Teste Intermédio
Matemática A
Resolução (Versão 1)
Duração do Teste: 90 minutos | 30.04.2014
12.º Ano de Escolaridade
RESOLUÇÃO
GRUPO I
1.  Resposta (A)
Tem-se:
log ^100bh = log 100 + log b = 2 + 2014 = 2016
2.  Resposta (B)
n
xn = c1 + 1 m ou se xn = e + 1 , tem-se lim xn = e . Como lim h^ x h = + 3 , pode
n
n
x"e
concluir-se que, nos dois casos, se tem lim h ^ xnh = + 3
Se
xn = 1 − 1 , tem-se que xn tende para 1, por valores inferiores a 1, pelo que
n
lim h ^ xnh = + 3
Se
3
xn = c1 + 1 m , tem-se que xn tende para 1, por valores superiores a 1, pelo que
n
lim h ^ xnh = − 3
Se
3.  Resposta (B)
2
f ll^ x h = c 1 x 2 − ln x ml = x − 1 = x − 1
2
x
x
2
Para x 2 0 , tem-se x − 1 = 0 + x = 1
x
Tem-se:
Como f ll^1 h = 0, f ll^ x h 1 0 em @0, 1 6 e f ll^ x h 2 0 em @1, + 3 6, conclui-se que o
gráfico da função f tem um único ponto de inflexão (cuja abcissa é 1).
4.  Resposta (D)
Tem-se:
cos 2 a x k − sen 2 a x k = cos a 2 # x k = cos a x k
12
12
12
6
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5.  Resposta (C)
A probabilidade pedida é
P^ B ; A h =
Tem-se:
Como
P^ B ; A h
P^ B + A h
P^ A h
B + A é o acontecimento contrário de B , A , vem P ^ B + A h = 1 − P ^ B , Ah
Portanto,
P^ B ; A h =
P ^ B + A h 1 − P ^ B , Ah 1 − 0,92 0,08
=
=
=
= 8 =1
1 − 0,44 0,56 56 7
1 − P ^ Ah
P^ A h
GRUPO II
1.1.  Para
x 2 0 , tem-se:
^3 x + ln xhl # x − ^3 x + ln xh # ^ x hl
f l^ x h = c 3 x + ln x ml =
=
x
x2
a3 + x k # x − ^3 x + ln xh # 1
1
x
= 3 x + 1 − 32 x − ln x = 1 − ln
2
x
x
Portanto, f l^1 h = 1 − ln1 = 1 − 0 = 1
1
12
=
x2
Assim, a reta
t tem declive 1. A equação reduzida da reta t é, portanto, da forma y = x + b
Como
f _1 i =
Assim,
3 = 1 + b , pelo que b = 2
3 + ln1 3 + 0
= 1 = 3 , o ponto de tangência tem coordenadas (1, 3)
1
A equação reduzida da reta
t é, portanto, y = x + 2
1.2. Assíntota vertical
Uma vez que a função f é contínua em @- 3, 0@ e em @0, + 3 6, apenas a reta de equação
poderá ser assíntota vertical do gráfico da função f
Tem-se:
lim f ^ x h = lim+ 3 x + ln x =
x
x "0
x " 0+
Portanto, a reta de equação
x=0
3 # 0 + ^− 3 h − 3
= + =−3
0+
0
x = 0 é a única assíntota vertical do gráfico de f
Assíntota horizontal
Tem-se:
lim f ^ x h = lim 3 x + ln x = lim c 3 + ln x m = 3 + 0 = 3
x
x
x " +3
x " +3
x " +3
Assim, a reta de equação
y = 3 é assíntota do gráfico de f quando x " + 3
Assíntota não vertical
−x
−x
−x
f ^ xh
= lim 2 x + 1 + e = lim c 2 + 1 + e m = 2 + 0 + lim e =
x
x
x
x " −3 x
x " −3
x " −3
x " −3 x
y
y
= 2 + lim e = 2 − lim e = 2 − ^+ 3h = − 3
y " +3 − y
y " +3 y
Tem-se:
lim
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Como
lim
x " −3
f ^ xh
= − 3 , conclui-se que não existe assíntota não vertical do gráfico de f quando
x
x "-3
1.3. Como a reta
AB é paralela à bissetriz dos quadrantes pares, o seu declive é igual a -1
e
f ^a h = 3a + ln a = 3 + ln a
f ^− ah = −2 a + 1 + e a , pelo que o ponto A tem
a
a
coordenadas c a, 3 + ln a m e o ponto B tem coordenadas ^− a, −2 a + 1 + e ah
a
3 + ln a − ^− 2 a + 1 + e ah 2 + ln a + 2 a − e a
a
a
Portanto, o declive da reta AB é dado por
=
2a
a − ^− a h
2 + ln x + 2 x − e x
x
Assim, a solução da equação
= −1 , no intervalo @ 0, 1 6, é o valor de a
2x
2 + ln x + 2 x − e x
x
Ora,
= −1 + 2 + ln x + 4 x − e x = 0
2x
x
Tem-se:
Para resolver esta equação, recorremos às potencialidades gráficas da calculadora.
