Lista de Exercícios Sobre Curvas e Superfícies
1. Esboce a curva c(t) = (t + 1)2 , et . Encontre a reta tangente em (1, 1) e esboce juntas.
2. Identique e escreva a forma reduzida da cônica γ(t) = (2 cos t, 1 + sent).
3. Esboce o gráco da função através dos grácos das funções elementares.
1
(a) y(t) = 2 cos t + 1
(b) f (x) = 12 et+1
(c) y(x) = x+1
+1
(d) γ(t) = sen(−t).
4. Esboce o cardioide ρ(θ) = 1 + cos θ, sem usar a conversão para coordenada cartesiana.
5. Obtenha a curva em coordenada cartesiana das curvas polares.
(a) r(θ) = cosθ θ
(b) ρ(θ)=1+cos θ
6. Obtenha a coordenada polar do gráco da função y(x) = 1 − x2 .
7. Usando a técnica da curvas de nível, esboce o gráco de
(a) z(x, y) = 2x2 + y 2 − 1
(b)z(x, y) = ex
8. Esboce o gráco da função f sobre a curva c(t).
(a) f (x, y) = x2 − y 2 e c(t) = (t, 1)
(b) f (x, y) = ex
2 +y 2
2 +y 2
.
e c(t) = (cos t, sent).
9. Escreva a equação implícita e paramétrica das curvas e esboce os seus traços.
(a) Elípse com centro em (1, 2), raio maior 3, raio menor 1 e eixo paralelo ao eixo Y .
(b) Gráco da função y(x) = ex + 1.
(c) Curva formadas pelos pontos do plano cartesiano na qual o dobro do quadrado da primeira
coordenada é igual ao cubo da segunda coordenada.
10. Encontre a reta tangente as curvas no ponto indicado e esboce junto ao traço das curvas (continuação
do exercício 1).
(a) ρ(θ) = θ2 para θ = π
11. Encontre os limites caso exista. Justique, caso contrário
(a) lim e , ln t
t
t→0
(b) lim+
t→1
t+1 t+1
,
t2 − 1 ln t
12. identique a cônica, escreva a forma reduzida e paramétrica e esboce (continuação do exercício 2).
2
(a) x2 + y4 = x
(b) ρ(θ) = −3
13. Identique e esboce as quádricas.
2
(a) x2 + y4 + z 2 = 4x
(b) z + x2 + y 2 + y = 1
(c) x2 + z 2 = 1
(b) −z 2 + x2 + y 2 = 1
14. Considere a função z(y) = y1 . Obtenha a parametrização e a forma implícita da superfície de rotação
do gráco desta função em torno do eixo Z . Esboce esta superfície. Repita para o caso da rotação em
torno do eixo Y .
√
15. Encontre a parametrização do cilindro obtido pela translação da curva c(t) = t2 , et , 3 t na direção de
~v = (1, 2, −1).
16. Obtenha a forma implícita do cilindro com curvas base x − ez = 0 com reta diretriz paralela ao eixo
Y . Esboce esta superfície.
2
17. Encontre a parametrização da cone z 2 = x2 + y 2 , usando a rotação da reta adequada.
18. Obtenha a parametrização da superfície de rotação da curva γ(t) = (t3 , t2 , 0) em torno do eixo Y .
(
x2 + y 3 = 1
19. Obtenha a forma implícita da superfície de rotação da curva
z=3
em torno do eixo X .
Entregar 6 exercícios da lista ou do livro: curvas, superfícies de rotação, curvas de níveis e mais 3 a sua
escolha. Considerar um ítem como um exercício.