Alguns exemplos de problemas resolvidos
Partilhamos contigo alguns problemas e respetivas resoluções que selecionámos,
para ilustrar todo este desafiante processo de resolução de problemas. Vais reparar
que, em algumas resoluções, as novas tecnologias (sobretudo as que temos mais à
mão como o Excel ou o GeoGebra) dão uma ajuda preciosa na resolução dos
problemas. Mas também partilhamos contigo alguns problemas resolvidos com papel
e lápis e mais nada, a não ser a cabeça.
Na verdade, já tens disponíveis outros exemplos de problemas resolvidos noutros
posts deste blogue (vê aqui e aqui), mas nós queremos, mesmo assim, partilhar
contigo mais algumas ideias que te podem ser úteis sempre que te depares com
desafios como os do Vilhenas15. Podes começar, desde logo, por tentar resolver
estes problemas antes de espreitares as resoluções que te apresentamos!
A inauguração do restaurante
“Sombrero Style”
O Restaurante Sombrero Style foi ontem inaugurado e
eu estive lá a jantar com três amigos. A capacidade máxima de clientes – disse
o gerente – é de 100 pessoas.
Por sorte tinha reservado uma mesa para 4, pois quando cheguei já estavam
várias mesas completas com quatro pessoas e uma mesa com apenas três
pessoas.
Enquanto esperava pelo empregado para nos levar à mesa, contei as mulheres
e os homens que estavam no restaurante e o número de mulheres era
exatamente igual ao dobro do número de homens.
Qual poderia ser o máximo número de pessoas que já estavam no restaurante
quando eu entrei?
Problema 8 da edição de 2009/2010 do Campeonato de Resolução de Problemas - Sub 14,
organizado pela Universidade do Algarve.
Este é um problema de contagem, que permite resoluções algébricas, com papel e
lápis, e resoluções com recurso ao Excel. Podes ver de seguida duas estratégias
diferentes, ambas com recurso ao Excel.
Resolução de um participante no SUB14
Pelo enunciado, sei que o número total de pessoas que cabem no restaurante é igual
a 100. Como eu contei o número de pessoas que estavam no restaurante, à exceção
de mim e dos três amigos com quem fui, então, no total, as restantes pessoas são, no
máximo
.
Sei ainda que o número de mulheres é igual a duas vezes o número de homens e que
as pessoas estão distribuídas por várias mesas com 4 pessoas e por apenas uma
mesa com 3. O que pretendo descobrir é qual o número máximo de pessoas que
poderiam estar no restaurante. Para resolver este problema, posso recorrer ao Excel.
Numa 1ª coluna, coloco o possível número total de pessoas presentes no restaurante.
Na 2ª e 3ª colunas, separo as pessoas por sexos, colocando o número de homens e
de mulheres que poderiam estar no restaurante. Como o número de mulheres é duas
vezes o número de homens, sei que, no total de pessoas, um terço são homens e
dois terços são mulheres. Assim, na 2ª coluna (a dos homens) multiplica-se o valor
total de pessoas por e na 3ª coluna (a das mulheres) por .
Noutra tabela, construo duas novas colunas, nas quais considero o número de
pessoas que ocupam mesas com 4 lugares e o número de pessoas que ocupam
mesas com três lugares. Na coluna “Mesas 4” vou indicando o número de pessoas
sentadas em mesas de 4, conforme o número de mesas vai aumentando, isto é, vou
representando múltiplos de 4. Na coluna “Mesa 3” já não faço nada disto porque
apenas existe uma mesa com 3 pessoas. Numa terceira coluna, calculo a soma das
colunas anteriores para obter o número total de pessoas que estão no restaurante,
ocupando um determinado número de mesas com 4 lugares e uma mesa com 3
lugares. Sei que este número não ultrapassa 96, por isso, começando pelos valores
maiores, pois pretendo o número máximo, procuro números que estejam em comum
nos totais das duas tabelas que construí.
Concluo assim que o número máximo de pessoas sentadas no restaurante é 87 (84
pessoas sentadas em mesas de 4 lugares e 3 sentadas numa mesa de 3, sendo 29
do sexo masculino e 58 do sexo feminino).
Mas as estratégias de resolução, mesmo recorrendo à mesma tecnologia, podem ser
muito diversificadas. Vejamos agora outra resolução deste mesmo problema em que
são usados não só cálculos como também expressões algébricas para traduzir as
condições do problema.
