O ENTENDIMENTO DE ACADÊMICOS SOBRE A DESIGUALDADE
ENVOLVENDO OS NÚMEROS NEGATIVOS
Adriano Tiburcio de Sousa
Bruno de Souza Alves
Acadêmicos do Curso de Licenciatura em Matemática da
Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul,
Unidade Universitária de Nova Andradina –UEMS/NA.
[email protected]
[email protected]
Antonio Sales
Prof. Dr. da UEMS, Unidade Universitária de Nova Andradina- MS
[email protected]
Resumo
O presente trabalho é o relatório parcial de uma pesquisa básica envolvendo acadêmicos de Licenciatura
em Matemática da Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul. A pesquisa foi desenvolvida na
disciplina de Probabilidade e Estatística, tendo entre os seus objetivos avaliar o conhecimento que os
acadêmicos têm a respeito dos números negativos, por meio de um formulário respondido por eles. A
motivação deste trabalho está em aplicar os conhecimentos adquiridos nas aulas de Estatística e
Probabilidade a respeito das contribuições da Estatística para realização de uma pesquisa quantitativa.
Embora os dados sejam apresentados em termo de porcentagens e através de tabelas e gráficos, a análise
segue a lógica qualitativa tendo em vista que as variáveis são qualitativas. Apresentação do trabalho ficou
dividida nas seguintes partes: números negativos na história, a abordagem desses números em livros
didáticos, apresentação dos dados coletados seguidos por uma análise. Os resultados indicam que um
elevado percentual opera mecanicamente quando se trata de resolver inequações envolvendo números
negativos. Observamos também que os professores estão condicionados a mostrar somente o que o livro
didático traz e assim na maioria das vezes não se trabalha com os diversos significados que o número
negativo pode admitir. Diante disso os alunos saem prejudicado pois não aprendem a diferenciar o sinal
de negativo que acompanha o número em virtude de confundi-lo com o sinal de menos usado na
subtração. Assim com essa pesquisa conseguimos também ampliar os nossos conhecimentos sobre o
planejamento das aulas de matemática, para que passemos a ser mais críticos com a organização
matemática dos conteúdos a serem trabalhados em salas de aula.
Palavras-chave: Números Negativos, Estatísticas, Livro Didático.
Uma abordagem histórica dos números negativos
O número é um conceito fundamental em Matemática que tomou forma em um
longo desenvolvimento histórico, onde a necessidade da contagem e medida de coisas,
sejam objetos, animais, terras, etc., levou ao aparecimento do conceito de número
natural. Afinal quando estamos contando ou medindo, a menor quantidade possível
deve ser o zero, uma vez que uma quantidade não pode ser menor do que o nada. Assim,
2
não é de se surpreender que a ideia de número negativo – um número menor que zero –
tenha sido um conceito difícil de ser aceito, levando para isso cerca de 1500 anos.
Todos os povos que desenvolveram formas de escrita introduziram o conceito de
número natural e desenvolveram um sistema de contagem, a partir disso o
desenvolvimento do conceito de número prosseguiu devido ao próprio desenvolvimento
da matemática. Os números negativos apareceram pela primeira vez na China em
quadros de contagem, onde os chineses usavam varas vermelhas para números positivos
e pretas para números negativos. No entanto, os chineses abordavam os números
negativos com a idéia de perda e ganho, ou seja, em situações do cotidiano, não
aceitando a ideia de um número negativo pode ser a solução de uma equação.
Como muito de nossa cultura ocidental, a nossa matemática tem suas raízes
principalmente no trabalho dos estudiosos gregos, mas esses fizeram uma matemática
orientada para resolver problemas práticos, abordando temas de óptica, geometria,
hidrodinâmica e astronomia. (EVES, 2004, p. 97; GONZALEZ etal., 1990, p. 23).Os
números inteiros eram ausentes na matemática grega, uma civilização que trabalhava
bastante a geometria. Mesmo Diofanto de Alexandria, considerados por muitos como “o
pai da álgebra”, que escreveu um livro sobre a resolução de equações onde surgem as
regras de sinais, nunca considerou nada além de números racionais positivos.
