CURSO DE MATEMÁTICA
DISCIPLINA:
ÁLGEBRA
ASSUNTO:
FUNÇÕES E INEQUAÇÕES MODULARES
DICAS SOBRE GRÁFICOS DE FUNÇÕES EM MÓDULO
Exemplo 1: Esboçar o gráfico de f ( x ) =
( x − 3 )2 no plano cartesiano,
Fazendo-se g ( x ) = x − 3 ⇒ f ( x ) = | g ( x ) | .
Pela definição de módulo de um número real, teremos:
⎧se g ( x ) ≥ 0 ⇒ f ( x ) = g ( x ) ⇒ f ( x ) = x − 3
⎨
⎩se g ( x ) < 0 ⇒ f ( x ) = − g ( x ) ⇒ f ( x ) = − x + 3
Exemplo 2: f ( x ) =| x + 1 | + | x − 1 |
1º passo: fazer f ( x ) = g ( x ) + h( x ) ;
2º passo: analisar o comportamento algébrico de g(x) e de h(x) individualmente, ou seja:
⎧ x − 1, se x ≥ 1
⎧ x + 1, se x ≥ −1
e h ( x ) =| x − 1 | = ⎨
g ( x ) =| x + 1 | = ⎨
⎩ − x + 1, se x < 1
⎩ − x − 1, se x < −1
3º passo: Vamos construir um quadro, considerando três intervalos: x ≤ −1 , − 1 ≤ x ≤ 1 e x ≥ 1 .
Em cada um deles, estudaremos os valores de | x + 1 | , | x − 1 | e depois | x + 1 | + | x − 1 | :
⎧− 2 x , se x < −1
⎪
Assim, f ( x ) =| x + 1 | + | x − 1 |= ⎨ 2 , se − 1 ≤ x < 1
⎪ 2 x , se x ≥ 1
⎩
QUESTÕES SÉRIE AULA
b) Represente, no mesmo sistema cartesiano anterior, a função g(x) = a.| x | , sendo 0 < a < 1 , informando o
número exato de soluções reais para as quais g ( x ) =| | x − 4 | , ou seja, g(x) = f(x).
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1. (IBMEC-SP 2008 modificada) Considere a função f dada pela lei f(x) = | | x | – 4 |.
a) Esboce o gráfico da função f no sistema cartesiano fornecido abaixo.
2. (UFGO) Dada a função f definida por f ( x ) = x 2 − x 2 :
a) encontre as raízes da equação f(x) = 0.
b) determine os conjuntos domínio e imagem de f.
c) esboce o gráfico da função.
3. (UFES 2000 modificada) Sejam f e g as funções definidas para todo x ∈ IR por f(x) = x2 – 4x + 4 e g(x) = | x – 1 |.
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a) Determine f(g(x)) e g(f(x)) e respectivos domínios.
b) Esboce os gráficos das funções compostas f(g(x)) e g(f(x)) e informe os respectivos conjuntos imagem.
4.(FGV-SP 2007) Determine a área da região limitada pelas curvas: f(x) = | | x – 1 | – 1 | e g(x) = 2 –
( x + 1 )2 + x 2 ≤ x + 2 , no conjunto dos números reais.
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5. (FGV-SP 2005 modificada) Resolva a inequação
x
.
2
6. (UFF-RJ) Resolva, em IR, a inequação
1
x
2
≤
1
.
|x|
QUESTÕES SÉRIE CASA
C1) (FGV-SP 2008) Determine o conjunto solução da equação modular | x 2 − x − 6 | + | x 2 + x − 2 | = 0 .
C2) (ITA-SP 2007 modificada) Determine o conjunto solução da equação | | | x − 1 | − 3 | − 2 | = 0 .
x −|x|
, com x ∈ IR* :
2|x|
a) esboce o gráfico de f(x) no plano cartesiano.
b) determine o conjunto imagem de f(x).
c) determine os valores reais de x para os quais f(x) < 0.
C3) (Da Vinci 2008) Sendo f ( x ) =
C4) (Da Vinci 2008) Considere a função real de variável real dada por f ( x ) = 1 + 2 x + x 2 − 1 − 2 x + x 2 .
Determine os valores reais de x para os quais −1 ≤ f ( x ) ≤ 1 .
C5) (Da Vinci 2008) Esboce, para x real, o gráfico da função f ( x ) = 2 ⋅ | x | − | x − 1 | e determine suas raízes.
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C6) (Fuvest-SP)
a) Esboce, para x real, o gráfico da função f ( x ) =| x − 2 | + | 2 x + 1 | − x − 6 .
b) Para que valores reais de x temos f ( x ) > 2 x + 2 ?
c) Encontre as raízes de f(x).
RESPOSTAS SÉRIE AULA
1 b)
1 a)
Quatro soluções reais.
2 c)
2 a)
Raízes – 1, 0 e 1.
