Universidade Federal Rural de Pernambuco
Departamento de Estatı́stica e Informática
Curso de Administraç~
ao -- Estatı́stica Básica
Prof.
Cláudio T. Cristino
Segunda Lista de Exercı́cios – 7 de abril de 2015
1. Uma moeda é viciada de modo que a probabilidade de sair “cara” é 4 vezes maior que
a de sair “coroa”. Para dois lançamentos independentes dessa moeda, determinar:
(a) o espaço amostral;
(b) a probabilidade de sair somente uma cara;
(c) a probabilidade de sair pelo menos uma cara;
(d) a probabilidade de dois resultados iguais.
2. Verifique se são válidas as afirmações:
(a) Se P (A) = 1/3 e P (B|A) = 3/5, então A e B não podem ser disjuntos.
(b) Se P (A) = 1/2, P (B|A) = 1 e P (A|B) = 1/2, então A não pode estar contido
em B.
3. A preferência de homens e mulheres por cada gênero de filme alugado em uma
locadora de vı́deos, estão apresentadas na Tabela (2). Sorteando-se ao acaso, uma
Tabela 1:
Sexo\Filme
Homens
Mulheres
Comédia
136
102
Romance
92
195
Policial
248
62
dessas locações de vı́deo, pergunta-se a probabilidade de:
(a) Uma mulher ter alugado um filme policial.
(b) O filme alugado ser uma comédia.
(c) Um homem ter alugado ou o filme ser um romance.
(d) O filme ser policial dado que foi alugado por um homem.
(e) O filme ser uma comédia ou um policial, sabendo-se que foi alugado por uma
mulher.
4. Dois armários guardam as bolas de vôlei e basquete. O armário 1 tem 3 bolas de
vôlei e 1 de basquete, enquanto o armário 2 tem 3 bolas de vôlei e 2 de basquete.
Escolhendo-se ao acaso um armário e, em seguida, uma de suas bolas, calcule a
probabilidade dela ser:
1
(a) De vôlei, sabendo-se que o armário 1 foi escolhido.
(b) De basquete, sabendo-se que o armário 2 foi escolhido.
(c) De basquete.
(d) De ser do armário 2, sabendo-se que ela é de basquete.
5. Um sistema é feito de n partes. A cada instante de tempo t cada parte pode estar
funcionando (1) ou pode não estar funcionando (0). Podemos considerar o espaço
amostral base Ω como sendo todos os 2n subconjuntos de zeros e uns atribuı́dos a
para cada parte do sistema. O espaço amostral Ω é particionado em dois conjuntos
Ω = F ∪ W (com F ∩ W = ∅); se ω ∈ F ocorre no instante t, o sistema estará em
funcionamento (não falhou).
Suponha que cada parte tem probabilidade p de estar funcionando no instante t,
e que parte falham ou operam independentemente uma das outras. P (W ) é uma
função de p, digamos R(p) e é denominada confiabilidade do sistema.
(a) Um sistema em série falha se, e somente se, ao menos uma de suas partes
falharem. Esta situação pode ser representada pelo diagrama na Figura 1.
I
1
2
n
...
O
Figura 1:
e o sistema opera se, e somente se, existe um caminho (uma sequência conectada de partes em funcionamento) de I (input) para O (output). Encontre
R(p) para esse sistema.
(b) Um sistema em paralelo falha se todas suas partes falham. A situação pode
ser representada pelo diagrama na Figura 2.
1
2
I
O
...
...
3
n
Figura 2:
e o sistema opera se, e somente se, existe um caminho de I para O. Encontre
R(p) para esse sistema.
2
6. Você entrega a seu amigo uma carta destinada à sua namorada, para ser colocada no
correio. Entretanto, ele pode se esquecer com probabilidade 0,1. Se não esquecer, a
probabilidade de que o correio extravie a carta é de 0,05. Finalmente, se foi enviada
pelo correio a probabilidade de que o pai de sua namorada intercepte a carta e a
rasgue é de 0,25.
(a) Sua namorada não recebeu a carta, qual a probabilidade de seu amigo ter
esquecido de colocá-la no correio?
