Curso de linguagem matemática – Professor Renato Tião
Ângulo entre duas retas reversas
No plano, duas retas que não se interceptam são sempre paralelas, mas no espaço duas retas podem
não se interceptar mesmo não sendo paralelas. É o caso das retas reversas.
No cubo representado pela figura a seguir, as retas suportes das arestas AB e FG são reversas, assim
como a reta suporte da aresta AE é reversa à reta suporte da diagonal BC da face lateral direita do cubo.
u'
s
G
H
F
E
G
H
H
F
E
u
t
G
F
E
s'
y
D
A
D
C
B
C
x
r
A
B
C
D
A
B
Os ângulos determinado por retas reversas não são ângulos geométricos, uma vez que não possuem
vértice. São ângulos aparentes cuja interpretação analítica é necessária, afinal se duas retas não são
paralelas, então elas possuem uma inclinação relativa que é diferente de zero.
Para se determinar a medida dos ângulos aparentes formado por duas retas reversas, basta traçar uma
terceira reta que seja paralela a uma e intercepte a outra. Esta intersecção será o vértice de quatro ângulos
geométricos cujas medidas são iguais às procuradas. Exemplos:
I. Sendo y a medida do menor ângulo de inclinação relativa entre as retas reversas t e u na figura
acima à direita, podemos determinar seu valor de y observando-se que a reta u’,
u’ suporte da diagonal
AH da face lateral esquerda do cubo, é paralela à reta u e intercepta a reta t no ponto A. Então, esse
ponto A é o vértice de um ângulo geométrico EAH cuja medida também é y e, como AH é diagonal de
um quadrado de lado AE, temos que y = 45º.
II. Sendo x a medida do menor ângulo de inclinação relativa entre as retas reversas r e s na figura
central acima, podemos determinar seu valor observando-se que a reta s’,
s’ suporte da aresta BC do
cubo, é paralela à reta s e intercepta a reta r no ponto B. Então, o ponto B é o vértice de um ângulo
geométrico ABC cuja medida também é x e, como AB e BC são lados adjacentes de um quadrado, temos
que x=90º.
90º.
Quando o ângulo de inclinação relativa entre duas retas reversas tiver medida igual a 90º, estas retas
também poderão ser chamadas de ortogonais.
ortogonais
Exercícios
1. Considerando-se ainda o cubo ABCDEFGH dos
exemplos acima, determine as inclinações
relativas entre as retas suportes dos segmentos
indicados em cada item:
a) DH e BC
2. Um prisma hexagonal regular é um poliedro
cercado por oito faces sendo que seis
retangulares e duas hexagonais regulares.
Observe na figura que um prisma como esse
possui 18 arestas:
b) AH e FC
c) EG e HC
d) DB e EF
e) EC e BD
f) EH e BC
Sorteadas ao acaso duas arestas deste prisma,
determine a probabilidade de que elas sejam:
a) reversas
b) ortogonais
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