Matéria
Título
Ensino Médio
Matemática
Professor(a)
Roberto P. Moisés
INTERSECÇÃO DE RETAS
Nome
No
2a série -
PONTO DE EQUILÍBRIO
Em vários negócios, a relação entre o custo C de produção e o número x de itens produzidos
pode ser expressa por uma equação linear. Similarmente, algumas vezes, a relação entre a receita R
obtida com as vendas e o número x de itens produzidos pode ser expressa por uma equação linear.
Quando o custo C de produção ultrapassar a receita R obtida com as vendas, o negócio estará operando
no prejuízo; quando a receita R ultrapassar o custo C, haverá então lucro; e quando a receita R e o
custo C forem iguais, não haverá nem lucro nem prejuízo. O ponto que corresponde a R = C, isto é,
o ponto de interseção das duas retas, é geralmente denominado ponto de equilíbrio em negócios.
Determinando o Ponto de Equilíbrio
A empresa Sweet Delight Candies, Inc., tem um custo fixo diário de US$300 com salários e
manutenção da fábrica. Cada libra de bombons produzidos custa US$ l e é vendida a US$2.
(a) Determine o custo de produção C para x libras de bombons.
(b) Determine a receita R obtida pela venda de x libras de bombons.
(c) Qual é o ponto de equilíbrio? Isto é, quantas libras de bombons devem ser vendidas diariamente,
para garantir que não haja nem prejuízo nem lucro?
(d) Esboce o gráfico de C e de R, em função de x, e indique o ponto de equilíbrio.
SOLUÇÃO
(a) O custo de produção C é o custo fixo de US$ 300 mais o
custo variável de produção de x libras de bombons a US$ l
por libra. Isto é,
C = US$ l . x + US$ 300 = x + 300
(b) A receita R obtida com a venda de x libras de bombons a
US$ 2 por libra é
R=US$ 2 . x =2x
(c) O ponto de equilíbrio é o ponto que corresponde a
R = C. Fazendo R = C, obtemos
2x = x + 300
x = 300
Portanto, devem ser vendidas 300 libras de bombons para
estar em equilíbrio.
(d) A Figura acima mostra os gráficos de C e de R, bem como o ponto de equilíbrio. Observe
que, para x > 300, a receita R sempre supera o custo C, resultando assim em lucro. Similarmente,
para x < 300, o custo supera a receita, resultando em prejuízo.
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Os Problemas 1- 5 envolvem pontos de equilíbrio.
Nos problemas 9-12, determine o ponto de equilíbrio entre o custo de produção C e a receita
R. Esboce o gráfico de cada resultado. Indique o ponto de equilíbrio, bem como a região onde se
obtém lucro e onde se obtém prejuízo
1.
C=10x + 600
R=30x
2.
C= 1800x + 3000
R= 2500x
3.
Ponto de Equilíbrio
Um fabricante produz itens a um custo diário de $0,75 por item e os vende por $ 1 o item. O
encargado operacional diário é de $ 300. Qual é o ponto de equilíbrio? Esboce o gráfico do seu
resultado.
4.
Ponto de Equilíbrio
Se o fabricante do problema 3 for capaz de reduzir o custo por item para US$ 0,65, mas às
custas de um aumento do encargo operacional diário para $ 350, será vantajosa essa mudança?
Justifique. Esboce o gráfico do seu resultado.
5.
Lucro com a Entrega a Domicílio aos Domingos
O Búfalo Tribune entrega o jornal dominical, na porta de sua residência, pelo preço de $ 1,79 por
exemplar. O custo para a empresa pela entrega dominical a domicílio é de aproximadamente
$ 0,53 por exemplar do jornal, com um custo fixo de $ 1.070.000.
(a) Determine a receita R pela entrega de x jornais.
(b) Determine o custo C da entrega de x jornais.
(c) Determine o lucro P pela entrega de x jornais.
(d) Determine o ponto de equilíbrio.
(e) Esboce os gráficos R e C juntos e assinale o ponto de equilíbrio.
(f) Esboce o gráfico de P e assinale a sua interseção com eixo dos x.
(g) Comente sobre a relação entre o ponto de equilíbrio e a interseção com o eixo dos x.
Os problemas 6-9 envolvem economia.
Nos problemas 6 e 7 determine o preço de mercado para cada par de equações do tipo oferta
e demanda.
6 . S= p+1
D=3–p
7. S= 40p + 300
D = 1000 – 30p
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8. Preço de Mercado do Açúcar As equações de ofertas e demanda para o açúcar têm sido estimadas
por meio das equações
S=0,7p + 0,4
D=–0,5p + 1,6
(a)
(b)
(c)
(d)
Determine o preço de mercado.
Qual é a demanda, a este preço de mercado?
Esboce o gráfico das equações de oferta e de demanda.
Interprete o ponto de interseção das duas retas.
9. Problema de Oferta e Demanda
O preço de mercado para um certo produto é de $ 5,00 por unidade e ocorre quando 14.000
unidades são produzidas. Ao preço de $ 1, nenhuma unidade é produzida, e ao preço de $ 19,00
nenhuma unidade será adquirida. Determine as equações de oferta e de demanda, supondo que
elas sejam lineares.
2009/inter_retas/edf
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