(b) Avalie as possibilidades desse namoro continuar, se a comunicação depender
das cartas enviadas e recebidas.
7. Imagine uma população de N + 1 urnas. A urna de número k possui k bolas brancas
e N − k bolas azuis, k = 0, 1, . . . , N. Uma urna é escolhida ao acaso e n bolas são
retiradas (sem reposição) e anotadas suas cores. Defina:
Evento A:
Evento B:
todas as n bolas são azuis,
A bola retirada no n-ésimo sorteio é uma bola azul.
Encontre:
(a) P (A|urna k é escolhida), k = 0, 1, . . . , N.
(b) P (A).
(c) P (A ∪ B).
(d) P (B|A).
(e) Repita o exercı́cio considerando o sorteio com reposição.
8. Um candidato a motorista treina na auto-escola e acredita que passa no exame com
probabilidade de 0,7. Se não passar, fará mais treinamento, o que ele estima que
lhe aumentará em 10% a probabilidade de passar, isto é, no segundo exame passará
com 0,77 de probabilidade.
(a) Supondo que ele continue acreditando nesse aumento de probabilidade, em que
exame será aprovado com certeza.
(b) Qual é a probabilidade de serem necessários mas de 2 exames?
Probabilidade Condicional e Independência
1. Relembre o conceito de probabilidade condicional: se A e B são eventos no mesmo
espaço de probabilidade, então a probabilidade de que o evento A ocorra, sabendo
que o evento B ocorreu é:
P (A|B) =
P (A ∩ B)
, se P (B) 6= 0.
P (B)
3
Considere o seguinte experimento: o lançamento de um dado. Seja A o evento “o
resultado é um número par” e seja B o evento “o número é menor que 5”. Neste
caso, A = {2, 4, 6} e B = {1, 2, 3, 4}. Portanto,
P (A|B) =
=
P (A ∩ B)
P (B)
P ({2, 4, 6} ∩ {1, 2, 3, 4})
P ({1, 2, 3, 4})
P ({2, 4})
=
=
P ({1, 2, 3, 4})
2
6
4
6
1
= .
2
2. Relembre: dois eventos A e B num mesmo espaço de probabilidade (Ω, A, P ) são
ditos independentes se, e somente se, P (A|B) = P (A) e P (B|A) = P (B). Equivalentemente, serão independentes se, e somente se, P (A ∩ B) = P (A) · P (B).
3. O jogo de dados é jogado como se segue: um jogador joga um par de dados (honestos), se a soma é 7 ou 11, ele vence. Se a soma é 2, 3, ou 12 ele perde. Com qualquer
outra soma, ele continua jogando até que os dados repitam os mesmos números da
jogada anterior (então ele ganha), ou que a soma seja 7 (neste caso ele perde). Qual
é a probabilidade de se ganhar neste jogo de dados?
4. Considere dois eventos A e B, mutuamente exclusivos (a ocorrência de um, implica
na não ocorrência do outro), com P (A) = 0, 3 e P (B) = 0, 5. Determine:
(a) P (A ∩ B).
(b) P (A ∪ B).
(c) P (A|B).
(d) P (Ac ).
(e) P (A ∪ B)c .
5. Uma escola de ensino médio do interior de Pernambuco tem 40% de estudantes
do sexo masculino. Entre estes, 20% nunca viram o mar, ao passo que, entre as
meninas, essa percentagem é de 50%. Qual é a probabilidade de que um aluno
selecionado ao acaso seja:
(a) Do sexo masculino e nunca tenha visto o mar?
(b) Do sexo feminino ou nunca tenha visto o mar?
Teorema de Bayes
1. Relembre o Teorema de Bayes: Seja C1 , . . . , Ck uma partição de um espaço amostral
Ω, ou seja,
(i) Ci ∩ Cj = ∅, se i 6= j (dois a dois são disjuntos).
4
(ii) Ω = C1 ∪ C2 ∪ · · · ∪ Ck .
