Matemática II
é (são) verdadeira(s) apenas:
a) III.
b) I e III.
c) II e III.
Capítulo 14
d) III e IV.
e) I, II e IV.
4. (ESPM/2012) Na figura plana abaixo, ABCD é um quadrado de
área 10 cm2. Os segmentos CE e CF medem 4 cm cada. Essa
figura deverá ser dobrada nas linhas tracejadas, fazendo com
que os pontos E e F coincidam com um ponto P do espaço.
Noções de Geometria no espaço
1. (EsPCEx-Aman/2013) Considere as seguintes afirmações:
A
B
I. Se uma reta r é perpendicular a um plano a, então todas as
retas de a são perpendiculares ou ortogonais a r;
II. Se a medida da projeção ortogonal de um segmento AB
sobre um plano a é a metade da medida do segmento AB,
então a reta AB faz com a um ângulo de 60°;
D
III.Dados dois planos paralelos a e b, se um terceiro γ plano
intercepta a e b, as interseções entre esses planos serão
retas reversas;
E
4 cm
4 cm
IV.Se a e b são dois planos secantes, todas as retas de a também
interceptam b.
C
F
A distância desse ponto P ao ponto A é igual a:
a) 6 cm
d) 5 2 cm
b) 5 cm
e) 6 2 cm
Estão corretas as afirmações:
a) apenas I e II.
d) I, II e IV.
b) apenas II e III.
e) II, III e IV.
c) I, II e III.
c) 4 2 cm
2. (EsPCEx-Aman/2013) O sólido geométrico abaixo é formado
pela justaposição de um bloco retangular e um prisma reto,
com uma face em comum. Na figura estão indicados os
vértices, tanto do bloco quanto do prisma.
Capítulo 15
K
Geometria do espaço
J
H
L
D
I
1. (Cesgranrio/1992) No cubo da figura,
o ângulo entre AD e AF vale:
a)15°
b)30°
c)45°
d)60°
e)90°
G
C
E
B
F
Considere os seguintes pares de retas definidas por pontos
dessa figura: as retas LB e GE , as retas AG e HI e as retas
AD e GK . As posições relativas desses pares de retas são,
respectivamente:
a) concorrentes; reversas; reversas.
b) reversas; reversas; paralelas.
c) concorrentes, reversas; paralelas.
d) reversas; concorrentes; reversas.
e) concorrentes; concorrentes; reversas.
E
F
D
C
B
A
3. (Unesp/1994) Considere o cubo da
figura ao lado. Das alternativas a
seguir, aquela correspondente a
pares de vértices que determinam A
três retas, duas a duas reversas, é:
a) (A,D); (C,G); (E,H).
b) (A,E); (H,G); (B,F).
E
c) (A,H); (C,F); (F,H).
d) (A,E); (B,C); (D,H).
e) (A,D); (C,G); (E,F).
3. (ITA/2013) Das afirmações:
I. duas retas coplanares são concorrentes;
II. duas retas que não têm ponto em comum são reversas;
III. dadas duas retas reversas, existem dois, e apenas dois, planos
paralelos, cada um contendo uma das retas;
IV.os pontos médios dos lados de um quadrilátero reverso
definem um paralelogramo.
ensino médio
G
2. (Fuvest/1990) Os segmentos VA, VB e VC são arestas de um
cubo. Um plano a, paralelo ao plano ABC, divide esse cubo
em duas partes iguais. A intersecção do plano α com o cubo
é um:
a)triângulo.
b)quadrado.
c)retângulo.
d)pentágono.
e)hexágono.
A
H
1
D
C
B
H
G
F
2o ano
4. (UEL/1994) O sólido representado na figura a seguir é
x
formado por um cubo de aresta de medida
que se apoia
2
sobre um cubo de aresta de medida x.
x
2
H
3. (CFT-CE/2004) Observe as afirmações.
I. O espaço é o conjunto de todos os pontos;
II. Dois pontos distintos determinam uma reta;
III.Três pontos não pertencentes a uma mesma reta definem
um plano.
