Calculo e Instrumentos
Financeiros
Parte 1
Pedro Cosme Costa Vieira
Faculdade de Economia da
Universidade do Porto
2015/2016
Actualizado no dia 14 de Setembro de 2015
1
Apresentação
15 Set.
2
Docentes
João Sousa Couto
([email protected])
José Manuel Peres Jorge
([email protected])
Pedro Cosme Costa Vieira
([email protected])
3
Conteúdo programático
4
Objectivos da Disciplina
• 1ª Parte
– Taxa de juro, capitalização e desconto
– Instrumentos financeiros sem risco: depósitos
e créditos bancários; obrigações
– Transformação de stocks financeiros em
fluxos financeiros (rendas / amortizações)
– Preços correntes e preços constantes
5
Objectivos da Disciplina
• 2ª Parte
– Risco do negócio. Modelos estatísticos.
– Instrumentos financeiros com risco: seguros,
acções e obrigações com risco de falha
– Carteiras de activos: diversificação e
alavancagem
6
Objectivos da Disciplina
• 3ª Parte
• Aplicação dos conceitos
Medidas de desempenho de um investimento
• VAL + TIR + Q de tobin
Instrumentos financeiros
•
•
•
•
•
Aluguer (leasing +renting)
Factoring
Opções
Obrigações Contingentes
Swaps
7
Avaliação
8
Avaliação
• Avaliação Distribuída
– 6 miniteste dos quais contarão os 5 melhores (50%)
•
•
•
•
7 perguntas, duração de 15 minutos no princípio da aula
1.º teste => 06-10-2015;
2.º teste => 20-10-2015;
3.º teste => 03-11-2015;
4.º teste => 17-11-2015;
5-º teste => 01-12-2015;
6.º teste => 15-12-2015
– Teste global (50%)
• 35 perguntas, 75 minutos, 14h do dia 15 de Jan de 2016
– Para fazer avaliação contínua têm que frequentar
pelo menos 75% das aulas (18 aulas).
9
Avaliação
• Avaliação por Exame (2 épocas)
– 15 e Janeiro 2016
– 5 de Fevereiro 2016
– 70 perguntas, 150 minutos
• Pelas 14h do dia 15 de Jan de 2016
• Avaliação contínua q
– Quem reprovar na época normal pode repescar o
teste global no dia do exame de recurso.
– Não existe viculação à avaliação contínua (o aluno
pode sempre optar pelo exame).
10
Material de apoio
11
Material de estudo
• Existem disponíveis em formato digital
www.fep.up.pt/docentes/pcosme/CIF_1EC101
• Contém material de apoio:
– Textos que as aulas seguem
– Um ficheiro Excel com os exercícios do texto
– As apresentações das aulas em Power Point
– Ligação às páginas dos anos anteriores
12
Material de estudo
• Página do ano passado
www.fep.up.pt/docentes/pcosme/CIF_1EC101_2015
www.fep.up.pt/docentes/pcosme/CIF_1EC101_2014
www.fep.up.pt/docentes/pcosme/CIF_1EC101_2013
13
Primeira Aula
17/18 Set.
14
A Economia e as Finanças
15
A Economia e as Finanças
• A Economia trata da afectação dos recursos
escassos.
• Partindo dos Recursos Naturais, a Economia vai
estudar como, num processo encadeado, esses
recursos escassos se vão transformar em bens
que promovem o bem-estar das pessoas.
• Assim, pode ser entendida como o Estudo do
Circuito Económico que começa nos Recursos
Escassos e acaba na lixeira.
16
A Economia e as Finanças
17
A Economia e as Finanças
• As finanças não tratam directamente com os
recursos escassos mas ria um sistema de
titularização desses R.E.
– Esses títulos autonomizam-se e passam a ser
transaccionados como se fossem recursos escassos
• A moeda é um exemplo de um título que
representa recursos escassos
– O valor da moeda vem de, com ela, se
poderem adquirir recursos escassos
18
A Economia e as Finanças
• Os activos financeiros têm menores custos de
posse e de transacção.
• Os AF podem dar origem a outros activos
financeiros (produtos estruturados)
19
A Economia e as Finanças
• Mercados Completos
• As transacções de Activos Financeiros
pretendem levar recursos do presente para o
futuro e vice-versa
• Isso traduz que os mercados financeiros são
completos
– Transaccionam-se bens que só estarão disponíveis
no futuro
20
Crédito / Débito
=
Contratos de Mútuo
21
O contrato de crédito/débito
• Sempre que alguém empresta outra
pessoa tem que pedir emprestado.
– O crédito tem como preço o juro
• Ex.1.1. Empresto 10 galinhas a um vizinho que
me dá 11 galinhas daqui a um ano.
– i) Determine a taxa de juro anual
– ii) Determine quanto receberia se, à mesma
taxa de juro, emprestasse 20 galinhas.
22
O contrato de crédito/débito
• R. i) Sendo V0 o capital inicial, Vf o capital
final e r a taxa de juro anual, teremos a
relação
Vf = V0 + V0 * r = V0 * (1 + r).
• No exemplo, a taxa de juro resolve
• 11 = 10×(1 + r)  r = 10%/ano.
23
O contrato de crédito/débito
• ii) Assumido que a taxa de juro de
10%/ano se mantém, quando empresto 20
galinhas, receberia
• = 20 * (1 + 10%) = 22 galinhas.
24
O contrato de crédito/débito
• Os empréstimos são denominados em
numerário mas, de fato, traduzem
empréstimos de recursos escassos.