Suponha, ainda, que P (Ci ) é conhecido para todo i. Seja A um evento em Ω tal que
P (A|Ci ) é conhecido para i = 1, . . . , k. Então,
P (Ci ) · P (A|Ci )
P (Ci ) · P (A|Ci )
=
P (Ci |A) = Pk
P (C1 ) · P (A|C1) + · · · + P (Ck ) · P (A|Ck )
j=1 P (Cj ) · P (A|Cj )
(Veja na Figura abaixo, uma ilustração do teorema.)
Figura 3:
O Teorema de Bayes trata de um resultado inusitado: você prever resultados que
acontecem a priori (eventos Ci ) a partir do conhecimento de resultados que ocorrem
a posteriori (evento A).
2. Em uma certa fazenda há animais sãos e doentes. Existem três currais onde tais
animais estão confinados. O curral 1, tem 5 animais doentes, o curral 2 tem 2
doentes e 4 sãos e o curral 3 tem 3 doentes e 4 sãos. Um curral é selecionado ao
acaso e um animal é escolhido (também ao acaso).
(a) Qual é a probabilidade de que o animal selecionado esteja doente?
(b) Sabendo que o animal está doente, qual é a probabilidade de que ele seja do
curral 1? curral 2? curral 3?
3. Em uma fábrica existem 4 máquinas que produzem o mesmo item. As máquinas 1 e
2 produzem cada uma 20% da produção, enquanto que as máquinas 3 e 4 produzem
cada uma 30% dos produtos, pois são maiores. Sabe-se que 6% dos ı́tens produzidos
pela máquina 1 são defeituosos, enquanto que a máquina 2 produz 5% de ı́tens com
defeito. As máquinas 3 e 4 produzem ambas 8% de ı́tens com defeito. Um item
desta fábrica é escolhido ao acaso.
(a) Qual é a probabilidade de que o item escolhido seja defeituoso?
(b) Dado que o item selecionado é defeituoso, qual é a probabilidade que ele tenha
sido produzido pela máquina 2?
5
Variáveis aleatórias discretas
1. Verifique que


0, 00,





0, 25,





0, 36,
F (x) = 0, 48,



0, 70,





0, 92,



1, 00,
se
se
se
se
se
se
se
x < −2, 0
− 2, 0 ≤ x < 2, 6
2, 6 ≤ x < 3, 8
3, 8 ≤ x < 4, 1
4, 1 ≤ x < 8, 3
8, 3 ≤ x < 11
x > 11
é uma função de distribuição de alguma variável aleatória X e encontre a função
de probabilidade de X. Compute P (2 < X ≤ 4), P (X ≤ 4, 6), P (X ≤ 5, 2),
P (X ≥ 3, 8), P (X > 6); P (X > 11).
c
, para x ∈ {−2, 0, 1, 5} e 0 para todos os outros valores de x.
1 + x2
Qual(is) valor(es) de c tornam a função uma função de probabilidade? Qual é a
função de distribuição correspondente?
2. Seja p(x) =
3. Um dado honesto é jogado independentemente três vezes. Defina
(
1, se a i-ésima jogada é um número ı́mpar;
Xi =
0, no outro caso.
Encontre a função de probabilidade das variáveis X1 , X2 e X3 . Além disso, defina
Y = X1 + X2 + X3 . Encontre a função de probabilidade e a função de distribuição
de Y .
4. Sendo X uma variável seguindo o modelo Uniforme Discreto, com valores no conjunto {0, 1, 2, . . . , 10}, calcule:
(a) P (X ≥ 7).
(b) P (3 < X ≤ 7).
(c) P (X < 2 ou X > 8).
(d) P (X ≥ 5 ou X > 8).
(e) P (X > 3 e X < 6).
(f) P (X ≤ 9|X ≥ 6).
5. Em uma certa cidade, 60% das pessoas possuem armas. Das pessoas que possuem
armas, 30% são a favor da nova lei do desarmamento. Se cinco pessoas desta cidade
são escolhidas ao acaso, denote por X o número de pessoas na amostra que têm
armas e são a favor da nova lei. Encontre a função de probabilidade e de distribuição
de X.
