Matemática III
IF-RS Campus Rio Grande
2. 34. Propriedades de Determinantes.
Muitas vezes se usará o termo FILA para indicar ou uma linha ou uma coluna
da matriz. E filas paralelas se referem a ou duas linhas ou duas colunas.
Essas propriedades se assimiladas, ajudarão a simplificar os determinantes
que temos a resolver, podendo reescrever um determinante de qualquer ordem em
função de apenas um determinante de ordem 3.
2.34.1. Determinante que possui uma fila nula.
Se temos uma linha ou coluna inteira de zeros, pelo Teorema de Laplace
escolheremos essa fila.
Supondo A de ordem n.
a b c  z 
  



0
A  0 0 0


    
     


a
b

B  c


z

 0  α
 0  β

 0  γ

   
 0  ψ
Qual o determinante nesse caso?
Generalize e complete a lacuna:
Se A possui uma fila na qual todos os elementos são iguais a zero, então
detA = ___.
Exemplo:
(a)
1
0
3 0
1
4
(b) 0
0
7 1
4
0 =0 0
3 1 9 31
=
2.34.2. Determinante de matrizes com uma fila multiplicada por um número real.
Considerando o determinante da matriz A conhecido, suponha detA = k.
A
matriz M foi alterada a partir de A, alterando, neste caso uma linha,
multiplicando-a por r, apenas uma linha.
a


A  Α


α

b
c

  
Β
Γ




φ
γ

z


Τ


ψ 
a b c  z
    


M  rΑ rΒ rΓ  rΤ 



  

 α φ γ  ψ


O resultado também valerá para colunas.
Exemplos: Calcule os determinantes da esquerda e relacione com os determinantes
da direita:
2 3
4.2 4.3
(a)
=

(c)
=
 1 5
 1 5
5 0  1
(b) 2 2
3 1
1 =
3

(d)
25
0
2
4
5
1 =
21 28 21
Complete a lacuna abaixo:
Quando multiplicamos uma fila de A por um número real r , obtendo uma matriz M, tem-se:
____detM = _______________.
Desafio: Demonstre ou pesquise a demonstração desta propriedade e publique no site
da turma.
2.34.3. Determinantes de matrizes com filas paralelas trocadas.
A partir da matriz A, trocamos duas linhas entre si, obtemos uma matriz M. Qual a
relação entre seus determinantes? No caso abaixo, temos duas linhas que se
inverteram.
80
Matrizes
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
Α

A  a



 α

a

M  Α



 α
   
Β Γ  Τ
   

b c  z
   

φ γ  ψ 
   
b c  z
   

Β Γ  Τ
   

φ γ  ψ 
O resultado também valerá se a troca for entre colunas.
Exemplos: Calcule os determinantes da esquerda e relacione com os determinantes
da direita.
2 9
9 2
(a)
=

=
3  1
 1 3
1
1
1
7
(b) 4  2 6 =
7
8
2 1
(c)

5
3
4
1
2
5
7
3
2
0
6
7
5
8
2
8
5
4 2 6=
1 1 1
2 1
=

3
4
7
5
8
2
3
2
0
6
1
2
5
7
=
Complete a lacuna:
Se M e A são duas matrizes de ordem n, tais que apenas há a troca entre duas de
suas filas paralelas, então detM = _____________
Desafio: Demonstre ou pesquise a demonstração desta propriedade e publique no site
da turma.
2.34.4. Determinante de matrizes que possuem filas paralelas proporcionais.
A matriz A abaixo tem duas colunas proporcionais, neste exemplo a terceira
coluna é k vezes a primeira. O resultado será válido para quaisquer filas
proporcionais.
a e ka i 
b f kb j

A  
c g kc l 


d h kd m 
81
Matrizes
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a

(a) Calcule o determinante da matriz B = b
c

d
e a i
f b j

g c l

h d m
(b) Relacione o determinante da matriz A com o determinante da matriz B pela
propriedade 2.34.2.
Exemplos:
(a)
2 3
4 6
1 1 1
7 8 5
2 1
(c)
(b) 2 2 2 =
=
3
2
1
2
5
4
3
2
0
4
7
5
=
 8  10
Complete a lacuna:
Se uma matriz A possui filas paralelas proporcionais, então detA =_____.
2.34.5. Determinante de matriz que uma fila é soma ou subtração de outras filas.
A fim de explorar essa propriedade façamos a comparação entre três matrizes quase
idênticas, por exemplo, de ordem 4:
a e i m  q
a e i m 
a e i q






b f j n  r
b f j n
 b f j r
A  
B  
C  
c g k o  s
c g k o
c g k s






d h l p  t 
d h l p 
d h l t






82
Matrizes
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Calcule o determinante da matriz A e relacione com os determinantes das matrizes
B e C:
Complete a lacuna:
Dadas três matrizes A, B e C, quadradas, que diferem apenas de uma fila, e uma
das matrizes, A, por exemplo, possui essa fila igual a soma ou subtração das
filas distintas das outras duas matrizes, B e C. Então:
_detA = ________________________
Exemplo: Dado que
1
0
1
7
3
4
2
 1
 2
7
 5
2
 494
(a)
4
2
 2 7 5
4
2
8
1
2
0
1
7
3
4
2
 1
 2 7  5
1  3 0
1
Determine:
1 0 1
7
3
1
3