Apesar dos trabalhos de Diofanto serem um dos marcos iniciais da
Álgebra, os gregos, no entanto, “para quem a geometria era um prazer
e a álgebra um demônio necessário, rejeitaram, os números negativos.
Incapazes de ajustá-los em sua geometria, incapazes de representá-los
por figuras, os gregos consideraram os negativos não exatamente
como números” (NILO, 2012, p.14)
Os matemáticos árabes, assim como gregos, não usavam números negativos,
talvez isso se deva parcialmente ao fato de que o simbolismo algébrico como
conhecemos hoje em dia não existisse naquela época. Em seus livros, MuhammandIbn
Musa Al-Khawarizmi reconheceu que uma equação quadrática pode ter duas raízes, mas
apenas quando ambas forem positivas. Isso pode ter resultado do fato de que a
abordagem da resolução de tais equações dependia de interpretá-las em termos de áreas
e comprimentos de lados de retângulos, um contexto no qual quantidades negativas não
têm sentido (BERLINGHOFF; GOUVÊA, 2010).
Algo que os árabes (e também Diofanto) entendiam era como expandir produtos
da forma:
(x+a)(x-b).
3
Eles sabiam que nessa situação negativo vezes negativo resulta em positivo, e
negativo vezes positivo, em negativo. Mas aplicavam isso apenas a problemas
envolvendo subtrações cujas respostas fossem positivas. Assim, essas “leis dos sinais”
eram conhecidas, mas não eram entendidas como regras sobre como operar com coisas
independentes chamadas “números negativos” (BERLINGHOFF; GOUVÊA, 2010).
Segundo Berlinghoff e Gouvêa (2010) foi através de um matemático indiano,
Brahmagupta, que os números negativos aparecem explicitamente com as regras de
negativos. Ele considerou os números positivos como posses e os números negativos
como dívida, e também enunciou regras para somar, subtrair, multiplicar e dividir
números negativos. Matemáticos indianos posteriores continuaram com essa tradição,
explicando como usar e operar tanto com os números negativos quanto com os
positivos. Entretanto, eles encararam as quantidades negativas com suspeita por muito
tempo. Sabe-se que
As contribuições de Brahmagupta à Álgebra são de ordem mais alta
que suas regras de mensuração, pois aqui achamos soluções gerais de
equações quadráticas, inclusive duas raízes mesmo quando uma delas
é negativa. A aritmética sistematizadados números negativos e do
zero, na verdade encontra-se pela primeira vez em sua obra.
Equivalentes das regras sobre grandezas eram já conhecidas através
dos teoremas geométricos dos gregos sobre subtração, como por
exemplo (a-b)(c-d) = ac + bd – BC, mas os hindus as converteram em
regras numéricas sobre números negativos e positivos(NILO, 2012,p.
13).
A aceitação dos números negativos só começou a mudar no século XVII quando
nasceu um matemático escocês, Colin MacLaurin (1698-1746), que tratou em seu livro
"Tratado da Álgebra" (1748) sobre definições de quantidades negativas que representou
um grande avanço na época. MacLaurin expôs a ideia de que a quantidade negativa é
tão real quanto à positiva, porém em sentidos opostos, ou seja, admitindo tais números
somente em relação ao zero origem. Ele foi o primeiro matemático moderno que chegou
mais perto de compreender os números negativos tornando-se uma importante
referência para as futuras gerações de matemáticos (NILO,2012).