• Ex.1.2. Um capitalista tem 100 ovelhas que vai
emprestar em troca de 750kg de queijo mais
100 ovelhas no fim de um ano. Supondo que o
preço de cada ovelha é 250€ e que o preço do
queijo é 5€/kg, determine a taxa de juro anual
deste contrato.
25
O contrato de crédito/débito
R. Empresto hoje 100*250 = 25000€
Recebo daqui a um ano 750*5 + 100*250
= 25000€+3750€
A taxa de juro resolve:
Vf = V0 * (1 + r) 
r = (Vf – V0)/V0
= Vf / V0 – 1
= 28750/25000 – 1 = 15%
26
O contrato de crédito/débito
• Se todas as pessoas fossem iguais e
tivessem acesso aos mesmos recursos
escassos, não haveria necessidade de
pedir recursos emprestados
– Sempre que alguém empresta (Credor) outra
pessoa tem que pedir emprestado (Devedor)
• As pessoas têm que ser diferentes
27
O contrato de crédito/débito
• Existem três razões principais para
transaccionar créditos/débitos.
– O ciclo de vida das pessoas
– Poder ocorrer um período de “desemprego”
ou de despesas acrescidas (e.g., doença)
não correlacionado com as outras pessoas
– O capital ser produtivo e as pessoas estarem
especializadas em aforradores e investidores
28
O Ciclo de Vida
29
O ciclo de vida
• Uma das mais obvias razões para a
existência de empréstimos é o ciclo de
vida das pessoas.
– As pessoas precisam de consumir sempre
– Existem longos períodos em que não têm
rendimento (quando crianças e “velhos”)
30
O ciclo de vida
31
O ciclo de vida
• As pessoas, quando crianças, não têm
rendimento suficiente para sobreviver,
pedindo recursos emprestados
– Em média, é-se “criança” durante 20 anos
• Quando trabalham, pagam as dívidas (de
criança) e poupam alguns recursos (para
a velhice)
– Em média, é-se activo durante 45 anos
32
O ciclo de vida
• Quando reformados, não geram
rendimento suficiente para sobreviver,
mas têm os recursos que pouparam
– Em média, a reforma dura 20 anos
• Esses recursos vão-se esgotando
33
Contingências futuras
Haver uma redução do
rendimento ou um aumento da
despesa
34
O desemprego
• O trabalho é a fonte mais importante de
rendimento das famílias.
– 55% do PIB são salários
– São 67% do produto interno liquido
• Existe o risco da pessoa poder ficar
desempregada.
– A probabilidade será de 10%/ano
35
O desemprego
• E, depois, demora alguns meses a
encontrar novo emprego
– Em média, 12 meses
• E o salário é menor que o anterior
– Inicialmente ganha-se menos 15%
• Será necessário poupar recursos para
essa eventualidade.
– Deverá haver uma poupança  12 salários.
36
O desemprego
• Como nem todas as pessoas ficam
desempregadas ao mesmo tempo
– Enquanto trabalhamos emprestamos ao
“colectivo” que nos devolve as poupanças em
caso de ficarmos desempregos.
– Quando ficamos desempregados podemos
pedir emprestado ao “colectivo” e devolver a
verba quando arranjarmos emprego.
37
Cataclismos
• Podem ocorrer imponderáveis
– O indivíduo pode adoecer, ficando sem poder
trabalhar (menos rendimento) e necessitando
de tratamento médico (mais despesa).
– Pode ter um acidente de automóvel,
necessitando de pagar a reparação.
– Pode ter um incêndio em casa.
• É necessário ter uns activos de lado (ou
pedir emprestado na adversidade)
38
O capital ser produtivo
39
O capital é produtivo
• O trabalho torna-se mais produtivo se for
auxiliado por capital
– máquinas e ferramentas, solo agrícola, etc.
• Se um indivíduo poupar (aumentando a
quantidade de capital), aumenta o seu
rendimento
– A produtiva por pessoa aumenta
40
O capital é produtivo
• Também existem bens que custam “muito
dinheiro” e duram muito tempo
– Casas, carros, frigoríficos, televisores, etc.
• Estes bens “produzem” utilidade
– As pessoas, sem dinheiro, estão disponíveis
para pedir empréstimos e pagar um pouco
todos os meses.
41
Os stocks degradam-se
42
Os stocks degradam-se
• Não é possível guardar coisas para
quando formos velhos,
– A comida apodrece
– A roupa passa de moda
– Os automóveis ganham ferrugem
• Não é possível ter stock negativo.
– As crianças não podem antecipar o
rendimento futuro com um stock negativo
43
Os stocks degradam-se
• Poupar é principalmente emprestar,
– Os adultos activos emprestam às crianças e
as criança pagam as dividas quando se
tornarem activas
– Os adultos activos fazem uma poupança de
segurança emprestando a outras pessoas
– Os aforradores emprestam aos
empreendedores
• Comprar um frigorífico também é poupar
44
A moeda
45
O empréstimo em dinheiro
• Numa sociedade “atrasada”,
– Armazenam-se bens
– Emprestam-se bens e serviços
• Numa sociedade com moeda, emprestamse somas denominadas em moeda
– A moeda é a unidade de valor mas não é o
recurso poupado.
46
O empréstimo em dinheiro
• Poupar dinheiro não é o mesmo que
poupar recursos escassos
– A moeda não é um recurso escasso
• Para pouparmos dinheiro, primeiro temos
que deixar de consumir recursos (B & S)
• A pessoa a quem emprestamos vai
consumir esses recursos escassos.
47
O empréstimo em dinheiro
• Poupar em termos agregados reduz-se a
– Aumentar os stocks
– Aumentar o capital
• Máquinas, Ferramentas, imóveis, estradas, portos,
electrodomésticos, carros (todo o bem que dura
mais do que um ano).
