Instituto Federal de Educação, Ciência e
Tecnologia de São Paulo - IFSP
Campus de Caraguatatuba
10 Semestre de 2013
Matemática Discreta 1 – MD 1
Prof. Lineu Mialaret
Aula 3: Vetores
Matemática Discreta I
Aula 3 - 1/32
©Prof. Lineu Mialaret
Introdução (1)
 Várias
grandezas físicas, tais como por exemplo
comprimento, área, volume, tempo, massa e temperatura
são completamente descritas uma vez que a magnitude
(intensidade) é fornecida.
 Tais grandezas são chamadas de escalares e são
modeladas por números reais.
 Outras
grandezas físicas não são completamente
caracterizadas até que uma magnitude, uma direção e
um sentido sejam especificados.
 Exemplos são deslocamento,velocidade e força.
 Tais grandezas são chamadas de vetoriais e são
modeladas por vetores.
Matemática Discreta I
Aula 3 - 2/32
©Prof. Lineu Mialaret
Introdução (2)
 Sejam os valores financeiros de transações de cartões
de crédito de vários clientes dados pela lista abaixo,
como segue,
 78, 63, 73, 62, 88, 73, 81, 97
 Usando-se apenas um símbolo, x, e índices subscritos,
pode-se denotar os valores dessa lista, como segue,
 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 , x 8
 Uma lista de valores como essa,
 x = (x1, x2, x3, ... , x8)
 É denominada de vetor.
Matemática Discreta I
Aula 3 - 3/32
©Prof. Lineu Mialaret
Vetor (1)
 Definição: Um vetor x de ordem (p x 1) é um conjunto de
números reais (que podem ser chamados de escalares),
os quais podem ser representados como:
 x1 
 
 x2 
x   x3  ou x  x1, x 2 , x3 ,..., x p 
 
 
x 
 p
Vetor linha
Vetor coluna
 Notação: a usual em publicações científicas, ou seja,
letras minúsculas em negrito (ou não) ou em itálico.
 X, Y, x, y, a, b.
 X, Y, x, y, a, b.
Matemática Discreta I
Aula 3 - 4/32
©Prof. Lineu Mialaret
Vetor (2)
 Os escalares xi são conhecidos como componentes ou
elementos do vetor.
 Na representação anterior, o vetor coluna consiste de p
linhas e 1 coluna (p também é a dimensão do vetor), e o
vetor linha consiste de 1 linha e p colunas.
 Exemplo 1: O vetor x apresentado a seguir é um vetor
coluna de dimensão 5.
1 
 2
 
x  3 
 
 4

5 

Matemática Discreta I
Aula 3 - 5/32
©Prof. Lineu Mialaret
Vetor (3)
 Em algumas notações, um vetor pode ou não ter um
apostrofe simples agregado ao seu nome para
representar que ele é um vetor transposto (e vice-versa).
 Exemplo 2: Seja o vetor x abaixo, o qual é um vetor linha
de dimensão p.
x  [ x1 x2 x3  x p ]
 O vetor x no formato transposto x ou xT é representado
como segue,
 x1 
 
 x2 
x   x3 
 
... 
x 
 p
Matemática Discreta I
Aula 3 - 6/32
 x1 
 
 x2 
x T   x3 
 
... 
x 
 p
©Prof. Lineu Mialaret
Vetor (4)
 Vetores podem ser representados graficamente no ℝ2.
 Exemplo 3: Sejam x e y os vetores apresentados a
seguir e sua representação em ℝ2.
Matemática Discreta I
Aula 3 - 7/32
©Prof. Lineu Mialaret
Vetor (5)
 Álgebra Vetorial:
Matemática Discreta I
Aula 3 - 8/32
©Prof. Lineu Mialaret
Soma de Vetor (1)
 Exemplo 4: Soma de Vetores.
 4.1) Sejam os vetores a = (2,4,-5) e b = (1,-6,9).
 Então a + b = ((2+1),(4-6),(-5+9)) = (3,-2,4).
 4.2) Sejam os vetores a = (2,4,-5) e b = (0,0,0).
 Então a + b = ((2+0),(4+0),(-5+0)) = (2,4,-5).
Matemática Discreta I
Aula 3 - 9/32
©Prof. Lineu Mialaret
Soma de Vetor (2)
 Exemplo 5: Soma de Vetores - Geometria
y
y1+y2
y1
 x1 
p1   
 y1 
y2
0
x1
x2
p1  p2  p2  p1
 x2 
p 2   
 y2 
x1+x2 x
 x1   x2   x1  x2 