Berlinghoff e Gouvêa (2010) afirmam que outro matemático que parecia
confortável com quantidades negativas era Leonhard Euler (1707-1783). Afirma os
autores que em seu livro Elements of Algebra, publicado em 1770, Euler diz:
Como os números negativos podem ser considerados como débitos, já
que os números positivos representam posses reais, podemos dizer que
os números negativos são menos do que nada. Assim, quando um
homem não tem nada seu e deve 50 coroas, é certo que ele tem 50
4
coroas menos do que nada; pois se qualquer um lhe desse um presente
de 50 coras para pagar o seu débito, ele estaria ainda no ponto nada,
embora estivesse realmente mais rico do que antes
(BERLINGHOFF; GOUVÊA, 2010, p.99).
Euler, tentou demonstrar as regras de sinais sem usar uma linguagem mais
formal. No entanto, quando ele teve que explicar por que o produto de dois números
negativos é positivo, ele argumentou de uma maneira formal dizendo que – a vezes – b
deveria ser o oposto de a vezes – b (BERLINGHOFF; GOUVÊA, 2010).
Contudo a validade dos números negativos deve-se ao matemático alemão
Hermann Hankel (1839-1873) que em algumas de suas demonstrações presentes na sua
obra “Teoria do Sistema dos números Complexos”, publicada em 1867, acabou
desvendando todas as dúvidas que pudessem existir acerca dos números negativos, que
até então seria um problema para muitos matemáticos como abordado anteriormente
(NILO, 2012).
Nos dias de hoje, os números negativos são ensinados rotineiramente como uma
parte fundamental da aritmética do ensino básico. Estamos tão acostumados com eles
que algumas vezes é difícil entender as brigas dos estudantes quanto ao que eles são e
como manipulá-los. Talvez seja necessária certa tolerância; alguns dos melhores
matemáticos da história compartilharam dessas mesmas brigas e frustrações
(BERLINGHOFF;
GOUVÊA, 2010).
Metodologia
Este trabalho se caracteriza como uma pesquisa quantitativa de natureza
descritiva, onde os dados descritos foram coletados por meio de formulários, contendo
cinco questões com alternativas, entregues a 55 acadêmicos. Além da coleta de dados, o
formulário avaliou o que os alunos de graduação aprenderam na educação básica sobre
os números inteiros negativos.
As questões, em número de cinco, foram divididas entres os alunos da disciplina
de Probabilidade e Estatística, para análise. Cada grupo ficou encarregado de analisar
uma questão e o objetivo era exercitar a prática da pesquisa e o seu tratamento, no caso,
descritivo e relacionar com o que os livros didáticos abordam sobre os números
negativos e com o aprendizado que cada acadêmico guardou.
Após a coleta de dados, executamos a classificação dos dados, agrupando-os em
categorias. Este procedimento, além de facilitar a contagem e a tabulação, transforma
dados qualitativos em quantitativos, tornando mais clara sua representação. Em seguida
5
foi realizada a tabulação, que consiste em dispor os dados em tabelas e gráficos, para
maior facilidade de representação e verificação das relações entre eles.
As informações de identificação presentes no formulário eram as seguintes,
Curso, Série, Instituição de Ensino Superior, Idade, Sexo, Quando terminou o Ensino
Médio e em qual tipo de escola (pública ou privada) o entrevistado estudou. Seguido da
seguinte introdução “As questões abaixo se referem ao conjunto dos números inteiros
também conhecidos como conjunto Z, onde aparecem os números inteiros positivos e
negativos. Queremos saber o que você sabe ou pensa sobre esses números”.
O que dizem os livros didáticos sobre os números negativos
Para uma compreensão das prováveis respostas, que teríamos ao realizarmos a
pesquisa, procuramos analisar dois livros didáticos. A intenção era ver como esses
livros abordam os números negativos, tendo em vista que esses conhecimentos refletem
nas respostas que teríamos dos universitários. Esclarecemos que nossa intenção não foi
emitir juízo de valor sobre o livro, mas apenas nos prevenir sobre as possíveis repostas
que encontraríamos. Não foram estabelecidos critérios para a escolha dos livros uma
vez que recorremos aos livros disponíveis no laboratório de ensino de matemática da
universidade e, como eles seriam usados por vários colegas, escolhemos os ainda não
consultados. Analisamos, primeiramente, o livro didático “Para Saber Matemática”,
dos autores Luiz G. Cavalcante et al. (2006) onde tiramos as informações que seguem.