– Aumentar a escolaridade
• É o capital humano
– Inovação e desenvolvimento tecnológico
48
O empréstimo em dinheiro
• Como as relações entre moeda e crédito
fazem confusão nas pessoas
• Os alunos têm o texto:
• Vieira, PCC (2013), Fundamentos de um
sistema monetário, pp. 1-25, FEP:Porto
49
Poupança Agregada
50
Poupança Agregada
• Quando umas pessoas poupam para que
outras possam consumir, não há
poupança no agregado.
• Só há poupança agregada numa
economia quando o capital aumenta ou
quando aumenta o crédito ao exterior
51
Poupança Agregada
• O crédito ao exterior agrega-se na
Balança Corrente
– Quando a BC é positiva, a economia está a
emprestar recursos ao exterior
– Quando a BC é negativa, a economia está a
pedir recursos ao exterior
52
Poupança Agregada
– A Balança Corrente da Zona Euro está
superavitária (positiva)
53
Poupança Agregada
– A Balança Corrente portuguesa esteve
gravemente deficitária (negativa)
54
A taxa de juro
55
A taxa de juro
• Como as pessoas são heterogéneas,
haverá sempre algumas que precisam de
pedir dinheiro emprestado
– As crianças, os desempregados e as vítimas
de acidentes
– Os empreendedores
• Outras que precisam de guardar dinheiro
– Os indivíduos activos e empregados.
(dinheiro, traduz recursos escassos)
56
A taxa de juro
• O mercado de crédito tem a taxa de juro
como preço e a quantidade de
poupança/crédito como quantidade.
• É a taxa de juro que equilibra o mercado
– Se houver menos pessoas a querer poupar
ou mais pessoas a quererem-se endividar, a
taxa de juro sob para equilibrar as vontades
dos agentes económicos
57
A taxa de juro
• A taxa de juro é um “preço” de mercado e
não um instrumento de política económica
• A desenvolver na Microeconomia
58
A taxa de juro
• Quando eu empresto uma quantidade de
dinheiro, não vou receber a mesma
quantidade
– A diferença denomina-se por JURO
• O Juro é a remuneração de o aforrador
adiar o consumo, é o custo do devedor
antecipar o consumo.
59
A taxa de juro
• Por exemplo, eu empresto 5000€ a um
familiar
– O que eu poupo são os recursos que deixei
de consumir para ter esta soma de dinheiro
– O que empresto são esses recursos
• Daqui a 10 anos recebo 7500€.
• É o capital, 5000€, mais 2500€ de juros
(50%).
60
A taxa de juro
• O juro, em tese, tanto poderá ser positivo
como negativo.
• Há razões para justificar ser positivos e
razões para justificar ser negativo
• Historicamente é positivo
61
A taxa de juro
• Hoje faço anos e deram-me 1000€
– Hipótese 1: entregam-mos agora.
– Hipótese 2: entregam-mos daqui a 10 anos.
• Qual das hipóteses será preferível?
62
A taxa de juro
• Quem preferir a hipótese 1 então, exige
uma taxa de juro positiva
– Podia depositá-lo, recebendo juros
– O dinheiro vai desvalorizar
– O doador pode morrer (e a oferta falhar)
63
A taxa de juro
• É historicamente positiva por três razões
– Existe uma remuneração real
• As pessoas preferem o presente ao futuro
• O capital é produtivo: existem empreendedores
• Há concorrência pelo capital escasso
– Há inflação
• Se o capital é denominado em euros, como os
preços aumentam, há necessidade de corrigir a
perda de poder de compra dos euros.
– Há risco de incumprimento
• É uma lotaria
64
A taxa de juro real
(acabei aqui a 1 semana)
65
Juro real
– Quantifica o aumento do poder de compra
– Quando emprestei os 5000€, esse dinheiro
dava para viver durante 200 dias. Quando
receber os 7500€, penso conseguir viver 250
dias.
– Então, o juro real durante os 10 anos é de
“viver 50 dias”, 25%
66
Juro real
– A taxa de juro real tende a ser positiva
porque
– o capital é produtivo.
• e.g., um agricultor se cavar com uma enxada
consegue produzir mais do que se o fizer com
apenas um pau.
– O capital é escasso
• Como o crédito são recursos escassos poupados,
existe concorrência por esses recursos.
67
Juro real
– É preferível consumir hoje.
– As pessoas preferem o Presente ao Futuro
• No Futuro estamos mortos
• No Futuro estamos velhos pelo que não retiramos
tanta utilidade do consumo
– Quem faz o sacrifício de não consumir no
presente precisa ser “remunerado”.
– Quem tem o benefício de consumir o que não
tem (ainda) tem que “pagar”.
68
Juro real
• Inicialmente tenho V0 euros
– Supondo que os preços se mantêm e que
não existe risco, para uma taxa de juro R%
– Terei no fim do período
V1 = V0(1+ R)
Ex., para V0 = 10000€ e R = 10%, terei
V1 = 10000*(1+ 10%) = 11000€
69
A Inflação
70
Inflação
• O crédito é denominado em euros
• O valor do dinheiro resulta de podermos
comprar bens e serviços.
– Como existe inflação, a quantidade de bens
que posso comprar com um Euro diminui com
o tempo.
• Para comprar o mesmo, preciso receber mais
dinheiro
• A taxa de juro tem que incluir a inflação
71
Inflação
– Taxa de inflação anual na Zona Euro (dados: BCE)
72
Inflação
• Inicialmente tenho V0 euros
• Os preços, em média, aumentam %.