p1  p 2        
 y1   y 2   y1  y 2 
Matemática Discreta I
Aula 3 - 10/32
©Prof. Lineu Mialaret
Propriedades da Soma
 Na adição de vetores há algumas propriedades.
 Comutatividade
u + v = v + u
 Associatividade
 (u + v) + w = u + (v + w)
 Vetor Identidade para adição, o Vetor 0
 u, u + 0 = u
 Inversa aditiva para a adição
 u, há um vetor inverso tal que u + (-u) = 0
Matemática Discreta I
Aula 3 - 11/32
©Prof. Lineu Mialaret
Multiplicação Escalar de Vetor (1)
 Exemplo 6: Multiplicação por Escalar.
 6.1) Seja o vetor p = (2,4,-5) e escalar
= 7.
 Então p = (7(2),7(4),7(-5)) = (14,28,-35)
 6.2) Seja o vetor p = (2,4,-5).
 Então -p = (-1)(2,4,-5) = (-2,-4,5)
Matemática Discreta I
Aula 3 - 12/32
©Prof. Lineu Mialaret
Multiplicação Escalar de Vetor (2)
 Exemplo 7: Multiplicação por Escalar – Geometria.
y
a<0
ay 0 < a < 1
y
0
a>1
 x
p   
 y
x
ax
x
 x   ax 
ap  a    
 y ay
Matemática Discreta I
Aula 3 - 13/32
©Prof. Lineu Mialaret
Propriedades da Multiplicação
 Na multiplicação de vetores há algumas propriedades.
 Associatividade
 ( u) = (
)u, para , escalares
 Distributividade
 ( + )u = u + u, para ,
escalares
 Identidade escalar
 u, u = u, para =1
Matemática Discreta I
Aula 3 - 14/32
©Prof. Lineu Mialaret
Combinação Linear de Vetores
 Sejam u1, u2, u3, ..., um vetores de ℝn e os escalares r1,
r2, r3, ..., rm de ℝ.
 Pode-se multiplicar os vetores pelos escalares e realizar
a soma deles para se constituir o vetor
v = r1u1 + r2u2 + r3u3 + ... + rmum
 O vetor v é denominando de combinação linear dos
vetores u1, u2, u3, ..., um.
 Exemplo 8: Em ℝ2 o vetor v = (10,16) é uma combinação
linear dos vetores u1 = (1,2) e u2 = (3,4), pois
v = 4u1 + 2u2
Matemática Discreta I
Aula 3 - 15/32
©Prof. Lineu Mialaret
Produto Interno (1)
 O produto interno (ou produto ponto ou produto escalar)
de dois vetores a e b é o escalar denotado por ab , para
dois vetores de mesma dimensionalidade e definido por
n
a  b   ai bi  a1b1  a2b2    anbn
i 1
 Usualmente se escreve esse resultado como o produto
de um vetor (linha) a e um vetor (coluna) b
b1 
b 
ab  a1a2  an  2 
 
 
bn 
 a1b1  a2b2    an bn

n
a b
i 1
Matemática Discreta I
i
i
Aula 3 - 16/32
©Prof. Lineu Mialaret
Produto Interno (2)
 O produto interno v.u é obtido com a multiplicação dos
componentes correspondentes e com a soma dos
produtos resultantes.
 Diz-se que os vetores v e u são ortogonais ou
perpendiculares, se seu produto interno for nulo (se v.u =
0).
 Ou seja,
n
v  u   viui  v1u1  v2u2    vnun  0
i 1
Matemática Discreta I
Aula 3 - 17/32
©Prof. Lineu Mialaret
Produto Interno (3)
 Exemplo 9: Sejam os seguintes vetores a = (1,-2,3), b =
(4,5,-1) e c = (2,7,4). Calcular a.b e a.c.
 a.b = (1)(4) + (-2)(5) + (3)(-1) = 4 - 10 - 3 = -9.
 a.c = (1)(2) + (-2)(7) + (3)(4) = 2 - 14 - 12 = 0.
Matemática Discreta I
Aula 3 - 18/32
©Prof. Lineu Mialaret
Produto Interno (4)
 Exercício 1: Sejam os seguintes vetores a = (1,2,3,4) e
b = (6, ,-8,2). Encontrar o valor do escalar
vetores a e b sejam ortogonais.
Matemática Discreta I
Aula 3 - 19/32
tal que os
©Prof. Lineu Mialaret
Propriedades do Produto Interno
 No produto interno de vetores há algumas propriedades.
Sejam u e v vetores em ℝn e um escalar em ℝ.
 (u + v).w = u.w + v.w;
 ( u).v = (u.v);
 u.v = v.u; e
 u.u = 0 se e somente se, u = 0.
Matemática Discreta I
Aula 3 - 20/32
©Prof. Lineu Mialaret
Norma de um Vetor (1)
 A norma ou comprimento de um vetor x de ℝn, denotado
por x é definida como sendo a raiz quadrada de x.x.
 Ou seja, se x = (x1,x2,...,xn) então
x 
xx 
xx 
n
 xi
2
i 1

x é a raiz quadrada da soma dos quadrados dos
componentes de x.