6
6. Em um determinado carregamento com 10 bois para um frigorı́fico, a probabilidade
de que o número de animais contaminados por um certo parasito é dada pela Tabela
2:
X=x
p(x) = P (X = x)
0
1
2
3
4
5
6
7
0,33 0,22 0,18 0,07 0,05 0,04 0,03 α
8
α
9
α
10
α
Tabela 2: Nesta tabela, α é uma incógnita.
(a) Determine o valor de α de modo que a tabela representa uma função de probabilidade.
(b) Qual é a probabilidade de que pelo menos 1 animal esteja contaminado?
(c) Qual é a probabilidade de que no máximo 3 animais estejam contaminados?
(d) Determine a função de distribuição acumulada desta variável.
(e) Sabendo que há pelo menos 2 animais contaminados, qual é a probabilidade
de que no máximo 5 estejam contaminados?
7. Sendo X uma variável aleatória seguindo o modelo Binomial com parâmetros n = 15
e p = 0, 4, calcule:
(a) P (X ≥ 14).
(b) P (8 < X ≤ 10).
(c) P (X < 2 ou X ≥ 11).
(d) P (X ≥ 11 ou X > 13).
(e) P (X > 3 e X < 6).
(f) P (X ≤ 13|X ≥ 11).
8. Uma certa doença em caprinos pode ser curada através de procedimento cirúrgico
em 80% dos casos. Dentre os que têm essa doença, foram sorteados 15 animais
que serão submetidos à cirurgia. Fazendo alguma suposição adicional que julgar
necessária, responda qual é a probabilidade de:
(a) Todos serem curados?
(b) Pelo menos dois não serem curados?
(c) Ao menos 10 ficarem livres da doença?
9. A duração (em centenas de horas) de uma lâmpada especial segue o modelo Geométrico
com parâmetro p = 0, 7. Determine a probabilidade da lâmpada:
(a) Durar menos de 500 horas.
(b) Durar mais de 200 e menos de 400 horas.
(c) Sabendo-se que vai durar mais de 300 horas, durar mais de 800 horas.
7
(d) O item anterior é uma aplicação de um resultado geral válido para o modelo
Geométrico. Assim, mostre que para X ∼ G(p) e quaisquer números inteiros
positivos m e n, vale P (X > m + n|X > m) = P (X ≤ n).
10. Suponha que uma variável aleatória X tenha distribuição Poisson com média 0,4.
Determine as seguintes probabilidades:
(a) P (X = 0).
(b) P (X ≤ 2).
(c) P (X = 4).
(d) P (X ≥ 3|X ≤ 5).
11. A variável aleatória X tem a seguinte função de probabilidade: Determine:
xi
P (X = xi )
2
3
5
0,2 0,4 0,3
8
0,1
(a) P (X ≤ 3); P (X > 2, 5); P (2, 7 < X < 5, 1).
(b) E(X) e Var(X).
12. A probabilidade com que sua chamada para uma linha de serviço seja respondida em
menos de 30 segundos é de 0,75. Suponha que suas chamadas sejam independentes.
(a) Se você chamar 10 vezes, qual será a probabilidade de que exatamente 9 de
suas chamadas sejam respondidas dentro de 30 segundos?
(b) Se você chamar 20 vezes, qual será a probabilidade de que no mı́nimo 16 de
suas chamadas sejam respondidas em menos de 30 segundos?
(c) Se você chamar 20 vezes, qual será o número médio de chamadas que serão
respondidas em menos de 30 segundos?
13. Devido a que nem todos os passageiros de aviões aparecem na hora do embarque,
uma companhia aérea vende 125 bilhetes para um vôo que suporta somente 120
passageiros (este é o famoso overbook. A probabilidade de que um passageiro não
apareça é de 0,10 e os passageiros se comportam independentemente.
(a) Qual é a probabilidade de que cada passageiro que apareça possa embarcar?
(b) Qual é a probabilidade de que o vôo decole com assentos vazios?
