BETINA PEDEMONTE
Argumentação e demonstração:
comparação entre as duas estruturas
École d’eté de Didactique de Matematique 2002
Maria Inez Miguel, 2006
Pedemonte, 2002
Análise da relação
do ponto de vista cognitivo, entre:
Argumentação
(construção de conjectura)
Demonstração
(produzida logo a seguir)
Para Boero, Garuti e Mariotti (PME XX, 1996):
Durante a elaboração de uma conjectura, o estudante
constrói, progressivamente, sua explicação, por meio de
uma atividade argumentativa intensa, interconectada por
justificações das suas escolhas; na etapa seguinte, o
estudante conecta a esse processo, de forma coerente, a
organização de alguns dos argumentos produzidos
anteriormente, em uma seqüência lógica.
Maria Inez Miguel, 2006
Pedemonte, 2002
Hipótese
Dependendo do processo de produção da
demonstração, o aluno pode relacionar os
argumentos utilizados durante a construção da
conjectura, em uma cadeia dedutiva.
Unidade cognitiva
A continuidade existente entre a
argumentação e a demonstração.
Maria Inez Miguel, 2006
Pedemonte, 2002
Durante o processo de resolução de um problema,
que conduz à construção de um teorema (Mariotti,
PME XXI, 1997), pode-se supor que uma
argumentação é desenvolvida a fim de produzir
uma conjectura; quando o enunciado (da
conjectura) é validado, no interior de uma Teoria
Matemática, tem-se uma demonstração produzida.
Enunciado válido
Conjectura
enunciado
enunciado
demonstração
argumentação
teorias
concepções (Balacheff, 94-95)
Maria Inez Miguel, 2006
Pedemonte, 2002
Duval (1995): estuda as diferenças entre
argumentação e demonstração apoiadas na
existência de uma distância cognitiva; elas têm
estruturas completamente diferentes.
A continuidade entre dois passos da dedução:
na demonstração, a conclusão de um passo é premissa
para o passo seguinte;
na argumentação, as inferências semânticas (uma
espécie de re-interpretação, em que os argumentos se
juntam uns aos outros, sob pontos de vista diferentes) e as
inferências discursivas articulam as proposições em
função dos seus conteúdos e não em função do seu
estatuto.
Maria Inez Miguel, 2006
Pedemonte, 2002
Valor epistemológico de uma proposição
depende do estatuto teórico que ele tem na
demonstração, além de que, na argumentação ele está
completamente ligado a seu conteúdo.
(Duval, 1995)
Análise estrutural
da relação entre demonstração e argumentação para
determinar as continuidades e diferenças, além de
distinguir aquelas que estão ligadas ao sistema de
referência (linguagem, expressão, epistemologia, etc.),
daquelas ligadas à sua estrutura.
(Pedemonte, 2002)
Maria Inez Miguel, 2006
Pedemonte, 2002
Unidade cognitiva (continuidade arg/dem)
considera sobretudo o sistema de referência da
argumentação e da demonstração; a continuidade
entre
as
palavras,
expressões,
linguagem,
epistemologia, etc.
(Boero, Garuti e Mariotti, 1996)
Unidade cognitiva ou diferença
entre as estruturas dos dois conceitos pode ter
importância sob o ponto de vista cognitivo; para essa
comparação, ela usa, como ferramenta, o Modelo de
Toulmin.
(Pedemonte, 2002)
Maria Inez Miguel, 2006
Pedemonte, 2002
Esquema ternário de Toulmin
E enunciado (a conclusão de cada argumento);
D dados que justificam o enunciado (a conclusão se
baseia em um certo nº de dados que são produzidos
para sustentar o enunciado; os dados são significativos
porque eles são o ponto de partida de cada argumento;
podem ser constituídos de fatos, informações,
exemplos; é sobre os dados que o enunciado se apóia)
P permissão de inferir (é a parte do argumento que
estabelece a conexão lógica entre D e E); para passar
de D a E, é necessário uma regra geral que permite
inferir P.
Maria Inez Miguel, 2006
Pedemonte, 2002
Etapas auxiliares do Modelo de Toulmin
F indicador da força do argumento;
R refutação potencial do enunciado (conclusão);
S suporte da permissão de inferir.
Os dados e as regras nem sempre permitem inferir o
enunciado com absoluta certeza; F é um indicador
dessa precisão e R as restrições para que, a partir dos
dados o enunciado possa ser inferido.
Quando a força do argumento é fraca, são levadas em
consideração as refutações potenciais e um certo
número de suportes que podem ajudar a obter a
permissão de inferir.
Maria Inez Miguel, 2006
Pedemonte, 2002
Esquema completo do Modelo de Toulmin
D (dados)
E (enunciado)
R (refutação potencial)
P (permissão de inferir)
F (força)
S (suporte)
Maria Inez Miguel, 2006
Pedemonte, 2002
Problema 1. ABC é um triângulo qualquer.
Exterior
ao
triângulo,
três
quadrados
são
construídos sobre cada um dos três lados.
Constrói-se, então, três novos triângulos, ligando
os segmentos livres dos quadrados. Comparar a
área de cada um dos três triângulos com a área
do triângulo ABC.
Maria Inez Miguel, 2006
Pedemonte, 2002
13,60 cm²
6,46 cm²
3,19 cm
3,34 cm
6,46 cm²
6,46 cm²
16,43 cm²
3,34 cm
3,19 cm
3,34 cm
3,50 cm
6,46 cm²
14,98 cm²
Maria Inez Miguel, 2006
Pedemonte, 2002
Solução de uma dupla italiana 4º ano (50min)
Argumentação
….Les élèves construisent les hauteurs des
triangles ABC et IDC
31. L : Je suis en train de prolonger la droite, oui,
la
droite sur ce segment… qu’est-ce que je dois faire
?