• Para no fim do período poder comprar os
mesmos bens temos esta igualdade:
• V0 / P = V1 / [P x (1+ )]
Então:
V1 = V0*(1+ )
73
Inflação
• Emprestei 15000€ ao um amigo com a
obrigação de me pagar de taxa de juro a
taxa de inflação que se vier a apurar.
Sendo que a taxa de inflação foi de 5,5%,
quanto terei que lhe pagar?
• R. Vf = Vo *(1+ )
Vf = 15000€ *(1+5,5%)=15825€
74
Inflação
• A taxa de juro, r, tem que incluir a parte
real, R, e a inflação:
V1 = [V0(1+ R)](1+ )
V1 = V0(1+ R)(1+ )
Com apenas uma taxa de juro
V1 = V0(1+ r)
resulta
r = (1+ R)  (1+ ) - 1
75
Inflação
• Emprestei 25000€ a um empreendedor
que me vai pagar de taxa de juro a taxa
de inflação prevista (de 2,0%/ano) e ainda
uma remuneração real de 3,5%/ano.
• i) Determine quanto vou receber ao fim de
um ano
• ii) Determine a taxa de juro
76
Inflação
i) Vou receber
=25000*(1+2,0%)*(1+3,5%)
=26392,50€
ii) a taxa de juro é
=26392,50/25000-1
=5,570%
=(1+2,0%)*(1+3,5%)-1
77
Segunda Aula
22 Set
78
Risco de incumprimento
79
Risco de incumprimento
– O Futuro é incerto.
– Quando eu empresto dinheiro, estou a pensar
receber o dinheiro mais os juros
– Mas posso não receber nenhum deles
• Ou receber apenas parte
– A obrigação pode não ser cumprida
80
Risco de incumprimento
– Vamos supor que eu emprestei V0 euros e
vou receber (penso eu) V1 euros.
– Existindo a probabilidade p de eu não receber
nada, para, em média, ficar equivalente, terei
que contratar uma taxa que corrija este risco
V0 = 0 x p + V1 x (1 - p)
V1 = V0 / (1 - p)
p >= 0  V1 >= V0
81
Risco de incumprimento
• O risco acresce à taxa de juro real e à
correcção da taxa de inflação
V1 = {(V0(1+ R))(1+ )}/(1- p)
• Então, a taxa de juro contratada será
V1 = V0(1+ i)
i = (1+ R)(1+ ) / (1- p) - 1
82
Risco de incumprimento
• Um aforrador emprestou 5000€ a um
vizinho exigindo um aumento do poder de
compra de 2,5%, pensando que no
próximo ano a taxa de inflação é de 1,3%
e que o risco de não receber nada é de
2,0%.
– i)De quanto deverá ser a taxa de juro do
contrato?
– Ii) Quando dinheiro vai receber?
83
Risco de incumprimento
• i) A taxa de juro contratada terá que ser
• =(1+1,3%)*(1+2,5%)/(1-2,0%)-1
• = 5,952%
• ii) Irá receber:
=5000€*(1+5,952%) = 5297,58€ com prob. 98,0%
=0€ com prob. de 2,0%
84
Risco de incumprimento
• Para taxas de juro pequena podemos
aproximar
• (1+ R)  (1+ ) / (1- p) – 1  R +  + p
• Mas é uma aproximação.
85
Risco de incumprimento
• O exemplo daria
• =1,3%+2,5%+2,0%=5,8%
(em vez de 5,952%)
• =5000*(1+5,8%) = 5290,00€
(em vez de 5297,58€)
• Não podemos afirmar que o aforrador vai
receber 5297,58€ pois pode receber 0€!
86
Exercício
87
Risco de incumprimento
• 1) Eu empresto 1000€
– pretendo uma taxa de juro real de 6%
– a inflação prevista é de 8%
– o risco de incumprimento é de 10%.
• Qual deverá que ser a taxa de juro exigida
neste contracto?
• Qual o capital final que vou receber?
88
Risco de incumprimento
i = (1+ 6%)(1+ 8%) / (1- 10%) – 1
= 27,2%
V1 = 1000 (1+ 6%)(1+ 8%) / (1- 10%)
= 1000 (1+ 27,2%)
= 1272€ com probabilidade de 90%
(0€ com probabilidade de 10%)
A taxa de juro é 27,2%
6% + 8% + 10% = 24% é bastante < 27,2%
89
Risco de incumprimento
• O Credit Scoring é uma técnica de
estimação da probabilidade de
incumprimento de cada cliente.
• O Score é um índice que resulta de somar
os efeitos de várias variáveis
• Este tema será desenvolvido em Gestão
da Informação
90
Evolução histórica da taxa de
juro
91
A taxa de juro
• Poderá a taxa de juro ser negativa?
– Haver deflação
– Haver poucas criancinhas e poucos
empresários, não há a quem emprestar
dinheiro
• i.e., se não houver crescimento económico
– Haver muito risco de os bens e dinheiro que
guardo em casa poderem ser roubado
92
A taxa de juro
• Se eu puder guardar notas sem custo
(não haver risco de roubo),
• a taxa de juro de somas denominadas na
moeda nunca poderá ser negativa pois eu
posso meter as notas debaixo do colchão
93
A taxa de juro
• Historicamente, os efeitos “negativos” são
menores que os efeitos “positivos”
– Há uma tendência secular de crescimento
económico
• Historicamente, a taxa de juro é positiva
94
A taxa de juro
14
12
10
Portugal
8
Spain
6
UK
4
Germany
2
0
1995
2000
2005
2010
2015
• Evolução da taxa de juro da divida pública portuguesa, espanhola e
alemã (Euros) e UK a 10 anos Jan1993/Jul2015 (dados: Banco Central
Europeu, “Long-term interest rate for convergence purposes...”, percentagem por
ano)
95
Unidades do juro
96
A taxa de juro
• Os preços das coisas são em €/kg
• O preço do crédito (o juro) é uma
percentagem por unidade de tempo.