Resolução de um participante no SUB14
Começo por definir na 1ª coluna o número de mesas ocupadas com 4 pessoas. Na 2ª
coluna, apresento o total de pessoas, que é igual a cada número da 1ª coluna
multiplicado por 4 e adicionado a 3 (só há uma mesa com três pessoas, isto é, o
número de mesas com 3 pessoas é fixo).
Como o enunciado refere que o número de mulheres é duas vezes o número de
homens, o número total de pessoas no restaurante (que eu posso ver como sendo
três vezes o número de homens) tem de ser um múltiplo de 3. Assim, na 3ª coluna
refiro se o número total obtido na coluna anterior é múltiplo de 3 ou não. Coloco na 4ª
coluna apenas os valores aceites, cumprindo essa condição.
Nas restantes duas colunas calculo
do número total de pessoas para obter o
número de homens e do número total de pessoas para obter o número de mulheres.
De seguida, apenas tenho de procurar o número maior (desde que seja menor que 96
pois eu e os meus 3 amigos, a juntar a 96, dá 100, a lotação máxima do restaurante)
que tenha cumprido todas as condições consideradas, obtendo o número 87 (29
homens e 58 mulheres) para número total de pessoas presentes no restaurante.
Mostramos a seguir outra resolução deste problema, seguindo uma estratégia
algébrica e utilizando apenas papel e caneta.
Subindo escadas
A casa do João tem uma escadaria com 10
degraus. O João sobe-a de diversas maneiras,
dando passos de um degrau ou saltando por
cima de um degrau.
De quantos modos diferentes pode o João subir
as escadas nestas circunstâncias?
Adaptação de uma tarefa do site: http://nrich.maths.org
Uma possível forma de resolver este problema é fazer um desenho que represente a
situação do problema. Com a ajuda do desenho, podemos encontrar uma regularidade
nas possíveis formas de subir as escadas e perceber o que se passará no caso geral.
Posso começar por representar a forma de subir as escadas se elas tiverem 1, 2 ou 3
degraus para verificar as possibilidades que existem. Assim, se eu conseguir encontrar
uma regularidade, se calhar já tenho a parte mais complexa do problema resolvida!
Quando tenho apenas 1 degrau, só existe uma maneira de subir, que é dando um
passo. Quando tenho 2 degraus, tenho duas maneiras de subir: dando dois passos ou
dando um salto. Por fim, quando tenho 3 degraus, tenho três formas de subir: dando
três passos, ou dando um salto e depois um passo, ou dando um passo e depois um
salto.
Olhando para estes três primeiros casos, fico com a ideia que o número de modos de
subir um determinado número de degraus é precisamente igual ao número de
degraus. Mas será que isto se verifica sempre? Vou tentar ver o que se passa para
mais degraus.
A minha conjetura anterior verificava-se para os três primeiros casos, mas para o 4º
caso já não se verificava, por isso não é verdadeira.
Olhando bem para os dados da tabela, observo que, a partir do 3º caso, o número de
modos de subir um determinado número de escadas é igual à soma dos dois números
de modos anteriores (por exemplo, o número de modos para subir uma escada com 5
degraus é igual ao número de modos para subir uma escada com 4 degraus mais o
número de modos para subir uma escada com 3 degraus!). Ou seja, o número de
modos para subir uma escada com degraus é igual à soma do número de modos
para subir uma escada com
degraus com o número de modos para subir uma
escada com
degraus.
Eu preciso ver se é verdade que, quando conheço o número de modos de subir uma
escada com
degraus e o número de modos de subir uma escada com
degraus, basta-me somá-los e já fico a saber de quantos modos consigo subir uma
escada com degraus. Vou imaginar que tenho uma escada com degraus. Como é
que posso começar a subir esta escada? Posso dar um passo ou um saltinho. Se der
um passo, falta-me subir
degraus e eu já sei de quantos modos consigo subir
uma escada com
degraus.
Se der um saltinho, falta-me subir
modos consigo subir uma escada com
degraus, mas eu também já sei de quantos
degraus.
Portanto, o número de modos para subir uma escada com
degraus é igual ao
número de modos para subir uma escada com
degraus (dei um passo) mais o
número de modos para subir uma escada com
degraus (dei um saltinho).
