Retas
Equações de uma reta com o software Winplot
Equação geral
Podemos estabelecer a equação geral de uma reta a partir da condição de alinhamento
de três pontos.
Dada uma reta r, sendo A(xA, yA) e B(xB, yB) pontos conhecidos e distintos
de r e P(x,y) um ponto genérico, também de r, estando A, B e P alinhados, podemos
escrever:
Fazendo yA - yB = a, xB - xA = b e xAyB - xByA=c, como a e b não são
simultaneamente nulos (𝐴 ≠ 𝐵), temos a equação geral da reta: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
Essa equação relaciona x e y para qualquer ponto P genérico da reta. Assim, dado o
ponto P(m, n):

se am + bn + c = 0, P é o ponto da reta;

se am + bn + c
0, P não é ponto da reta.
Acompanhe os exemplos:
Vamos considerar a equação geral da reta r que passa por A(4, 7) e B(3, 5).
Considerando um ponto P(x, y) da reta, temos:
4
A, B e P colineares ⇒ D = 0 ⇒ 3
𝑥
⇒ 2𝑥 − 𝑦 − 1 = 0
7
5
𝑦
1
1 = 0 ⇒ 20 + 7𝑥 + 3𝑦 − 5𝑥 − 4𝑦 − 21 = 0
1
(1)
Com o auxílio do software vamos verificar se os pontos A(4, 7) e B(3, 5) pertencem à
reta r do exemplo acima.
Procedimentos para o uso do Winplot:
Para abrir o Winplot.exe clique duas vezes no ícone
. Abrirá a caixa:
Clique (uma vez) no botão
Clique no botão
Clique no botão
. Surgirá uma coluna:
. Abrirá a janela
, abrirá as opções a seguir, vá até a botão Ponto.
Clique em (x,y), abrirá a janela:
Digite os valores correspondentes ao ponto A(4,7):Clique em
, e observe que
ele irá plotar o ponto. Faça a mesma operação com o ponto B(3, 5). Observe que os
pontos estão alinhados.
Vamos digitar a equação encontrada: 2𝑥 − 𝑦 − 1 = 0
Clique no botão
, selecione a opção Reta, conforme figura abaixo:
Abrirá uma caixa, digite os coeficientes da equação da reta:
Observe que a equação do Winplot está escrita ax + by =c
Clique em
, e observe a reta r.
1
Se tivéssemos escolhido os pontos E(0,-1), F (-2,-2) e P teríamos:
0
1
E, F e P colineares ⇒ D = 0 ⇒ − 2
𝑥
𝑥−
1
1
𝑦−2 = 0
2
−1
−2
𝑦
1
1 = 0 ⇒−𝑥 − 1 𝑦 + 2𝑥 − 1 = 0 ⇒
2
2
1
(2)
Vamos realizar os mesmos procedimentos utilizados acima. Inserindo os pontos e a
equação descrita acima,
As expressões obtidas em (1) e (2) são equivalentes (observe que, se dividirmos
os coeficientes de (1) por 2, obtemos (2) e nos mostram a relação que x e y devem
satisfazer a fim de que um ponto P(x,y) pertença a r. Por este motivo as equações se
sobrepõem quando digitadas no Winplot.
A reta r pode ser analiticamente descrita por uma dessas equações ou por
qualquer outra equivalente, dependendo dos pontos escolhidos. Cada uma delas é
chamada equação geral de r.
Comandos para limpar a janela de visualização:
No teclado, clique em ctrl+i, abrirá a caixa
que deseja apagar.
, selecione o
Clique no botão apagar.
Casos particulares
Quando um dos coeficientes da equação geral de uma reta (ax + by + c = 0) é
igual a zero, a reta apresenta uma propriedade especial. Temos três casos:
 𝑎 = 0, quando dois pontos distintos dessa reta possuem a mesma ordenada.
Desse modo quando a equação não tem termo em x, a reta é paralela ao eixo x .
Por exemplo: 0𝑥 + 2𝑦 − 10 = 0. Fazendo os mesmos procedimentos no
Winplot, vamos obter o seguinte gráfico:
 𝑏 = 0, quando dois pontos distintos dessa reta possuem a mesma abscissa.