5
8
2
 2
(b)
1
 1385
1
0
1
7
3
4
2
1
 2
7
5
2
 2 8 8
3

2.34.6 Combinação linear.
Combinação linear de duas filas é quando temos a adição, ou subtração, de algum
múltiplo das filas envolvidas.
Exemplo: Dada a matriz A abaixo, criaremos novas matrizes, modificando uma das
filas de A de cada vez.
a e i m 


b f j n
A  
c g k o


d h l p 


(a)Criaremos a matriz B, substituindo a terceira linha de A pela soma de k vezes
a linha 1 com m vezes a linha 3 da matriz A. Usaremos a notação: L3  kL1 + mL3
B =
detB=
83
Matrizes
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(b) Agora, vamos criar uma matriz C, fazendo combinação de duas colunas da matriz
A. Substituiremos a segunda coluna de A pela subtração de k vezes a coluna 2 com
m vezes a coluna 4. C2
 kC2 + mC4
C=
detC=
Podemos relacionar o determinante da matriz C com o determinante da matriz A.
Complete a lacuna:
No caso geral em M é obtida a partir de uma matriz A, tal que somente uma fila
de M seja a combinação linear de duas filas paralelas de A, fazendo
Fi  Fi  Fj , então detM =_________
Exemplo: 1. Faça as modificações : (a) C2 C2 – 4C1 (b)C3  C3 – 7C1 (c) L2  L2
+ L3 sucessivamente em:
1
4 7
2
3 1=
1 0 5
2. Reescreva o determinante abaixo dependendo de apenas um determinante de ordem,
usando as propriedades de determinantes:
2
1
3  1
 1
1
6
0
2
9
2
 1
7
4
84
 8  5
=
Matrizes
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2.35. Exercícios.
1. Calcule os seguintes determinantes usando suas propriedades, justifique sua
resposta:
 3

(a)det  2
 1

 4
4
0 6 8

0  3 6

0 1 5
0
2
(b)
1
6 
 2 3
 1 1 2
1 
det 

 3  2 5
0 


 3 3  6  3
 3

(c) det  1
 7

 3
0 0 0
2
1 0 0 (d) det 0


0
2 5 0


0 1 2
0
…
9  3 4
0 0 2

5  2 2

0 0 3
2. Pesquise a propriedade relativa a:
(a) Determinante da matriz transposta em relação a matriz de origem: Ou seja, se
detA=k, então detAt =?
(b) Determinante de matrizes triangulares.
(c) Determinante de matriz produto: Ou seja, se A e B são quadradas de ordem n, e
detA=k e detB = m, então det(AB) = ?
a b c
3. Se d e f = 3, determine sem desenvolver, justificando sua resposta:
g h i
2a 2b 2c
(a)
g
h
i
d
e
f
(b)
7a
d
g
7c
f
i
35b 5e 5h
a d g
(c) b e h
c f i
g i h
(d) d f e
a c b
b a 4c
(e) e d 4f
h g 4i
4. Resolva o determinante da matriz abaixo simplificando-o pelas propriedades de
determinantes:
 150 240 900 


240
72 
A =  120
  10  480  60
5. Julgue as sentenças abaixo em verdadeiras ou falsas. Justifique em qualquer
caso, usando as propriedades de determinantes.
3 21 14 45
0  1 0 0
1 3 4
0  2 1
0  1 23 19
0 2  2 1
(a)
= 30
(b)
= 3 4 1
(c)  5 1 43 = 0
0 0
5 27
3 3
4 1
7 6 8
4 7 6
0 0
0 2
4 5
7 6
6. Se detA =  3, calcule o determinantes das matrizes M, N , P, Q e R abaixo:
a b c


A = d e f
g h i
7a  b b c


P  7d  e e f
7g  h h i
a b  4c c


M = d e  4f f
g h  4i i
2a  3c b c


Q = 2d  3f e f
2g  3i h i
b
c 
 a


N   d
e
f 
5g  3a 5h  3b 5i  3c
a
b
c




d
e
f
R = 

 5g  d  5h  e  5i  f
7. Determine a veracidade ou falsidade de cada sentença
segundo as propriedades dos determinantes.
a x p
e k s
a  e x  k p  s
a x
(a) b y q  f ç t  b  f y  ç q  t
(b)  3 b y
c z r
g w u
c  g z  w r  u
c z
85
abaixo, justificando
d
a d 3x  10d
e  b e 3y  10e
f
c f 3z  10f
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(c)
a 3a  5e e 10i
1 2 3 4
1
b 3b  5f f 10j
5 5 5 5
5  5 10 15
c 3c  5g g 10k
 0 (d)
d 3d  5h h 10l
6 7 6 7

(a)
9
1
2
10  21 8
1
4
3
5
3
6
5
3
 12 18
(d)
1
2
(b)
 42
6
15
21
9
6
10
8
4
6
8
16
8
24
0
6  5 12 17
reduzindo
a
7  1
3
 5 10 15
2  2 8  4
(c)
ordem
2
3
4
8
2
12
5
 2
7
3
9
2
0
4
2
1
2
3
2
8
1
3  2 0
2
3
2
3
mesmo,
usando
as
6
1 2 1 3
5
5
do
3
3
(e)  3  1
 2 6
1
(e)  5 12 17  5  5 12 17
 7 15 24
 7 15 24
2 1
3 1
1
0
6 2
4
5
1 1
2.36. Respostas dos Exercícios 2.32.
1. (a)  208
(b) 3
(c) b2 + ab
(d) 50
 12 0 0

1
1
-1
2. S= {0,
}
3. D =  61
0
3
2
7
1
1
 24
12
4
86
0
8  7 15 24
8 9 9 8
8. Calcule o determinante abaixo,
propriedades de determinantes.
7
0
(f)
2
3
8
1
3
 2
5
3
3
1
1
7
 2
2
3
1
3
4
2
 2
6
2
4
Não existe a inversa de E.
Matrizes