• e.g., 0.10€ por cada 1.00€ e por cada ano
– É uma taxa de juro de 10% por ano
97
A taxa de juro
• Como o juro incorpora 3 elementos
– A remuneração do capital (o juro real)
– A inflação
– O risco de não cobrança
• Em termos de taxas temos, num ano
Vfinal = Vinicial x (1+ ) x (1 + R) / (1 - p)
1+ r = (1+ ) x (1 + R) / (1 - p)
98
Exercício
• 2) Eu empresto 1000€, durante 1 ano.
– A inflação (prevista) é de 2% por ano
– O juro real (acordado) é de 1.5% por ano
– O risco de não cobrança é de 3% por ano
• Qual deverá ser a taxa de juro?
• Quanto dinheiro vou receber?
99
Exercício
A taxa de juro deve ser de 6,687%:
1+r = (1+ 0,02) * (1 + 0,015) / (1 – 0,03)
r = 6,687% por ano
Devo exigir receber (daqui a um ano)
V1 = 1000 x (1+ 0.02) x (1 + 0.015) / (1 – 0.03)
V1 = 1000 x (1+ 6.687% )
= 1066.87€ com 97% de prob.
Os juros serão 66,87€.
100
Exercício
Vou receber
1066,87€ com probabilidade de 97%.
0,00€ com probabilidade de 3%.
A soma das parcelas daria 6,500%
2,0%+1,5%+3,0% = 6.5%
A taxa correcta é 6,687%
Quanto mais pequenas forem as parcelas, menor será
a diferença
101
A taxa de juro e o prazo
(fiquei aqui)
102
A taxa de juro
• Assumir um juro proporcional à duração
do tempo e à quantidade emprestada tem
problemas
– O risco de grandes somas é mais que
proporcional ao risco das pequenas somas
• Por causa da diversificação do risco
– O risco de longos prazos é mais que
proporcional ao risco dos curtos prazos
• O futuro distante é menos previsível
103
A taxa de juro
• Mesmo assim, usa-se como referência
para o juro uma taxa por unidade de
tempo, normalmente o ano.
– e.g. 4.47%/ano
• Podendo haver ajustamentos ao prazo e
ao valor
– prazos mais longos terão uma taxa de juro
mais elevada por ano
104
Taxas de referência
105
EURIBOR
– É a taxa de juro por ano que os bancos sem
risco (first class credit standing) emprestam
euros entre si
• De todos os contractos retiram-se os melhores e
os piores 15%
• Reuters calcula a média dos restantes 70%
– É uma referência nos contratos com taxa de
juro variável (e.g., crédito à habitação).
106
EURIBOR
EURIBOR a 6 meses entre Jan2000 e Ag2015
107
EURIBOR
• Taxa EURIBOR
– Como é uma taxa sem risco, os particulares
acrescem um Spread à sua taxa que é a
previsão que o credor tem do risco de não
cobrança de cada cliente.
– Os depositantes recebem menos que a
EURIBOR – “pagam” os serviços bancários
108
Terceira Aula
24/25 Set
109
Capitalização
110
Capitalização
• A taxa de juro é referida a uma unidade de
tempo, normalmente um ano.
– Se a duração do contrato for de vários anos
mas os juros forem pagos no final de cada
ano
– Estamos sempre a voltar à situação inicial.
• Esta é a situação dita normal.
111
Capitalização
• Emprestei 1000€ em 1/1/2013 à taxa de
juro de 3,500%/ano pelo prazo de 5 anos.
Data
31/12/2013
31/12/2014
31/12/2015
31/12/2016
31/12/2017
Recebo
-> 35,00€
-> 35,00€
-> 35,00€
-> 35,00€
->1035,00€
Capital
1000€
1000€
1000€
1000€
0€
112
Capitalização
• Se os juros forem pagos apenas no fim do
prazo contratado (de vários anos)
• Cada ano, o capital em dívida vai
aumentando
• Esta é a situação capitalizada.
113
Capitalização simples
114
Capitalização simples
• Neste caso, desprezamos os juros dos
juros.
• É como se cada ano recebêssemos os
juros.
115
Capitalização simples
• No final de n anos, receberemos
Jtotal = Vo  n  r
Vfinal= Vo +Jtotal = Vo  (1+ nr)
rtotal = n  r
r é a taxa de juro anual nominal
116
Exercício
• Ex.1.4. Um empréstimo de 15k€ a 3 anos à
taxa de juro nominal fixa de 2,50%/ano e
que os juros seriam pagos no final do prazo
com capitalização simples.
• Qual o capital final a pagar?
• Quanto será pago de juros?
117
Exercício
•
•
•
•
R. O capital final a pagar será:
=15000*(1+3*2,50%)
=15000*(1+7,50%)
=16125€
• De juros serão pagos:
• =15000*7,5% = 1125€
118
Exercício
• Ex.1.5. Um empréstimo de 15M€ a 3 anos
em que os juros são pagos no fim do
período, capitalização simples.
– Spread de 2 pontos percentuais
• A taxa de juro foi 0,754%/ano; 0,617%/ano
e 0,465%/ano, respectivamente.
• Qual o capital final a pagar?