Idade do Francisco
A Teresa, a Clara e o Francisco têm todos menos de 100 anos e idades diferentes que
verificam uma curiosa propriedade:
A soma de quaisquer duas das idades é igual ao número obtido invertendo os
algarismos que formam a idade do terceiro.
O Francisco é o mais novo. Que idade tem ele?
Problema retirado do livro Desafios 7 de José Paulo Viana (Edições Afrontamento)
Um possível método para resolver o problema será escrever expressões algébricas
que representem as somas das idades das três personagens.
Sei que todas as personagens têm menos de 100 anos, mas será que o Francisco, o
mais novo, pode ter menos que 10 anos? Não pode, porque se tivesse menos de 10
anos, ao inverter a sua idade obtinha precisamente o mesmo número e este número
(que é inferior a 10) seria igual à soma das idades das duas outras personagens! Isto
não pode acontecer porque essa soma é sempre maior que a idade do Francisco.
Então, posso concluir já que as idades das três personagens desta história são
números de dois algarismos.
Vou representar cada algarismo por uma letra.
Mas, sabemos que, se um número tem dois algarismos, ele é igual ao primeiro
algarismo vezes 10, mais o segundo algarismo. Por exemplo,
Se a idade da Teresa for AB então:
Do mesmo modo,
Idade da Clara:
Idade do Francisco:
Sei ainda que:
porque a soma das idades de duas das personagens é igual ao número obtido
invertendo os algarismos que formam a idade do terceiro. Ou seja:
( )
( )
( )
Somando, membro a membro, estas três equações e simplificando, obtenho
(
Como
como
)
(
)
e
são algarismos entre 0 e 9,
está entre e . Além disso,
e
são primos entre si, para que a igualdade de cima seja verdadeira,
tem de ser um múltiplo de 19. Conclusão:
ou é ou é ! Se for
também tem de ser e isto não faz sentido no contexto do problema
(todas as personagens teriam idade !). Se for 19, então
tem de ser igual a
.
( )
( )
Resolvendo (4) e (5) em ordem a
Substituindo em (1) vem
e , respetivamente, obtenho
(
)
⇔
⇔
(
)
⇔
⇔
( )
Somando (4) e (5), para descobrir os números representativos da dezenas e das
unidades das idades de cada um dos amigos:
E agora subtraindo (6), que representa a soma das dezenas das idades, obtenho:
(
)
⇔
Procedendo do mesmo modo para as equações (2) e (3)
(
)
(
)
(
)
9=
(
)
=
Portanto, em qualquer das idades a soma dos dois algarismos é 9.
As idades possíveis são então: 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72 e 81.
Começo por experimentar o menor valor para a idade do Francisco, pois sei que ele é
o mais novo.
Se o Francisco tiver 18 anos, então a soma das outras duas idades tem de ser 81.
Começo agora pela menor idade diferente da idade do Francisco (27).
Assim tenho 3 valores possíveis para as idades.
Vou verificar
Por isso, é possível que as idades sejam 18, 27 e 54.
Vou agora ver se há mais possibilidades, tendo o Francisco 18 anos. Passo à idade
seguinte (36).
É outra hipótese: neste caso, as idades possíveis são 18, 36 e 45.
Vou verificar:
Também é possível que as idades sejam 18, 36 e 45.
A idade seguinte a considerar seria o 45 mas esta já foi contemplada, por isso não há
mais possibilidades.
Vou agora assumir que o Francisco tem 27 anos; então ao soma das outras idades
tem de ser 72. Começo pela menor idade diferente da idade do Francisco (36).
Sendo assim, dois deles teriam a mesma idade, o que é impossível.
Assim sendo, o Francisco tem 18 anos, havendo duas possibilidades de idades para
as outras personagens.
Bibliografia:
-Nobre, S. (2011). Para além dos números: Tecnologia, relações e modelação. Educação e Matemática, 111, 20-22.
-Nobre, S., Amado, N., & Carreira, S. (2009). Manifestações do pensamento algébrico na resolução de problemas. Atas
do XX SIEM (pp. 321-338). Viana do Castelo, 1-2 setembro: APM.
- Viana, J. (2000). Desafios7. Edições Afrontamento
- Boavida, A., Paiva, A., Cebola, G., Vale, I., & Pimentel, T. (2008). A experiência matemática no ensino básico.
DGIDC.
- http://nrich.maths.org
- http://www.fctec.ualg.pt/matematica/5estrelas/