Projeto TEIA DO SABER 2006
UNESP – Campus de Guaratinguetá
Secretaria de Estado da Educação, SP.
Departamento de Matemática
Diretoria de Ensino da Região de Guaratinguetá
Coordenador Prof. Dr. José Ricardo Zeni
Metodologias de Ensino de Disciplinas da Área de Ciências da Natureza, Matemática e
suas Tecnologias do Ensino Médio: Matemática I (Curso Inicial)
Prof a Dr a Ana Paula Marins Chiaradia
MATRIZ INVERSA
Matriz Inversa: Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se detA ≠ 0, então existe uma
matriz B, tal que a seguinte relação seja satisfeita :
A ⋅ B = B ⋅ A = I (I é a matriz identidade)
A matriz B é chamada de matriz inversa de A e representada por B = A −1 .
Logo, temos:
A ⋅ A −1 = A −1 ⋅ A = I
Observe que a operação de multiplicação com a matriz inversa é comutativa.
Se detA = 0, dizemos que a matriz A é não-inversível ou singular.
Cálculo da Matriz Inversa
A matriz inversa é calculada pela seguinte relação:
A −1 = 1 AdjA.
det A
Exemplo: Calculando a matriz inversa de A =
2
3
5
6
7
5
1 10 11
Calculando-se o determinante da matriz A:
2
3
5
6
7
5
= 136
1 10 11
..... ..... .....
A matriz de cofatores é calculada como sendo: CofA =
..... ..... .....
..... ..... .....
A matriz adjunta é ,a matriz dos cofatores A transposta:
.
TEIA DO SABER
..... ..... .....
AdjA = CofA =
T
..... ..... .....
..... ..... .....
Com isso temos:
..... ..... .....
A −1 =
1
det A
AdjA =
1
136
..... ..... .....
..... ..... .....
=
27
136
61
− 136
53
136
1
8
1
8
− 18
− 345
5
34
− 341
.
Obs: Uma matriz triangular é inversível, se e somente se seus elementos na diagonal principal
são todos não-nulos.
Exercício 1: Calcule a matriz inversa de A, se possível:
a) A =
3 −1
1
b)
1
6 3
2 1
Propriedades
1) A inversa de uma matriz triangular inferior é uma matriz triangular inferior.
2) A inversa de uma matriz triangular superior é uma matriz triangular superior.
3) Se A ⋅ B é inversível, então A ⋅ B −1 = B −1 ⋅ A −1 .
4) A é inversível, então A −1  −1 = A.
n
5) A −n = A −1  =A −1 ⋅ A −1 ⋅… ⋅A −1 .
n fatores
n −1
5) A é inversível e A  = A −1  n para n = 0, 1, 2, . . .
6) Para qualquer k constante real, a matriz k. A é inversível e k ⋅ A −1 = 1k A −1 .
7) Se A é uma matriz inversível, então A T também é inversível e A T  −1 = A −1  T .
8) Se A é uma matriz simétrica inversível, então A −1 é simétrica.
9) Se A é uma matriz inversível, então A ⋅ A T e A T ⋅ A são também inversível.
10) detA −1  = det1 A , se detA ≠ 0.
n
2
TEIA DO SABER
4 7
Exercício 2: Seja A =
b) A −3
a) A 3
. Calcule:
1 2
c) A 2 − 2 ⋅ A + I, onde I é a matriz identidade
Exercício de Fixação
1. Encontre a matriz inversa de cada matriz dada, se possível:
3
4
5
6
a) A =
b)
2
2
3
5
2
3
− 2
2 2
c)
Resp:é singular
1
5
− 25
Resp:
2
cos θ −senθ
1
2
cos θ
Resp:
cos θ
senθ
2
2
senθ
−senθ cos θ
0
0
é inversível para todos os valores de θ. Em
0 cos θ −senθ
2. Mostre que a matriz
1
5
1
10
2
cos θ
0 senθ
1
0
0 cos θ
seguida, encontre a sua inversa. Resp:
0
.
senθ
0 −senθ cos θ
2 1
3. Dada A =
Resp: a)
1 1
5 3
b)
3 2
4. Dadas as matrizes A =
a) A ⋅ B −1
Resp: a)
3
3
2
−3 −8
2
−3
−3
5
−2 −3
1
eB =
1
b)
−16 6
−3
c) A 2 − 3 ⋅ A + I
c) matriz nula
c) A ⋅ A −1 − I
b) A ⋅ B T
1
2
b) A −2
. Calcule:a) A 2
1
2 0
4 1
. Calcule:
d) 2 ⋅ B −1
c) 0
d)
1
4
0
−1
1
2