119
Exercício
• R. O capital final a pagar será de:
=15000*(1 + 2,754% + 2,617% + 2,465%)
= 16175,40€.
Os juros serão:
=15000*(2,754% + 2,617% + 2,465%)
= 1175,40€.
120
Período de tempo fraccionário
Se a duração do empréstimo for menor que
a unidade de tempo (normalmente, o ano),
com capitalização simples, divide-se o juro
proporcionalmente ao tempo.
121
Período de tempo fraccionário
Ex.1.6. Emprestei 25000€ durante 3 meses à taxa
de juro de 3,760%/ano.
Com capitalização simples, quanto será o capital
final?
Quanto será o valor de juros?
122
Período de tempo fraccionário
R. O capital final será
=25000 * (1+3,760%*0,25)
= 25235,00€.
Os juros serão:
=25000 * (3,760%*0,25)
= 235,00€
123
Período de tempo fraccionário
Ex. Emprestei 1000€ durante 25 dias à taxa de
juro de 2%/ano. Com capitalização simples,
quanto vou receber no fim do prazo?
=1000 x (1 + 0,02 * 25/365) = 1001.37€
124
Capitalização Composta
125
Capitalização Composta
• Neste caso, são contabilizados os juros
dos juros.
• É a forma correcta de calcular os juros
mas, por imposição legal, pode ser
necessário usar a capitalização simples
126
Capitalização
• Emprestei 1000€ em 1/1/2013 à taxa de
juro de 3,500%/ano pelo prazo de 5 anos.
• Sabendo que o capital e juros são pagos
no fim do prazo e que a capitalização é
composta, determine
• i) o capital final a pagar.
• ii) o total de juros pagos.
127
Capitalização
• Em T= 0, o capital são 1000€
• Em T= 1 (ao fim do primeiro ano) juntei ao
capital 35€ de juros, =1000€*3,5%:
=1000,00€*(1+3,5%) = 1035,00€
128
Capitalização
• No instante 2 (ao fim do segundo ano)
juntei ao capital 36,23€ de juros,
=1035€*3,5%:
=1035,00€*(1+3,5%) = 1071,23€
129
Capitalização
• Continuando, teria ao fim dos 5 anos
=1000*(1+3,5%) *(1+3,5%) *(1+3,5%)
*(1+3,5%) *(1+3,5%)
= 1000*(1+3,5%)^5
=1187,69€
130
Capitalização
• O óptimo é fazer isto no Excel
• Vou fazer uma Conta Corrente
131
Capitalização
• Emprestei 1000€ em 1/1/2014 à taxa de
juro de 3,500%/ano pelo prazo de 5 anos.
132
Capitalização
• C2: =B2*3,5%
• B3: =B2+C2
• Depois, copio estas formulas ao longo das
colunas e elas vão-se adaptando
133
Capitalização Composta
• Cada ano, os juros acrescem ao capital
Jt+1 = Vt  r
Vt+1 = Vt + Vt  r = Vt (1+ r)
• No ano seguinte, vencem juros.
Vt+2 = Vt+1  (1+ r)
= Vt  (1+ r)  (1+ r)
= Vt  (1+ r)2
134
Capitalização Composta
• A capitalização simples despreza as
parcelas de ordem superior( r2 = os juros
dos juros).
Vt+2 = Vt  (1+ r)2
Vt+2 = Vt  (1+2  r + r2)
Se r for pequeno, r2 é insignificante
135
Capitalização Composta
• Cada ano, os juros acrescem ao capital,
no final de n anos, receberemos
Vfinal = Vinicial (1 + r)n,
A taxa de juro total a receber no final dos
n anos vem dada por:
Vinicial (1 + rtotal) = Vinicial (1 + r)n,
rtotal = (1 + r)n - 1
136
Exercício
• Ex.1.8. Emprestando 25M€, a 5 anos à
taxa de 5% ao ano, juros e capital a pagar
no fim dos 5 anos com capitalização
composta.
i) Qual o capital final a receber
ii) Determine a taxa de juro dos 5 anos e
compare com a capitalização simples.
iii) Qual a taxa de juro para, em capitalização
simples, dar o mesmo capital final.
137
Exercício
• i) O capital final a receber será
25000 (1 + 5%)5 = 31907,04€
• ii) A taxa de juro do contrato será
(1+5%)5 –1 = 27,628%
com capitalização simples seria menor
= 5x5% = 25%
138
Exercício
• iii) Para nos 5 anos resultar os mesmos
juros usando capitalização simples, a taxa
de juro nominal teria que ser maior:
=27,628%/5
=5,526%/ano
(e não 5,000%/ano)
139
Referências amarradas
• Ex.1.9. Num crédito a 3 anos de taxa de
juro variável, juros e capital pagos no fim
do prazo.
• A taxa de juro de 0,754%/ano; 0,617%/ano
e 0,465%/ano, a que acrescentam 2 pp.
• Qual o capital final a pagar com
– Capitalização simples e composta
– O total de juros dos juros
140
Referências amarradas
• Vou fazer no Excel para introduzir as referências
amarradas.