2 b)
1 ⎫
⎧
D = IR e Im = ⎨ y ∈ IR | y ≥ −
⎬
4 ⎭
⎩
3 a1) f ( g ( x )) =| x − 1 |2 − 4⋅ | x − 1 | + 4
f ( g ( x )) = ( x − 1 )2 − 4⋅ | x − 1 | + 4
f ( g ( x )) = x 2 − 2 x + 1 − 4⋅ | x − 1 | + 4
Como | x − 1 |2 = ( x − 1 )2 :
f ( g( x )) = x 2 − 2 x + 5 − 4⋅ | x − 1 |
⎧ x − 1 , para x ≥ 1
:
Como | x − 1 | = ⎨
⎩− x + 1, para x < 1
→
⎧⎪ x 2 − 2 x + 5 − 4 ⋅ ( x − 1 ) ⇒ f ( g ( x )) =
f ( g ( x )) = ⎨
⎪⎩ x 2 − 2 x + 5 − 4 ⋅ ( − x + 1 ) ⇒ f ( g ( x )) =
x 2 − 6 x + 9 , para x ≥ 1
x 2 + 2 x + 1 , para x < 1
⎧⎪ x 2 − 6 x + 9 , para x ≥ 1
f ( g ( x )) = ⎨
⎪⎩ x 2 + 2 x + 1 , para x < 1
3 a2) g ( f ( x )) =| ( x 2 − 4 x + 4 ) − 1 |
⎧⎪ g ( f ( x )) = x 2 − 4 x + 3
g ( f ( x )) =| x 2 − 4 x + 3 | ⇒ ⎨
⎪⎩ g ( f ( x )) = − x 2 + 4 x − 3
→
⎧⎪ x 2 − 4 x + 3
g ( f ( x )) = ⎨
⎪⎩− x 2 + 4 x − 3
para x 2 − 4 x + 3 ≥ 0
para x 2 − 4 x + 3 < 0
para x ≤ 1 ou x ≥ 3
para 1 < x < 3
⎧⎪ x 2 − 6 x + 9 , para x ≥ 1
f ( g ( x )) = ⎨
⎪⎩ x 2 + 2 x + 1 , para x < 1
Im = IR+
⎧⎪ x 2 − 4 x + 3
g ( f ( x )) = ⎨
⎪⎩− x 2 + 4 x − 3
para x ≤ 1 ou x ≥ 3
para 1 < x < 3
Im = IR+
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3 b)
4) Resolução:
⎧
f ( x ) =| | x − 1 | − 1 | ⇒ ⎨
⎩
⎧
f1 ( x ) =| x − 2 | ⇒ ⎨
⎩
f1 ( x ) = | ( x − 1 ) − 1 | = | x − 2 | , para x ≥ 1
f2 ( x ) = | ( − x + 1 ) − 1 | = | − x | = | x | , para x < 1
f3 ( x ) = x − 2 , para x ≥ 2
⎧
f2 ( x ) =| x | ⇒ ⎨
⎩
f4 ( x ) = − x + 2 , para x < 2
⎧ y = −x
⎪
Determinação do ponto A: ⎨
x
⎪⎩ y = 2 − 2
⇒ x = −4 e y = 4
144
42444
3
⎧ y = x −2
⎪
Determinação do ponto B: ⎨
x
⎪⎩ y = 2 − 2
2
8
e y=
⇒ x=
3
1434
42444
3
f5 ( x ) = x , para x ≥ 0
f6 ( x ) = − x , para x < 0
Determinação dos pontos C e D: dos cálculos anteriores, C(1, 1) e D(2, 0)..
A área sombreada “S” é igual a área do triângulo AOE menos as áreas dos triângulos OCD e DBE, ou seja:
2
2⋅
⎛ 4 ⋅ 4 ⎞ 2 ⋅1
S=⎜
− 3 ⇒
⎟−
2
⎝ 2 ⎠ 2
S=
19
3
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Resposta: 19/3.
5) Resolução: Considerando
64
4744
8
( x + 1 )2 + x 2 ≤ 1
x2
+3
2 ⇒ f ( x ) ≤ m( x )
144
42444
3
m( x )
f(x)
f ( x ) = ( x + 1 )2 + x 2 ⇒ f ( x ) = | x + 1 | + |{
x|
123
g (x)
–1
h (x)
0
g(x)
–x–1
x+1
x+1
h(x)
–x
–x
x
f(x)
– 2x – 1
1
2x + 1
Esboçando os gráficos de f(x) e g(x) no mesmo sistema cartesiano:
A região sombreada indica que, para os valores de x específicos dela, f ( x ) ≤ m( x ) , ou seja: −1 < x < 1 .
Assim,
( x + 1 )2 + x 2 ≤ x + 2 tem como conjunto solução: S = { x ∈ IR | − 1 < x < 1 }
Resposta: 5) S = [ −1; 1 ] .
6) Resolução:
1
x
2
≤
1
⇒ x2 ≥ | x | ⇒ x2 − | x | ≥ 0
|x|
Considerando f ( x ) = x 2 − | x | , x ≠ 0 e analisando graficamente f ( x ) ≥ 0
⎧⎪ x 2 − x , se x > 0
Como x 2 − | x | = ⎨
⎪⎩ x 2 + x , se x < 0
S = { x ∈ IR | x ≤ −1 ou x ≥ 1 }
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Esboçando o gráfico de f(x) teremos, para f ( x ) ≥ 0 .
RESPOSTAS SÉRIE CASA
C1) S = { – 2 }.
C2) S = { – 4; 0; 2; 6 }.
C3 b) Im = { – 1 ; 0 }
C3 a)
C3 c) f ( x ) < 0 ⇒ x < 0 (observação gráfica).
⎡ 1 1⎤
C4) ⎢ − , ⎥
⎣ 2 2⎦
C5) Raízes – 1 e 1/3 .
C6) a)
b) Somente para x < −
5
7
e x= .
4
2
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c) x = −
7
.
6