rs
rs= {(1, 2)}