32. G : la droite par les points B et C
33. L : ah c’est vrai !
34. G : puis il faut faire la perpendiculaire à cellelà
35. L : ah voilà, mais tu sais qu’elles semblent
être
presque…
36. G : presque pareilles !
37. L : non, plus qu’égales : elles semblent être
perpendiculaires, je l’avais déjà observé tout à
l’heure.
E7 : les hauteurs (AL et IM)
semblent être égales
E8 : les hauteurs (AL et IM)
semblent être perpendiculaires
Maria Inez Miguel, 2006
50. Élèves ensemble : eh ces deux triangles sont égaux !
51. L : c’est vrai, ALC et ICM alors ces deux triangles
qu’est ce qu’ils ont ?
52. G : Nous considérons… alors AC est égal a IC parce
qu’ils sont côtés du même carré
53. L : attends !
54. G : AC est égal à IC parce qu’ils sont côtés du carré,
puis
55. L : LC…
56. G : il est égal à CM, pourquoi ?
57. L : Alors … Pourquoi il est égal à CM ? … Selon moi
c’est mieux de prouver… non attends cet angle est droit
et cet angle aussi est droit
58. G : Pourquoi ?
59. L : Parce qu’elles sont les hauteurs n’est-ce pas ?
60. G : donc elles sont perpendiculaires et puis il faut un
côté ou un angle, il faut trouver un autre angle ou on
est obligé à trouver un autre côté
61. L : par le deuxième critère d’égalité n’est-ce pas ?
62. G : eh oui
63. L : mais alors on peut trouver un autre angle
64. G : alors l’angle…
65. L : celle-ci et celle-là ou bien celle-ci et celle-là
66. G : ces deux angles ne sont pas complémentaires ou
supplémentaires à cet angle ?
67. L : non
68. G : si, si, cet angle est droit, ACI est droit, il est
l’angle droit du carré, alors l’angle ACL + LCI est 90°
et MCI + ICL est 90° donc ils sont complémentaires
69. L : oui, oui, ils sont complémentaires
70. G : alors ça va, ils sont égaux
Pedemonte, 2002
Les énoncés décrivent des “faits” dont la valeur
.
épistémique est liée à la perception de la figure dans
Cabri.
Le « drag » de Cabri permet aux élèves de voir les deux
petits triangles égaux (DALC etDICM). Les élèves
s’aperçoivent que les hauteurs font partie des deux
triangles égaux. L’énoncé explicite encore un “fait”.
E9 : les triangles(DALC etDICM) sont égaux
Le discours de l’élève est :
les triangles
trouver des côtés
sont égaux
et des angles égaux
critère d’égalité
La structure argumentative est celle de l’abduction :
D9 = ?
E9
P : critère d’égalité
D9 : AC = IC
<ALC = <IMC
? <ACL = <ICM
E9 : les triangles
DALC et DICM
sont égaux
P : critère d’égalité
Les élèves doivent prouver que les angles ALC et ICM
sont égaux. Ils n’ont à disposition ni les données ni le
permis d’inférer.
D9’ : ?
E9’ : <ACL = <ICM
P:?
D9’ : <ACL+<LCI=90°
E9’ : <ACL = <ICM
<ICM+<LCI=90°
P : angles complémentaires sont égaux
Maria Inez Miguel, 2006
Pedemonte, 2002
Prova
Je considère le triangle DABC et le triangle
DICD.
D’abord je considère les triangles DALC et
DICM et je
démontre qu’ils sont égaux par le deuxième
critère
d’égalité parce qu’ils ont:
- AC = IC parce que côtés d’un carré
- <ALC = <IMC parce que droits (angles
formés par
l’intersection entre le côté et la hauteur)
- <ACL = <ICM parce que complémentaires
d’un même
angle (LCI)
En particulier IM = AL. Donc les triangles
DABC et
DICD ont la même base (parce que côtés du
même carré)
et même hauteurs, donc ils ont la même aire.
La structure devient celle d’une
déduction:
D9 : AC = IC
E9 : les triangles
<ALC = <IMC
DALC et DICM
<ACL =<ICM
sont égaux
P : critère d’égalité
Si les triangles sont égaux on peut
conclure, que les hauteurs
sont égales et donc les aires, puisque
les bases sont égales
D10 : E9
E10 : les hauteurs
sont égales
P : héritage de l’égalité
D11 : E10
E11: les aires
et égalité
des triangles
des bases
DABC etDICD
sont égales
P : formule de l’aire
Maria Inez Miguel, 2006
Pedemonte, 2002
Problema 2. Seja um segmento AB e C o seu ponto
médio. Constrói-se um círculo de centro C e de
diâmetro AB. Recomeça-se essa construção com o
segmento AC e seu ponto médios, o segmento CB
e seu ponto médio. Obtém-se dois círculos tendo
por diâmetro, respectivamente, AC e CB. Continuase a decompor os segmentos resultantes em duas
metades e se constrói sobre essas partes os
círculos tendo por diâmetro esses segmentos.
Como evolui o tamanho total dos perímetros de uma
subdivisão a outra? Como evoluem as áreas totais
dos círculos de uma subdivisão a outra?
Maria Inez Miguel, 2006
Pedemonte, 2002
Àrea
Perímetro
23,65 cm
44,50 cm²
11,82 cm
5,91 cm
11,12 cm²
2,78 cm²
B
C
A
Maria Inez Miguel, 2006
Pedemonte, 2002
Maria Inez Miguel, 2006