x  0 e x  0 se e somente se, x = 0.
 Um vetor x é chamado de vetor unitário se
x 1
 Ou seja, se x.x = 1.
Matemática Discreta I
Aula 3 - 21/32
©Prof. Lineu Mialaret
Norma de um Vetor (2)
 Dado qualquer vetor não nulo y,
1
y
yˆ  y 
y
y
 É o único vetor unitário de mesma direção e sentido de y; e
 O processo de se encontrar o vetor yˆ a partir do vetor y é
denominado de normalização de y.
Matemática Discreta I
Aula 3 - 22/32
©Prof. Lineu Mialaret
Norma de um Vetor (3)
 Exemplo 10: Seja o vetor u = (1,-2,-4,5,3). Obter
u.
2
 Pode-se calcular primeiramente u ; e
 Tomando-se o quadrado de cada componente e somando,
como se segue,
u  (1) 2 (2) 2 (4) 2 (5) 2 (3) 2  1  4  16  25  9  55
2
u
Matemática Discreta I
 55
Aula 3 - 23/32
©Prof. Lineu Mialaret
Norma de um Vetor (4)
 Exemplo 11: Seja o vetor v = (1,-3,4,2) e w = (1/2,-
1/6,5/6,1/6). Obter v , w e vˆ .
 Para se obter v e w calcula-se como se segue,
v
2
 (1) 2 (3) 2 (4) 2 (2) 2  1  9  16  4  v 
30
w  ( 1 ) 2  (  1 ) 2  ( 5 ) 2 ( 1 ) 2  9  1  5  1  u  1  1
2
6
6
6
36 36 36 36
2
 Normalizando o vetor v, como se segue, tem-se
vˆ 
v
( 1
,3
, 4
, 2
)
30
30
30
30
v
 Que é o único vetor unitário com a mesma direção e
sentido do vetor v.
Matemática Discreta I
Aula 3 - 24/32
©Prof. Lineu Mialaret
Norma de um Vetor (5)
 Propriedades da norma:
 Dados quaisquer vetores u e v de ℝn, então segue que,
u.v  u v
uv  u  v
Matemática Discreta I
Desigualdade de Schwarz
Desigualdade de Minkowski
Aula 3 - 25/32
©Prof. Lineu Mialaret
Distância, Ângulos e Projeções (1)
 A
distância entre os vetores u = (x1,x2,...,xn) e
v = (y1,y2, ... ,yn) de ℝn é definida por
dist (u,v)  d(u, v)  u  v 
n
2
(
x

y
)
 i i
i 1
 Exemplo 12: Sejam os vetores u = (1,-2,3) e v = (2,4,5).
Calcular a distância d(u,v).
Matemática Discreta I
Aula 3 - 26/32
©Prof. Lineu Mialaret
Distância, Ângulos e Projeções (2)
y
y2
(y2-y1)
y1
0
-u
v
u
(x2-x1) x1
x2
x
 x2   x1   x2  x1 

v  u        
 y2   y1   y2  y1 
dist(u, v)  v - u  ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2
Matemática Discreta I
Aula 3 - 27/32
©Prof. Lineu Mialaret
Distância, Ângulos e Projeções (3)
 O ângulo  entre dois vetores não nulos u e v de ℝn é
definido por
cos 
u .v
u v
u .v
1
 Este ângulo está bem definido, pois  1 
u v
 Se u.v = 0, então  = 90º (ou /2).
Matemática Discreta I
Aula 3 - 28/32
©Prof. Lineu Mialaret
Distância, Ângulos e Projeções (4)
 A projeção de um vetor u sobre um vetor não nulo v é
definida por
proj(u,v) 
u.v
v
Matemática Discreta I
2
u.v
v
v  u*
v.v
Aula 3 - 29/32
©Prof. Lineu Mialaret
Distância, Ângulos e Projeções (5)
 Exercício 2: Sejam os vetores u = (1,-2,3) e v = (2,4,5).
Calcular a distância dist(u,v).
dist (p1 , p 2 )  p 2  p1  ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2
Matemática Discreta I
Aula 3 - 30/32
©Prof. Lineu Mialaret
Distância, Ângulos e Projeções (6)
 Exercício 3: Sejam os vetores u = (1,-2,3) e v = (2,4,5).
Calcular o ângulo  entre os dois vetores.
cos 
Matemática Discreta I
Aula 3 - 31/32
u .v
u v
©Prof. Lineu Mialaret
Distância, Ângulos e Projeções (7)
 Exercício 4: Sejam os vetores u = (1,-2,3) e v = (2,4,5).
Calcular a projeção proj(u,v).
proj(u,v) 
u.v
v
Matemática Discreta I
Aula 3 - 32/32
2
v
u.v
v  u*
v.v
©Prof. Lineu Mialaret