Na figura, está representada parte do gráfico da função
y
definida por y = 2 + ln x + 4 x − e x
x
O zero desta função, no intervalo @ 0, 1 6, é o valor de a
Conclusão:
a . 0,413
O
0,413
x
2.1. Tem-se:
f l^ t h = 6^4 t + 2h e 3,75 − t@l = ^4 t + 2hl# e 3,75 − t + ^4 t + 2h # ^e 3,75 − t hl =
= 4 e 3,75 − t + ^4 t + 2h^− e 3,75 − t h = e 3,75 − t ^4 − 4 t − 2h = e 3,75 − t ^2 − 4 t h
3,75 − t = 0 0 2 − 4 t = 0 + 2 − 4 t = 0 + t = 0,5
f l^ t h = 0 + e 3,75 − t ^2 − 4 t h = 0 + e1 4
4 2 44 3
eq. impossível
Tem-se o seguinte quadro:
t
0
+
f'
f
Portanto, a função
A função
0,5
0
6
−
Máx.
f é crescente no intervalo 60; 0,5@ e é decrescente no intervalo 60,5; 6@
f atinge o máximo quando t = 0,5
Assim, é às 12 horas de segunda-feira da próxima semana que será máximo o número de alunos com
gripe.
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2.2. O esquema apresentado abaixo evidencia que as 18 horas de quinta-feira da próxima semana
t = 3 + 3 = 3,75
4
correspondem a
6h 12h 18h
0h
0h
0h
0h
0h
0 2.ª feira 1 3.ª feira 2 4.ª feira 3 5.ª feira 4 6.ª feira t
Tem-se
f (3,75) = 17
Portanto, às 18 horas de quinta-feira da próxima semana,
gripe.
17 dos 300 alunos da escola estarão com
O acontecimento «pelo menos um dos alunos escolhidos estar com gripe» é o acontecimento contrário
do acontecimento «nenhum dos alunos escolhidos estar com gripe».
Portanto, a probabilidade pedida é
3.1. O ponto
AV 2 = AP 2 + PV 2 , pelo que 10 2 = 6 2 + PV 2 , donde PV = 8
V tem cota igual a 8
B tem coordenadas (12, 6, 0) e o ponto V tem coordenadas (6, 6, 8)
Portanto, o ponto
O ponto
M é o ponto de coordenadas a 12 + 6 , 6 + 6 , 0 + 8 k = ^9, 6, 4h
2
2
2
C tem coordenadas (6, 12, 0)
Tem-se, então,
CM = M − C = ^9, 6, 4h − ^6, 12, 0h = ^3, − 6, 4h
Portanto, uma condição cartesiana da reta
3.3. O vetor
O ponto
. 0,16
AP = 6
Portanto, o vértice
3.2. O ponto
283 C
3
300 C
3
P tem ordenada igual à do ponto V, pelo que o ponto P tem ordenada 6
Portanto,
Tem-se
1-
y − 12 z
CM é x − 6 =
=
3
4
−6
DV é normal ao plano.
D tem coordenadas (0, 6, 0)
Tem-se, então,
DV = V − D = ^6, 6, 8h − ^0, 6, 0h = ^6, 0, 8h
Assim, qualquer plano perpendicular à aresta 6DV @ tem uma equação da forma
Como se pretende que o plano passe no ponto
6x + 8z = d
P (6, 6, 0), tem-se 6 # 6 + 8 # 0 = d , ou seja, d = 36
Portanto, uma equação cartesiana do plano que passa no ponto
6DV @ é 6 x + 8 z = 36
P e que é perpendicular à aresta
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4. De acordo com a sugestão, seja
Seja
M o ponto médio de 6PS@
b a amplitude do ângulo FSP
F
Tem-se:
b FM
sen
=
= FM , pelo que FM = 4 sen b
4
FS
b MS
cos
=
= MS , pelo que MS = 4 cos b
4
FS
Portanto, a área do triângulo 6PSF @ é dada por
4
P
b
S
M
2 # 4 cos b # 4 sen b
PS # FM
16 sen b cos b 8=
# 2 sen b cos b 8sen ^2 b h
=
==
2
2
De acordo com a figura ao lado, tem-se
pelo que
b + a + b + r = 2r,
2
2b = 2r − r − a = 3r − a
2
2
Tem-se, então,
8sen ^2 b h = 8sen c 3 r − a m = −8 cos a
2
b
a
r
2
b
Portanto, a área lateral da pirâmide é igual a
4 # ^- 8 cos ah , ou seja, - 32 cos a
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