Assim, quando a equação não tem termo em y, a reta é paralela ao eixo y.
Exemplo:
−𝑥 + 0𝑦 − 3 = 0
𝑥 = 3 é uma equação da reta s representada a seguir.
 𝑐 = 0, ou seja, 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 0. Nesse caso, para todo a ∈ IR* e b ∈ IR*, o par
ordenado (0,0) satisfaz a equação: 𝑎. 0 + 𝑏. 0 = 0. Desse modo, quando a
equação não tem termo independente, a reta passa pela origem.
Exemplos: As retas de equações: 3𝑥 − 2𝑦 = 0
Passam pelo ponto (0,0)
Vamos usar o Winplot para verificar.
𝑥 + 7𝑦 = 0
Equação Reduzida da Reta
Uma equação reduzida da reta respeita a lei de formação dada por y = ax + c,
onde x e y são os pontos pertencentes à reta, a é o coeficiente angular da reta e c o
coeficiente linear. Essa forma reduzida da equação da reta expressa uma função entre x
e y, isto é, as duas variáveis possuem uma relação de dependência.
Utilizando a equação geral acima, 2𝑥 − 𝑦 − 1 = 0 podemos transformá-la em
equação reduzida, basta isolarmos o y.
𝑦 = 2𝑥 − 1
O coeficiente angular a representa a inclinação da reta em relação ao eixo das
abscissas x e o coeficiente linear c representa o valor numérico por onde a reta passa no
eixo das ordenadas y.
Posições relativas entre duas retas
 Retas concorrentes
Se duas retas são concorrentes, seus coeficientes angulares são diferentes, e viceversa.
Exemplo: r: 2𝑥 − 𝑦 − 1 = 0 e 𝑠: 4𝑥 + 3𝑦 − 17 = 0
 Retas perpendiculares
Se duas retas são perpendiculares distintas, o coeficiente angular de uma é o
oposto do inverso do coeficiente angular da outra, e vice-versa.
1
Exemplo: Observe as retas 𝑦 = 5𝑥 + 10 e 𝑦 = − 5 𝑥 − 100
 Retas paralelas (distintas)
Se duas retas são paralelas distintas, seus coeficientes angulares são iguais e seus
coeficientes lineares são diferentes, e vice-versa.
Exemplo: 𝑟: 3𝑥 − 𝑦 − 2 = 0 e 𝑠: 6𝑥 − 2𝑦 + 5=0
 Retas coincidentes
Se duas retas são paralelas coincidentes, seus coeficientes angulares são iguais e
seus coeficientes lineares são iguais, e vice-versa.
Exemplo: 𝑟: 3𝑥 − 𝑦 + 7 = 0 e 𝑠: 6𝑥 − 2𝑦 + 14 = 0
Atividades
1
1- Utilizando o Winplot, verifique por quais dos pontos A(-2,-5), B(-1,4), C(2,- 5 ),
D(3,1) e E(-1,
19
5
) passa a reta de equação 6𝑥 − 5𝑦 − 13 = 0.
Resolução:
Digite todos os pontos no software, em seguida a equação sugerida e verifica quais
pontos pertence a esta reta.
Podemos verificar através das cores que os pontos A, C e D pertencem à reta. Podemos
ainda incluir as grades para melhor visualização.
Clique em
abrirá as opções:
Clique em Grade e surgirá uma nova caixa
Selecione retangular e em seguida aplicar.
Referências
IEZZI, Gelson. [et al]. Matemática: ciências e aplicações. V. 2, ensino médio. 6. ed.
São Paulo: Saraiva, 2010.
SODRÉ, Ulysses. Geometria Plana: Geometria Analítica Plana. Disponível em:<
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/ganalitica/ganalitica.htm#ga06>
Acesso em: 17/05/2015
UNIP/Objetivo. Posição Relativa de Duas Retas - Equação do Feixe de Retas.
Disponível
em:
<http://www.objetivo.br/ConteudoOnline/mp/Conteudo.aspx?codigo=1459&token=5%
2F2Yd2%2Bzzv%2F29umTApxi0Q%3D%3D> Acesso em: 18/05/2015