Neste livro os números negativos são tratados de forma contextualizada. No
primeiro momento há um texto ilustrado com diversas figuras que tem como título
“Conhecendo novos números”, onde é feita uma breve descrição do tema que será
estudado. Nessa descrição eles mostram situações do cotidiano em que os números
negativos aparecem, como é caso da altitude, onde ele aborda a diferença entre o nível
em que está o mar Morto, localizado entre Israel e Jordânia em relação ao nível do mar.
Outra situação exemplificada está relacionada como os termômetros e as temperaturas
que podem ser positivas ou negativas. Após, o livro aborda situações que envolvem
saldos bancários e fatos históricos.
Essas situações abordadas no livro exploram e mostram como o número
negativo é importante. Por exemplo, no saldo bancário eles citem que o número
negativo é usado para indicar se uma pessoa deve dinheiro ao banco. Na temperatura os
números negativos têm o papel de representar temperaturas abaixo de zero na escala
6
Celsius. Para falar da altitude o autor usa como exemplo um desenho de uma montanha
relacionado com o nível do mar. Nesse caso a sua altitude está acima do nível do mar
então a altitude é positiva, mas quando ela está abaixo do nível do mar é uma altitude
negativa. Na figura 01 dos anexos podemos ver a ilustração presente no livro.
Os autores concluem o capítulo sobre os números negativos trabalhando com a
reta numérica e mostrando que os números negativos e positivos juntos formam o
conjunto dos números inteiros.
Vale destacar o trabalho que os autores fazem ao construir a reta numérica.
Iniciando pelo traçado da linha, a marcação do ponto de origem, a escolha do sentido
positivo e negativo, a divisão da linha por uma mesma unidade de comprimento e a
respectiva marcação dos números na reta.
Buscamos uma segunda opinião analisando a abordagem dos números negativos,
onde recorremos a Guelli (2004), intitulado “Matemática: Uma aventura do
pensamento”.
Para abordar este conteúdo o livro começa com a história da origem dos
números negativos, relacionando seu surgimento com a necessidade dos comerciantes.
Após essa breve introdução já é definido como representamos esses números na reta
numérica, onde o autor relaciona essa representação como sendo o meio que permitiu
que os cientistas aceitassem os números negativos. Junto com a reta numérica foi
trabalhado a ideia dos números negativos e temperatura, onde o autor parte do seguinte
questionamento: “Qual a temperatura mais alta: -2 oC ou -10 oC?” (GUELLI, 2004, p.
12).
Com os conceitos já definidos o autor inicia um trabalho voltado para as
operações matemáticas, onde eles abordam as operações de adição, subtração,
multiplicação, divisão, potenciação e radiciação envolvendo números negativos. E em
seguida mostra como o modulo de um número é calculado, seja este positivo ou
negativo.
De um modo geral o autor aborda poucas situações contextualizadas, mas vale
ressaltar que o livro contém muitos exercícios que induz o aluno a pensar sobre o
assunto, associando os números negativos com os mais diversos temas como altitudes,
plano cartesiano, saldo bancário entre outras situações. O interessante é que nesse livro
o autor coloca explicitamente que os números negativos estão lado esquerdo do zero na
reta. Este fato pode ser visualizado na figura 2 nos anexos.
7
De qualquer forma em ambos os livros não há uma discussão sobre porque para
baixo (ou uma dívida, etc.) é negativo. Fica implícito que se trata de convenção
normalmente aceita. Nenhuma discussão sobre o caráter qualitativo, por exemplo, que
uma temperatura negativa indica “ausência” de calor e que uma dívida indica falta de
crédito.