14. Este exercı́cio mostra que a baixa qualidade pode causar impacto nos planos e custos.
Um processo de fabricação tem 100 pedidos de consumidores para preencher. Cada
pedido requer uma peça componente que é comprada de um fornecedor. No entanto,
tipicamente, 2% dos componentes são identificados como defeituosos, podendo os
componentes ser considerados independentes.
(a) Se o fabricante estocar 100 componentes, qual será a probabilidade de que as
100 ordens possam ser preenchidas se refazer o pedido de componentes?
8
(b) Se o fabricante estocar 102 componentes, qual será a probabilidade de que as
100 ordens possam ser preenchidas sem refazer o perdido de componentes?
(c) Se o fabricante estocar 105 componentes, qual será a probabilidade de que as
100 ordens possam ser preenchidas sem refazer o perdido de componentes?
15. Um teste de múltipla escolha contém 25 questões, cada qual com quatro respostas.
Suponha que um estudante tente adivinhar (“chutar”) em cada questão.
(a) Qual é a probabilidade de que o estudante responda mais de 20 questões corretamente?
(b) Qual é a probabilidade de que o estudante responda menos de 5 questões corretamente?
(c) Qual é média de acertos de estudantes “chutadores” nesta prova.
Variáveis aleatórias contı́nuas
1. Seja X ∼ U[0, 4], ou seja, X segue o modelo Uniforme Contı́nuo no intervalo [0, 4].
Determine:
(a) P (0 < X < 2).
(b) P (X < 2).
(c) P (1 < X < 4).
(d) P (X > 3).
(e) P (X < 2|X > 1).
2. Usando a tabela da distribuição normal padrão, determine as seguintes probabilidades para X ∼ N(4, 16), Y ∼ N(−2, 9), W ∼ N(µ, σ 2 ):
(a) P (X ≤ 3, 8).
(b) P (3, 1 ≤ X < 4, 2).
(c) P (Y ≥ −1, 5|Y ≤ 0).
(d) P (|W − µ| ≤ σ).
(e) P (W ≥ µ + 2σ).
(f) Determine o número a tal que P (µ − aσ ≤ W ≤ µ + aσ) = 0, 99.
(g) Determine o número a tal que P (X > a) = 0, 9.
3. Uma clı́nica de emagrecimento recebe pacientes adultos com peso seguindo uma
distribuição Normal de média 130kg e desvio-padrão 20kg. Para efeito de determinar
o tratamento mais adequado, os 25% pacientes de menor peso são classificados de
“magros”, enquanto os 25% de maior peso de “obesos”. Determine os valores que
delimitam cada uma dessas classificações.
9
4. Com base em experiências anteriores, a Companhia Telefônica sabe que 10% das
contas de seus clientes em uma comunidade são pagas com atraso. Para os ı́tens
abaixo, compare a solução exata com aquela obtida através de aproximação da
variável aleatória pela distribuição Normal.
(a) Se 20 contas são enviadas em um dia pela Companhia Telefônica, qual é a
probabilidade de que menos que 3 sejam pagas com atraso?
(b) Se 150 contas são enviadas mensalmente para a comunidade, encontre a probabilidade de que 17 ou mais sejam pagas com atraso.
5. A durabilidade de um tipo de pneu da marca Rodabem é descrita por uma variável
aleatória Normal com média 60.000km e desvio-padrão de 8.300km.
(a) Se a Rodabem garante os pneus pelos primeiros 48.000km, qual a proporção de
pneus que deverá ser trocada pela garantia?
(b) O que aconteceria com a proporção do item (a) se a garantia fosse para os
primeiros 45.000km?
(c) Qual deveria ser a garantia (em km) de tal forma a assegurar que o fabricante
trocaria sob garantia no máximo 2% dos pneus?
(d) Se você comprar 4 pneus Rodabem, qual será a probabilidade de que você
utilizará a garantia (45.000km) para trocar um ou mais destes pneus?
6. Sendo X1 , X2 , e X3 variáveis aleatórias independentes, seguindo o modelo Bernoulli
de parâmetro p, 0 < p < 1, pergunta-se:
(a) Qual é função de probabilidade de X1 +X2 +X3 ? Você reconhece essa variável?
(b) Qual é o valor de Var X1 +X32 +X3 .
10