1. Sobre o sistema de equações lineares apresentado abaixo, analise as proposições a seguir, sendo a
um parâmetro real.
x  y  z  2

 x  ay  2z  1
2x  y  z  3

(
(
(
(
(
)
)
)
)
)
Se a  2, então o sistema admite infinitas soluções.
O sistema sempre admite solução.
Quando o sistema admite solução, temos que x  1.
Se a  2, então o sistema admite uma única solução.
Se a  1, então o sistema admite a solução (1, 2, –1).
Resposta:
F – F – V – V – V.
Calculando o determinante da matriz dos coeficientes, encontramos:
1 1 1
1 a 2  a  4  1  (2a  1  2)  a  2.
2 1 1
Para a  2 esse determinante se anula. Tomemos a matriz ampliada do sistema, com a  2 :
 1 1 1 2
 1 2 2 1.


2 1 1 3
Aplicando as operações elementares sobre as linhas dessa matriz, encontramos:
1 1 1 2 
 0 1 1 1  .


 0 0 0 2 
Desse modo, podemos concluir que para a  2 o sistema é impossível, e que para a  2 o sistema é
possível e determinado.
Para a  2, a matriz ampliada fica
 1 1 1 2
 1 a 2 1.


2 1 1 3
Aplicando as operações elementares sobre as linhas dessa matriz, obtemos:
1 1
1
2
0 1
1
1 .


 0 0 a  2 a 
a , y   2 e x  1, para todo a  2.
a2
a2
1
Se a  1, então z 
 1, y   2  2 e x  1. Logo, a terna ordenada (1, 2,  1) é solução do
1 2
1 2
sistema.
Daí, segue que z 
ax  4y  a2
2. O sistema 
, em x e y, é possível e indeterminado se, e somente se:
 x  ay  2
a) a  2
b) a  2
c) a  2
d) a  2
e) a  2
Resposta:
[D]
O sistema é possível e indeterminado se, e somente se,
a 4 a2
 
 a  2.
1 a 2
3. Para trabalhar na Feira Internacional do Livro, a editora contratou três funcionários: Ana, Beto e
Carlos, com salários x, y e z reais, respectivamente.
O salário de Ana é igual à soma dos salários de Beto e Carlos. No final da feira, a editora pagou uma
gratificação, de valor igual ao salário de Beto, a cada um dos três. Assim, Ana recebeu no total,
R$2.300,00, e a soma dos valores que os três receberam foi de R$5.400,00. Qual foi o valor da
gratificação que receberam?
Resposta:
Temos
x  y  z

 x  y  2300
 x  4y  z  5400

z  x  y

 x  y  2300 .
2x  3y  5400

Portanto, somando a terceira linha com a segunda multiplicada por 2, encontramos y  R$ 800,00, que
é o resultado procurado.
4. Um fabricante combina cereais, frutas desidratadas e castanhas para produzir três tipos de granola. As
quantidades, em gramas, de cada ingrediente utilizado na preparação de 100 g de cada tipo de granola
são dadas na tabela a seguir.
Tipo de
granola/ingredientes
Light
Simples
Especial
Cereais
Frutas
Castanhas
80
60
60
10
40
20
10
0
20
O fabricante dispõe de um estoque de 18 kg de cereais, 6 kg de frutas desidratadas e 2 kg de castanhas.
Determine quanto de cada tipo de granola ele deve produzir para utilizar exatamente o estoque disponível.
Resposta:
Considerando:
x a quantidade de porções de 100g de granola light
y a quantidade de porções de 100g de granola simples e
z a quantidade de porções de 100g de granola especial
Temos o seguinte sistema:
80x  60y  60z  18000