• Já vimos que, quando copiamos as expressões,
as referências mudam
– Acrescenta um número se copiamos para baixo
– Acrescenta uma letra se copiamos para a direita
• Se amarrarmos com $, a referencia não
muda
141
142
Referências amarradas
• C9: =B9+B$7/100 D9: =C9 E9: =1+C9
• Copiava as 3 expressões até à linha 11
•
•
•
•
D12: =B6*(1+D9+D10+D11)
E12: =B6*E9*E10*E11
D13: =D12-$B$6 e copiava para E13
E14: =E13-D13
143
Conta Corrente
• Vou usar uma conta corrente em que, em
vez de usar um instante de tempo, vou
considerar anos em que cada ano tem um
início (0h00 do dia 1Jan) e um fim (24h00
do dia 31Dez)
O instante 24h00 do dia 31Dez do ano 1 é igual ao
instante 0h00 do dia 1Jan do ano 2
144
Conta Corrente
• C21: =B21+B$7/100 E21: =D21*C21
• F21: =D21+E21 D22: =F21
145
Quarta Aula
29 Set
146
Tempo fraccionado
147
Período de tempo fraccionado
• Na expressão da taxa de juro capitalizada
de forma simples: rtotal = n*r
• Já vimos que n pode ser uma fracção do
ano, por exemplo, um mês.
• Ex. Para uma taxa de juro de 4,5%/ano,
termos =4,5%/12 = 0,375%/mês
148
Período de tempo fraccionado
• Na expressão da taxa de juro capitalizada
de forma composta: rtotal = (1 + r)n - 1
• O número de anos é inteiro.
• No entanto, também podemos extrapolar o
conceito de capitalização composta a
fracções do ano.
149
Exercício
• A taxa anual é a capitalização 12 meses
da taxa mensal
r.anual = (1 + r.mensal)^12 -1
r.mensal =(1+ r.anual) ^(1/12) -1
• Ex. Uma taxa de juro anual de 4,5%/ano
corresponde a uma taxa mensal de:
=(1+4,5%)^(1/12) – 1 = 0,367481%/mês
150
Exercício
• Se capitalizarmos esta taxa 12 meses,
teremos que obter a taxa de juro anual de
4,5%/ano:
=(1+ 0,367481%/)^12 – 1
= 4,500001%/ano
Tem um erro de arredondamento
151
Período de tempo fraccionário
• Posso passar de uma unidade de tempo
qualquer para outra, por exemplo, ano para
trimestre.
• Ex. Emprestei 1000€ durante 3 meses a
uma taxa anual de 5,000%/ ano, quanto
vou receber de juros (cap. composta):
152
Período de tempo fraccionado
i = (1 + 5,000%)^0,25 – 1 = 1,227%/trim
– 3 meses correspondem a 0,25 anos.
• Vou receber 12,27€ de juros
• Se capitalizasse esta taxa 4 vezes, obtinha
os 5,000%/ano (aproximadamente, por causa
do arredondamento)
=(1 + 1,227%)4 – 1 = 4,999073%/ano
153
Período de tempo fraccionado
• Num empréstimo a 5 anos, foi acordada
uma taxa de juro total de 25%. Supondo
que os juros são pagos trimestralmente,
qual será a taxa de juro trimestral?
– Vou passar de 5 anos para trimestral
154
Período de tempo fraccionado
• R. Um trimestre será 1/20 do período total
do contrato pelo que a taxa de juro
trimestral será dada por
(1 + 25%)^(1/20) – 1 = 1,122%/trimestre.
155
Valor Futuro
156
Valor Futuro = Valor capitalizado
• Muitas vezes eu tenho que comparar
recursos escassos disponíveis em períodos
de tempo diferentes.
• O mais simples é comparar uma soma
disponível no presente com outra soma
disponível daqui a n anos.
157
Valor Futuro
• Umas tias propõem-se a dar-vos agora
1000€ ou 1200€ quando acabarem a
licenciatura.
• É preciso comparar estas duas somas que
estão disponíveis em instantes diferentes?
• O que será melhor?
158
Valor Futuro = Valor capitalizado
• Para comparar vou usar a taxa de juro
como “taxa de câmbio” entre o presente e o
futuro.
• O valor futuro é o valor capitalizado do
valor presente
159
Valor Futuro
• 1.16. Umas tias propõem-se a dar-vos
agora 1000€ ou 1200€ quando acabarem a
licenciatura.
• Supondo que conseguem financiamento /
depositar a uma taxa de juro de 10%/ano,
qual a soma de dinheiro mais apetecível?
160
Valor Futuro
• R. O valor futuro dos actuais 1000€ daqui a
3 anos será
1000(1+10%)^3 = 1331€
que é maior que os 1200€
Os 1000€ agora valem mais que os 1200€
daqui a 3 anos
• Então, será melhor receber os 1000€ já.
161
Valor Futuro
Ex.1.12. Um indivíduo deposita no início de
cada mês 250€ durante 480 meses.
– As prestações são antecipadas
Antecipada -> paga no principio do período
Postecipada -> paga no fim do período
162
Valor Futuro
Para uma taxa de juro de 4%/ano, determine
o valor futuro total das parcelas poupadas
(i.e., quanto dinheiro terá no fim dos 480
meses).
163
Valor Futuro
Vou fazer uma conta corrente no Excel:
164
Valor Futuro
Uso a ferramenta “Series” para preencher os
meses de 1 até 480.
B5: =B$2; C5: =B5+E4; D5: =C5*B$1 e
E5: =C5+D5 e copio até à linha 484.
O resultado capitalizado está na célula E484
(que formatei a amarelo).
165
Valor Futuro
A conta Corrente, sendo conceptualmente
simples, está menos sujeita a erros de
análise.
166
Valor Futuro
Também posso calcular o valor futuro
(capitalizado) de cada prestação:
O valor futuro de 250€ depositados no início
do mês m é
( 480m1)
VFm  250.(1  0,327374%
)
O +1 é por o depósito ser “antecipado”
167
Valor Futuro
Tenho que somar as 480 parcelas
O valor futuro total valerá
480

VF   250(1  0,327374%
)
( 480 i 1)

i 1
Resolvo no Excel.