É correto concluir que:
a) somente I é verdadeira.
b) apenas I e II são verdadeiras.
c) apenas II e III são verdadeiras.
d) todas são falsas.
e) todas as afirmações são verdadeiras.
I
J
G
M
L
E
4. (UFRGS/2000) A figura a seguir representa um cubo de
centro O.
F
x
A
H
C
D
G
Considere as afirmações abaixo.
I. O ponto O pertence ao plano E
BDE;
II. O ponto O pertence ao plano
ACG;
III.Qualquer plano contendo
D
os pontos O e E também
contém C.
A
B
A intersecção do plano EGC com o plano ABC é:
a)vazia.
b) a reta AC .
c) o segmento de reta AC .
d) o ponto C.
e) o triângulo AGC.
Quais estão corretas?
a) Apenas I. b) Apenas II. c) Apenas I e II.
Capítulo 16
F
O
C
B
d) Apenas I e III.
e) Apenas II e III.
Capítulo 17
Paralelismo
Perpendicularidade
1. (UEL/2007) Sobre os conhecimentos de geometria
tridimensional, considere as afirmativas:
I. Se duas retas distintas não são paralelas, então elas são
concorrentes;
II. Três pontos distintos entre si determinam um único plano;
III. Duas retas paralelas distintas determinam um plano;
IV. Se duas retas r e s são reversas, então existe um único
plano α que contém r e é paralelo a s.
1. (UEL/2000) Considere três planos que sejam dois a dois
perpendiculares entre si e esferas com 10 cm de raio.
Quantas dessas esferas poderão tangenciar simultaneamente
os três planos?
a)Uma.
d)Oito.
b)Duas.
e)Infinitas.
c)Quatro.
2. (Fatec/1999) Seja A um ponto pertencente à reta r, contida
no plano a.
A alternativa que contém todas as afirmativas corretas é:
a) I e II
d) I, II e III
b) I e IV
e) II, III e IV
c) III e IV
É verdade que:
a)existe uma única reta que é perpendicular à reta r no
ponto A.
b)existe uma única reta, não contida no plano a, que é
paralela à reta r.
c)existem infinitos planos distintos entre si, paralelos ao
plano a, que contêm a reta r.
d) existem infinitos planos distintos entre si, perpendiculares
ao plano a e que contêm a reta r.
e) existem infinitas retas distintas entre si, contidas no plano
a e que são paralelas à reta r.
2. (UEG/2005) Observe e classifique as afirmações abaixo como
sendo verdadeiras ou falsas.
I. Se um plano intercepta dois outros planos paralelos, então
as interseções são retas paralelas;
II. Se dois planos são paralelos, qualquer reta de um deles é
paralela a qualquer reta do outro;
III.Se uma reta é paralela a dois planos, então esses planos
são paralelos;
IV.Se dois planos são paralelos, uma reta de um deles pode
ser reversa a uma reta do outro.
3. (UEL/1998) Na figura a seguir, tem-se uma esfera de raio
5 cm e os planos paralelos a e β. O plano a contém o centro
O da esfera e dista 10 cm de β. Uma reta t, tangente à esfera,
intercepta a em A e β em B. Se o segmento AB mede 18 cm e
o plano determinado pelos pontos A, B e O é perpendicular a
a e a β, então a medida do segmento OA, em centímetros, é:
Marque a alternativa correta.
a) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras.
b) Apenas as afirmações I e III são verdadeiras.
c) Apenas as afirmações I e IV são verdadeiras.
d) Apenas as afirmações II e IV são verdadeiras.
e) Apenas as afirmações III e IV são verdadeiras.
ensino médio
2
2o ano
a)9
b)8,5
c)8
d)7,5
e)7
2. (UEPG/2010) Dado que um poliedro convexo tem 2 faces
pentagonais, 4 faces quadrangulares e n faces triangulares,
julgue as proposições abaixo:
01) Se o número de vértices do poliedro é 11, então n = 4.