Análise dos dados
Conforme explicitado na metodologia fora cinco as questões e cada grupo de
aluno da disciplina ficou incumbido de analisar uma delas. Essa metodologia se justifica
diante dos objetivos propostos, a saber, instrumentalizar os acadêmicos para a prática da
pesquisa. A este grupo coube a questão de número cinco cujo enunciado era:
Quando resolvemos uma inequação do primeiro grau do tipo 5-x>7 ao resolvêla chegamos a -x>2. Em casos como esse multiplicamos a inequação por menos 1 (-1)
e podemos afirmar que:
Item (a) a resposta encontrada não tem lógica porque um número negativo (-x)
nunca será maior do que um número positivo (2). ( ) F
( )V
( )D
Considerando que “Falsa” seria a resposta esperada percebe-se que 12 estavam
em dúvida, 20 erraram assinalando como verdadeira a afirmação tem-se que 58,20%
não souberam responder. As respostas a este item estão na tabela 1 presente nos anexos.
Os livros analisados não descem a tal nível e detalhamento em suas explicações,
portanto, supostamente, o que ocorre é que, em sua maioria, os alunos memorizam a
regra multiplicar o resultado de inequação por menos 1 (-1), quando a incógnita fica
negativa.
Quando resolvemos uma inequação do primeiro grau do tipo 5-x>7 ao resolvêla chegamos a -x>2. Em casos como esse multiplicamos a inequação por menos 1 (-1) e
podemos afirmar que:
Item (b) - não é necessário inverter desigualdade valendo a mesma regra que
para –x=2.
( )F
( )V ( )D
Neste caso a resposta esperada era a que marcassem como Falsa, no entanto
observa-se que 49,10 ou estavam em dúvida ou erram e 50,90 acertaram, havendo quase
um empate. Os resultados desse item podem ser visualizados na tabela 2 nos anexos.
8
Trata-se de uma dificuldade conceitual. Uma confusão entre equação e
inequação, necessitando uma melhor discussão sobre ao assunto em sala de aula ou uma
melhor abordagem por parte dos livros didáticos.
Quando resolvemos uma inequação do primeiro grau do tipo 5-x>7 ao resolvêla chegamos a -x>2. Em casos como esse multiplicamos a inequação por menos 1 (-1) e
podemos afirmar que :
Item (c) não é necessário inverter desigualdade porque se –x>2, então x > -2
( )F
( )V
( )D
Novamente tem-se quase um empate. A resposta esperada seria “Falsa” somando
os que erraram com que estavam em dúvida tem-se 49,10%. Os resultados desse item
podem ser visualizados na tabela 3 nos anexos.
Como visto na pergunta anterior os universitários não conseguem afirmar com
certeza a regra associada à multiplicação de uma inequação por menos 1 (-1). Ou seja,
eles não sabem quando deve ou não ser invertido o sinal da desigualdade.
Quando resolvemos uma inequação do primeiro grau do tipo 5-x>7 ao resolvêla chegamos a -x>2. Em casos como esse multiplicamos a inequação por menos 1 (-1) e
podemos afirmar que:
Item (d) devemos inverter também a desigualdade porque os opostos de –x e de
2 mudam de posição na reta.
( )F
( )V
( )D
Aqui aparece o maior percentual de acertos. Uma vez que a resposta esperada
era que marcassem a alternativa “Verdadeira” temos cerca 40% de erro, isto é, 60%
acertaram essa resposta. Isso pode ser decorrente do próprio enunciado da questão
justificar a razão da inversão da desigualdade.
Ao relacionar com a posição dos
elementos na reta permitiu a compreensão a razão da inversão. Os resultados desse item
podem ser visualizados na tabela 4 nos anexos.
Quando resolvemos uma inequação do primeiro grau do tipo 5-x>7 ao resolvêla chegamos a -x>2. Em casos como esse multiplicamos a inequação por menos 1 (-1)
e podemos afirmar que :
Item (e) devemos inverter também a desigualdade porque é uma convenção.
