Projeto TEIA DO SABER 2006
UNESP – Campus de Guaratinguetá
Secretaria de Estado da Educação, SP.
Departamento de Matemática
Diretoria de Ensino da Região de Guaratinguetá
Coordenador Prof. Dr. José Ricardo Zeni
Metodologias de Ensino de Disciplinas da Área de Ciências da Natureza, Matemática e
suas Tecnologias do Ensino Médio: Física, Química, Biologia e Matemática (Eixo Temático I)
Prof a Dr a Ana Paula Marins Chiaradia
MATRIZ INVERSA
Menores: O menor de um elemento a ij de uma matriz A de ordem n é definido como sendo o
determinante da submatriz M ij gerada pela retirada de i-ésima linha e da j-ésima coluna desta
matriz.
Notação: |M ij |.
Exemplo: Seja A uma matriz de ordem 3: A
4
1 2
3
0
5
6
1
7
. O menor do elemento a 21 é o
determinante da submatriz M 21 gerada pela retirada da linha 2 e coluna 1, isto é,
|M 21 |
1 2
1
7
9.
Uma matriz de ordem n possui nxn menores, cada um associado a um elemento desta matriz.
Cofatores: O cofator de um elemento a ij de uma matriz A de ordem n é definido como sendo o
"menor com sinal" de a ij e é dado pela seguinte relação:
Cof a ij
1
i j
Exemplo: Em relação ao exemplo anterior: Cof a 21
|M ij |
1
2 1
|M 21 |
1
9
9.
Matriz de Cofatores: é definida como sendo a matriz cujos elementos são os cofatores dos
elementos da matriz original, ou seja:
a 11 a 12 . . . a 1n
Se A
a 21 a 22 . . . a 2n
...
a n1 a n2 . . . a nn
1
, então a matriz dos cofatores é dada por:
... ... ...
nxn
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Cof A
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cof a 11
cof a 12
. . . cof a 1n
cof a 21
cof a 22
. . . cof a 2n
...
...
cof a n1
cof a n2
...
...
. . . cof a nn
nxn
Matriz Adjunta: é definida como sendo a matriz de cofatores transposta, ou seja,
Adj A
Cof A T .
Exemplo: A matriz dos cofatores de A
Exemplo: E a matriz adjunta de A
4
1 2
3
0
5
6
1
7
4
1 2
3
0
5
6
1
7
. é
é:
Matriz Inversa: Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se det A
matriz B, tal que a seguinte relação seja satisfeita :
A B B A I (I é a matriz identidade)
A matriz B é chamada de matriz inversa de A e representada por B
Logo, temos:
A A
1
A
1
A
0, então existe uma
A 1.
I
Observe que a operação de multiplicação com a matriz inversa é comutativa.
Se det A
0, dizemos que a matriz A é não-inversível ou singular.
2
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Cálculo da Matriz Inversa
A matriz inversa é calculada pela seguinte relação:
1 AdjA.
A 1
det A
Exemplo: Calculando a matriz inversa de A
2
3
5
6
7
5
1 10 11
Calculando-se o determinante da matriz A:
2
3
5
6
7
5
136
1 10 11
..... ..... .....
A matriz de cofatores é calculada como sendo: Cof A
..... ..... .....
.
..... ..... .....
A matriz adjunta é ,a matriz dos cofatores A transposta:
..... ..... .....
Adj A
Cof A
T
..... ..... .....
..... ..... .....
Com isso temos:
..... ..... .....
A
1
1
det A
AdjA
1
136
..... ..... .....
..... ..... .....
27
136
61
136
53
136
1
8
1
8
1
8
5
34
5
34
1
34
.
Obs: Uma matriz triangular é inversível, se e somente se seus elementos na diagonal principal
são todos não-nulos.
3
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Exercício 1: Calcule a matriz inversa de A, se possível:
a) A
3
1
1
1
6 3
b)
2 1
Propriedades
1) A inversa de uma matriz triangular inferior é uma matriz triangular inferior.
2) A inversa de uma matriz triangular superior é uma matriz triangular superior.
3) Se A B é inversível, então A B 1 B 1 A 1 .
4) A é inversível, então A 1 1 A.
5) A n
A 1 n A 1 A 1
A 1.
n fatores
n 1
n
5) A é inversível e A
A 1 n para n 0, 1, 2, . . .
1
A 1.
6) Para qualquer k constante real, a matriz k. A é inversível e k A 1
k
7) Se A é uma matriz inversível, então A T também é inversível e A T 1
A 1 T.
1
8) Se A é uma matriz simétrica inversível, então A é simétrica.
9) Se A é uma matriz inversível, então A A T e A T A são também inversível.
1
10) det A 1
, se detA 0.
det A
Exercício 2: Seja A
a) A 3
b) A
3
4 7
. Calcule:
1 2
c) A 2
2 A
I, onde I é a matriz identidade
Exercício de Fixação
1. Encontre a matriz inversa de cada matriz dada, se possível:
3
4
5
6
a) A
b)
c)
2
2
3
5
2
3
2
2 2
2
cos
sen
sen
Resp:é singular
1
0
0 cos
0 sen
4
2
2
cos
Resp:
cos
2. Mostre que a matriz
1
5
2
5
Resp:
sen
1
5
1
10
2
2
sen
cos
0
sen
cos
é inversível para todos os valores de
. Em
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1
seguida, encontre a sua inversa. Resp:
2 1
3. Dada A
1 1
5 3
Resp: a)
4. Dadas as matrizes A
a) A B
Resp: a)
5
1
b) A B
1
2
3
2
3
8
0
0 cos
sen
0
cos
sen
. Calcule:a) A 2
b)
3 2
0
2
3
3
5
2
3
1
1
T
b) A
c) A 2
2 0
eB
16 6
3
2
3 A
I
c) matriz nula
c) A A
b)
.
1
4 1
1
I
. Calcule:
d) 2 B
c) 0
1
d)
1
4
0
1
1
2
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Exercício de aplicação
Uma maneira de codificar uma mensagem é através de multiplicação por matrizes. Vamos
associar as letras do alfabeto aos números, segundo a correspondência abaixo:
A B C D E F G H I
1 2 3
4
5 6 7
8
J
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Suponhamos que a nossa mensagem seja "PUXA VIDA". Podemos formar uma matriz 3x3
assim:
P U X
A
15 20 23
, que usando a correspondência numérica fica .
V
I D A
1
0
21
9
4
1
M
1
Agora seja C uma matriz qualquer 3x3 inversível, por exemplo: C
M C
nossa
matriz
0 1
da
mensagem
15 20 23
1
1
0
21
1 3 1
1
21 22
9
4
1
0
5
13 14
1 1
por
0 1
1 3 1
0
Multiplicamos
C,
.
1 1
obtendo
5 83 58
Transmitimos esta nova matriz (na prática, envia-se a cadeia de números -5 83 58 1 21 22 5 13
14). Quem recebe a mensagem decodifica-a através da multiplicação pela inversa MC . C 1 M)
e posterior transcrição dos números para letras. C é chamada a matriz chave para o código.
a) Você recebeu a mensagem: -12 48 23 -2 42 26 1 42 29. Utilizando a mesma chave, traduza
a mensagem.
b) Aconteceu que o inimigo descobriu sua chave. O seu comandante manda você substituir a
matriz chave por C
1 1
1
1 1
0
0 0
2
. Você transmite a mensagem "CRETINO" a ele (codificada,
naturalmente!). Por que não será possível a ele decodificar sua mensagem?
c) Escolha uma outra matriz-chave que dê para codificar palavras até 9 letras. Codifique e
descodifique à vontade!
6
Z