168
Valor Futuro
G5: =B5*(1+$B$1)^(480-A5+1) e copio em coluna
C485: =SUM(G5:G484)
169
Referencia para taxas de juro
de longo prazo
• Ex.1.13. Investimento = 200M€,
arrendamento pago no fim de cada ano,
crescente à taxa de inflação prevista pelo
BCE (1,90%/ano),
• Amortização em 50 anos
• Taxa de juro é a taxa austríaca a 50 anos
mais um spread de 2,0 pontos percentuais.
170
Valor Futuro
• Taxa de juro austríaca a 50 anos do dia de
assinatura do contrato foi de 1,728%/ano.
171
Valor Futuro
• Nas células a verde estão as expressões,
B5: =B2+B3; D8: =B8*B$5; E8: =B8C8+D8; B9: =E8 e C9: =C8*(1+B$4), que
copio para baixo.
• Finalmente, uso a ferramenta Goal Seek.
• A primeira prestação são 6,208M€ e a
última são 15,613M€.
172
Quinta Aula
1 Out
173
Valor Actual
Desconto
174
Desconto
• Sendo que capitalizar é andar para a
frente no tempo
• Descontar é andar para trás no tempo
• É, na taxa de juro capitalizada de forma
composta: rtotal = (1 + r)n - 1, assumir um
número negativo de anos
175
Desconto = Valor passado
• Em termos económicos, pode traduzir o
valor passado de uma quantidade de
dinheiro presente
– Eu recebi hoje 1000€ de um valor que
emprestei há 10 anos a 4% ao ano. Qual o
capital que eu emprestei?
176
Desconto = Valor actual
1000 V * (1  4%)
10
 V  1000* (1  4%)
10
 V  675,56€
• Também pode traduzir o valor actual (no
presente) de uma quantidade de dinheiro
que vou ter disponível no futuro
177
Desconto = Valor actual
• Ex. No meu emprego, vão-me dar de prémio
100€, pagos daqui a 10 anos.
• Para uma taxa de juro de 6% ao ano, esses
100€ de daqui a 10 anos valem no presente
100€ x 1,06^-10 = 55,84€.
178
Desconto = Valor actual
• Em termos financeiros traduz que existe uma
equivalência entre os 100€ futuros (disponíveis
daqui a 10 anos) e os 55,84€ disponíveis agora
179
Desconto = Valor actual
• Ex.1.18. Numa linha de crédito LTRO do
BCE com taxa de juro de 1,0%/ano, um
banco pediu um crédito a 3 anos para o
qual usa como garantia um conjunto de
créditos imobiliários no valor de 100M€.
• O BCE usa nos créditos imobiliários deste
tipo uma taxa de desconto de 10%/ano
• Determine o valor máximo que o banco
conseguirá obter de crédito.
180
• Os 100M€ vão ter que ser descontados
(aos presente) à taxa de 10%/ano.
• C0 = 100*(1+10%)^-3 = 75,131M€
• Conseguirá, no máximo, um crédito de
75,131M€ (um desconto de quase 25%).
• No final dos 3 anos, se o Banco no
entretanto falir, os activos ficam para o
BCE (no valor de 100M€ ou já poderão
estar desvalorizados).
181
Desconto = Valor actual
• Ex.1.22. Um indivíduo depositou num
banco em 1940 uma soma. Sendo que
decorridos 68 anos o banco devolveu
1milhão€ em 2008, para uma taxa de
desconto de 3,5%/ano, qual terá sido a
soma depositada?
182
Desconto – Valor actual
V  1000000* (1  3,5%)
68
 V  96395,38€
• R. Descontando 1milhão€ para 1940,
temos = 96395.38€.
183
Desconto = Valor actual
• Ex.1.21. Um sortudo ganhou numa lotaria
um prémio e deram-lhe a escolher receber
350k€ agora ou 1000€ no fim de cada
mês dos próximos 50 anos.
• Determine a taxa de juro implícita nesta
opção
184
Desconto = Valor actual
R. Vou descontar cada um dos 1000€ ao
presente, somá-las todas e aplicar a
ferramenta atingir objectivo.
185
Desconto = Valor actual
B2: =(1+B1)^(1/12)-1; B6: =B$3;
C6: =B6*(1+B$2)^-A6; C4: =SOMA(C6:C605)
186
Desconto = Valor actual
Goal Seek = Atingir Objectivo
Menu Data+ Data Tools + what if analysis
187
Desconto = Valor actual
• Ex. Uma empresa pretende comprar ou
arrendar um terreno num contrato de 150
anos para a produção de cortiça.
• A plantação custa 1000€/ha
• A manutenção custa 100€/ha/ano
• A cortiça retira-se inicialmente aos 25 anos e,
depois, a cada 9 anos até aos 150 anos.
• A primeira arranca vale 3000€/ha e aumenta
3%/ano.
188
Desconto = Valor actual
• i) Para uma taxa de desconto de 3%/ano,
determine o preço limite que a empresa
pode pagar pelo terreno (+- 1,65€/m2)
– Ao fim de 150 anos, o terreno não tem valor
• ii) Em alternativa, o terreno pode ser
arrendado. Determine o valor limite que a
empresa pode pagar pela renda (+0,05€/m2/ano)
189
Desconto = Valor actual
190
Desconto = Valor actual
• iii) Suponha que o terreno no fim do
contrato vale o mesmo que vale agora.
Determine como isto altera os termos do
negócio.
• Acrescenta ao valor do terreno cerca de
0,02€/m2!
191