02) Se o número de faces do poliedro é 16, então n = 10.
04) O menor valor possível para n é 1.
08) Se a soma dos ângulos de todas as faces do poliedro é
3600°, então n = 6.
16) Se o número de arestas do poliedro é 25, então n = 8.
t
β
B
O
3. Se F é o número de faces, V o número de vértices e A o
número de arestas de um paralelepípedo retângulo, então
a soma F + V + A é igual a:
a)20
c)24
b)22
d)26
A
α
4. (Fatec/1998) Na figura a seguir, tem-se: o plano a definido
pelas retas c e d, perpendiculares entre si; a reta b,
perpendicular a a em A, com A ∈ c; o ponto B, intersecção de
c e d. Se X é um ponto de b, X ∉ a, então a reta s, definida
por X e B,
4. Um poliedro convexo de nove vértices possui quatro ângulos
triédricos e cinco ângulos tetraédricos. Então o número de
faces deste poliedro é:
a)12
d)9
b)11
e)8
c)10
b
d
A
c
B
Capítulo 18
α
Prisma
a) é paralela à reta c.
b) é paralela à reta b.
c) está contida no plano α.
d) é perpendicular à reta d.
e) é perpendicular à reta b.
1. (UEPB/2014) Uma cisterna de formato cúbico cuja área lateral
mede 200 m2 tem por volume, aproximadamente:
3
a) 250 2 m
3
b) 25 2 m
3
c) 2500 2 m
Saiba Mais
3
d) 352 2 m
3
e) 125 2 m
Poliedros quaisquer e poliedros
regulares
2. (UFRGS/2014) No cubo de aresta 10, da figura abaixo,
encontra-se representado um sólido sombreado com as
alturas indicadas no desenho.
1. (UEM/2011) O fulereno é uma molécula de carbono
descoberta em 1985, e sua utilização tem sido proposta
em muitas áreas, como medicina, bioquímica e física,
devido à sua grande estabilidade. O modelo tridimensional
da molécula do fulereno C60 é um poliedro convexo de
faces regulares, que possui 12 faces pentagonais, 20 faces
hexagonais e três arestas se encontrando em cada vértices,
formando ângulos triédricos.
Em cada vértice, está situado um átomo de carbono.
Baseando-se nessas informações, assinale o que for correto.
01) O poliedro que representa a molécula possui 120 arestas.
02) Se A é o número de arestas do poliedro e V o número
de vértices do poliedro que representa a molécula, então
3A = 2V.
04) A soma dos ângulos internos de todas as faces é
58 π rad.
08) O fulereno C60 apresenta carbonos com hibridização sp2.
16) O poliedro que representa a molécula possui 60 vértices.
ensino médio
7
7
3
3
O volume do sólido sombreado é?
a) 300 Unidades de volume.
b) 350 Unidades de volume.
c) 500 Unidades de volume.
d) 600 Unidades de volume.
e) 700 Unidades de volume.
3
2o ano
3. (Uneb/2014) A pele é o maior órgão de seu corpo, com uma
superfície de até 2 metros quadrados. Ela tem duas camadas
principais: a epiderme, externa, e a derme, interna.
BREWER. 2013, p. 72.
De acordo com o texto, a superfície máxima coberta pela
pele humana é equivalente a de um cubo cuja diagonal, em
m, é igual a:
1
a) 3
b)
3
3
3
2
d) 1
c)
e)
3
4. (FGV/2014) Uma piscina vazia, com formato de
paralelepípedo reto retângulo, tem comprimento de 10 m,
largura igual a 5 m e altura de 2 m. Ela é preenchida com
água a uma vazão de 5000 litros por hora.
Após três horas e meia do início do preenchimento, a altura
da água na piscina atingiu:
a) 25 cm
b) 27,5 cm
c) 30 cm
d) 32,5 cm
e) 35 cm
ensino médio
4
2o ano