( )F
( )V
( )D
9
Neste item aparece o maior percentual de erros. Uma vez que a resposta
esperada era que marcassem a alternativa “Falsa” temos cerca 76,40% de erro, isto é, 42
dentre as 55 respostas. Isso pode ser decorrente pela falta de justificativa que temos
quando invertemos a desigualdade e assim fica mais fácil associar a regra com uma
convenção. Os resultados desse item podem ser visualizados na tabela 5 nos anexos.
Considerações finais
Observa-se que assim como historicamente os números negativos apresentaram
certa dificuldade em serem aceitos pela comunidade acadêmica ainda hoje nossos
estudantes também enfrentam dificuldade para entendê-los. Acrescenta-se a isso a
forma como são abordados pelos livros didáticos e, consequentemente, pelos
professores que tem a sua prática induzida por esses livros.
Os livros didáticos abordam os números negativos de maneira muito formal
apresentado o sinal que os antecede como indicadores de que estão à esquerda do zero
na reta numerada. Não trazem indicativos de que eles podem indicar um sentido,
distância ou saldo, quando tomados indevidamente ou que representem algo indesejado.
Desse modo o aluno fica condicionado a pensar em termos de esquerda e direita e o
verdadeiro sentido do sinal negativo não é percebido.
Referências
BERLINGHOFF, W. P.; GOUVÊA, F. Q. A matemática através dos tempos: um guia
fácil e prático para professores e entusiastas. 2.ed. São Paulo: Blucher, 2010.
EVES, H. Introdução à história da matemática. Campinas, SP: Editora da Unicamp,
2004.
GONZALES, J.L. et al. Numeros Enteros. Madrid: Editorial Sínteses, 1990.
(Colección Matemáticas: Cultura e Aprendizaje).
CAVALCANTE, L. G. et al. Para saber matemática. 2. ed. São Paulo: Saraiva, 2006.
NILO, P. F. A História da Matemática e os Números Negativos. Trabalho de
Conclusão de Curso (Graduação em Matemática) – Universidade Estadual da Paraíba,
Centro
de
Ciências
e
Tecnologia,
2012.
Disponível
em:
<http://dspace.bc.uepb.edu.br:8080/jspui/bitstream/123456789/956/1/PDF%20%20Priscila%20Farias%20Nilo.pdf>Acesso em: 10 de setembro de 2014.
GUELLI, O. Matemática: Uma aventura do pensamento. São Paulo: Ática, 2004.
10
Anexos
Figura 1- Cavalcante et al. (2006, p.53)
Figura 2- Guelli (2004, p.12)
Tabela 1- Respostas ao item A da quinta questão
Dúvida
Falsa
Verdadeira
Total
Fonte: Dados da pesquisa
Nº de alunos
Porcentagem
12
23
20
55
21.80%
41.80%
36.40%
100.00%
11
Tabela 2- Respostas ao item B da quinta questão
Nº de alunos
Dúvida
Falsa
Verdadeira
Total
Porcentagem
10
28
17
55
18.20%
50.90%
30.90%
100.00%
Fonte: Dados da pesquisa
Tabela 3- Respostas ao item C da quinta questão
Nº de alunos
Dúvida
Falsa
Verdadeira
Total
Porcentagem
8
28
19
55
14.50%
50.90%
34.50%
100.00%
Fonte: Dados da pesquisa
Tabela 4- Respostas ao item D da quinta questão
Nº de alunos
Dúvida
Falsa
Verdadeira
Total
Porcentagem
15
7
33
55
27.30%
12.70%
60.00%
100.00%
Fonte: Dados da pesquisa
Tabela 5- Respostas ao item E da quinta questão
Nº de alunos
Dúvida
Falsa
Verdadeira
Total
Fonte: Dados da pesquisa
22
13
20
55
Porcentagem
40.00%
23.60%
36.40%
100.00%