 10x  40y  20z  6000
 10x
 20z  2000

Resolvendo o sistema temos x = 120, y = 100 e z = 40, logo 12 kg de granola light, 10 kg de granola
simples e 4 kg de especial.
5. Um Pet Shop tem cães, gatos e passarinhos à venda, totalizando 38 cabeças e 112 patas. Sabe-se
que nenhum destes animais apresenta algum tipo de deficiência física e que a metade do número de
passarinhos mais o número de cães supera em duas unidades o número de gatos. Se o preço de venda
de cada cão, gato e passarinho é, respectivamente, 500, 90 e 55 reais, então, ao vender todos estes
animais, o Pet Shop terá arrecadado:
a) 4770 reais
b) 3950 reais
c) 6515 reais
d) 5250 reais
e) 5730 reais
Resposta:
[A]
Sejam c, g e p, respectivamente, o número de cães, o número de gatos e o número de passarinhos.
Se a metade do número de passarinhos mais o número de cães supera em duas unidades o número de
gatos, então
p
 c  g  2  p  2c  2g  4.
2
Por outro lado, como existem 112 patas, temos que
4(c  g)  2p  112  p  2c  56  2g
Assim,
2g  4  56  2g  4g  52  g  13.
Além disso, como o total de cabeças é 38, vem
c  g  p  38  p  38  13  c  25  c.
Portanto,
p  2c  2g  4  25  c  2c  2  13  4  c  5
e, dessa forma,
p  25  5  20.
Por conseguinte, ao vender todos os animais o Pet Shop terá arrecadado
5  500  13  90  20  55  R$ 4.770,00.
6. Com a proximidade do final do ano, uma papelaria quis antecipar as promoções de material didático
para o ano letivo de 2012. Foram colocados em promoção caneta, caderno e lápis. As três ofertas eram:
1ª) 5 canetas, 4 cadernos e 10 lápis por R$ 62,00;
2ª) 3 canetas, 5 cadernos e 3 lápis por R$ 66,00;
3ª) 2 canetas, 3 cadernos e 7 lápis por R$ 44,00.
Para comparar os preços unitários dessa papelaria com outras do comércio, o Sr. Ricardo calculou os
preços de uma caneta, um caderno e um lápis. A soma desses preços é:
a) R$ 20,00
b) R$ 18,00
c) R$ 16,00
d) R$ 14,00
e) R$ 12,00
Resposta:
[D]
x é o preço da caneta
y é o preço do caderno
z é o preço do lápis
De acordo com os dados do problema, temos:
 5x  4y  10z  62,00 (I)

 3x  5y  3z  66,00 (II)
2x  3y  7z  44,00 (III)

Fazendo (I) – (III) + (II), temos:
6x  6y  6z  84,00  x  y  z  14.
7. Uma família fez uma pesquisa de mercado, nas lojas de eletrodomésticos, à procura de três produtos
que desejava adquirir: uma TV, um freezer e uma churrasqueira. Em três das lojas pesquisadas, os preços
de cada um dos produtos eram coincidentes entre si, mas nenhuma das lojas tinha os três produtos
simultaneamente para a venda. A loja A vendia a churrasqueira e o freezer por R$ 1.288,00. A loja B
vendia a TV e o freezer por R$ 3.698,00 e a loja C vendia a churrasqueira e a TV por R$ 2.588,00.
A família acabou comprando a TV, o freezer e a churrasqueira nestas três lojas. O valor total pago, em
reais, pelos três produtos foi de
a) 3.767,00.
b) 3.777,00.
c) 3.787,00.
d) 3.797,00.
e) 3.807,00.
Resposta:
[C]
Sendo, x o preço da TV, y o preço do freezer e z o preço da churrasqueira, podemos escrever o sistema:
 y  z  1288

 x  y  3698
 x  z  2588

Somando as equações, temos: 2.(x + y + z) = 7574. Logo, x + y + z = 3.787.
kx  4ky  0
,k 
3x  ky  8
8. Relativas ao sistema 
, considere as afirmações I, II e III abaixo.
I. Apresenta solução única para, exatamente, dois valores distintos de k.
II. Apresenta mais de 1 solução para um único valor de k.
III. É impossível para um único valor de k.
Dessa forma,
a) somente I está correta.
b) somente II e III estão corretas.
c) somente I e III estão corretas.
d) somente III está correta.
e) I, II e III estão corretas.
Resposta:
[B]
k 4k
 0  k 2  12k  0  k  0 e k  12 (o sistema possui solução única)
3 k
0  0  0
8
 x  e y pode ser qualquer real, logo o sistema possui infinitas soluções.
Se k = 0 temos 
3
 3x  8
12x  48y  0(: 4)
3x  12y  0

(sistema impossível)
Se k = 12 temos 
 3x  12y  8
3x  12y  8
I) Falsa. Possui solução única para infinitos valores de k.
II) Verdadeira, se k = 0 o sistema apresenta infinitas soluções.
III) Verdadeira, é impossível se k = 12
9. Se x, y e z constitui a solução do sistema linear
 x  y z 1

 x  2y  3z  2
 x  4y  5z  4

então o produto x. y. z é igual a
a) – 4.
b) – 8.
c) – 2.
d) – 6.
Resposta:
[A]
Escalonando os sistemas temos:
x = 2, y = 1 e z = -2
Logo, x.y.z = -4
10. Sobre o sistema linear, nas incógnitas x, y e z,
 x  2y  3z  1

S  2x  y  z  m
3x  ky  2z  4

em que k e m são constantes reais, pode-se afirmar que:
a) não admite solução se k = 4.
b) admite infinitas soluções se k = m = 3.
c) admite infinitas soluções se k = 3 e m = 5.
d) admite solução única se k = 3 e m é qualquer real.
e) admite solução única se k ≠ 5 e m = 3.
Resposta:
[B]