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Autora: Josiane Cristine Barreto Vaz
NRE: Ponta Grossa
Escola: Colégio Estadual Padre Nicolau Baltasar
Disciplina: Matemática ( x ) Ensino Fundamental ( ) Ensino Médio
Série: 8ª
Disciplina da relação interdisciplinar 1: Geografia
Disciplina da relação interdisciplinar 2: Ciências
Conteúdo Estruturante: Geométrica
Conteúdo Específico: Trigonometria
PICOS , MONTES E MONTANHAS , QUAL A DIFERENÇA?
Muitas vezes falamos ou ouvimos falar de montanhas , montes e picos, mas
qual a diferença entre eles?
Bem, pra começar, vamos falar sobre os picos. Picos são os cumes ou
pontos mais altos de uma montanha ou de um monte, um bom exemplo é o Pico do
Everest. Muitas vezes também relacionamos a palavra pico, para falar de momentos
de maior incidência de um fato ou fator, por exemplo: em horário de pico não saia de
casa
com
seu
automóvel,
em
São
Paulo,
pois
ficará
em
um
grande
congestionamento. Bem se pico é somente o cume ou ponto mais alto, então qual
será a diferença entre montanha e monte?
A distinção entre um monte e uma montanha é pouco precisa e muito
subjetiva. Considera-se em geral que um monte é mais baixo e menos abrupto que
uma montanha, com um desnível de quota de até cinquenta metros.
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A montanha é imponente tem altitude superior a um monte, uma colina ou a
um morro. De acordo com o CONAMA (Conselho Nacional do Meio Ambiente) , uma
montanha tem altitude superior a sua base de mais de 300 metros e um monte ou
um morro tem altitude em relação a base entre 50 metros e 300 metros. Geralmente
as montanhas são escarpadas, com grande inclinação e com relevos sobrepostos.
Curiosidades
24% da superfície do planeta Terra é montanhosa e cerca de 10% da
população mundial vive em terreno montanhoso. A maior parte dos grandes rios
nascem em montanhas.
Os picos mais altos de cada um dos sete continentes
Monte Everest - 8.844m (Ásia)
Aconcágua - 6.962m (América do Sul)
Monte McKinley (Denali) - 6.194m (América do Norte)
Kilimanjaro - 5.895m (África)
Monte Elbrus - 5.642m (Europa)
Maciço Vinson - 4.892m (Antártida)
Monte Kosciuszko - 2.228m ou Pirâmide Carstensz - 4.884m (Oceania)
ATIVIDADE
Agora é sua vez, pesquise sobre os montes e montanhas mais famosos do
Brasil . Também procure sobre os pontos mais altos do Paraná e da sua Cidade. Em
sala compartilhe com seus colegas as informações e curiosidades encontradas.
Quando falamos em picos, morros, montanhas, colinas e montes sempre
nos vem a mente a idéia de altura ou altitude. Mas o que é altitude? O que você já
ouviu falar sobre altitude?
Altitude de um lugar ou um ponto na Terra é a distância na vertical entre o
nível médio das águas do mar e esse ponto.
A altitude influi na vida das pessoas, uma dessas influências é na
temperatura, pois esta diminui um grau Celsius a aproximadamente cada 200 metros
de altitude, ou seja, se você subir um morro que tenha uma elevação de 200 metros
em relação à base a temperatura do cume do morro terá um grau a menos que a
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temperatura de base desse morro. A altitude também influi no organismo das
pessoas, tenho certeza que você já observou ou pelo menos ouviu falar sobre isso.
Lembre-se, quando a seleção brasileira vai jogar em La Paz, que fica a uma altitude
de 3600 metros acima do nível do mar, sempre tem comentários que o jogo será
difícil, não somente pela seleção que vai enfrentar, mas pelos problemas que as
grandes altitudes causam em nosso organismo. A hipóxia, a falta de oxigênio no
organismo, é o maior vilão, pois a 3600 metros acima do nível do mar, a quantidade
de oxigênio é 36% menor que em um lugar que está a nível do mar, e todo o
organismo sente está queda de oferta de oxigênio. Para não sentir a queda em uma
competição os atletas precisariam de 30 dias para se aclimatarem a nova altitude ou
ainda outra saída é chegar alguns instantes antes da competição, já que as reações
mais agudas demoram 120 minutos depois que o corpo chega a essa altitude para
se manifestar. Em partidas de futebol nem mesmo os goleiros são poupados, pois a
bola enfrenta menos resitência do ar, logo sua velocidade acaba sendo maior..
ATIVIDADE
Pesquise sobre outros efeitos da altitude, em seguida converse com seus
colegas e professores, para descobrir porque quando descemos ou subimos uma
serra de grande elevação, muitas pessoas sentem um zumbido no ouvido.
Agora que já sabemos a diferença entre montanhas e montes, como
podemos fazer para medir a altura de uma montanha ou de um monte?
Para começar devemos conhecer uma das figuras geométrica mais
conhecidas e bastante utilizada em nossos dias, o TRIÂNGULO.
O triângulo é uma das figuras geométricas mais importante. Conhecer e
trabalhar com a geometria dos triângulos tem apaixonado e encantado muitos
matemáticos e curiosos. Com efeito, três pontos não alinhados (não colineares)
determinam um e um só plano; e o triângulo é neste plano o polígono mais simples.
Não sabemos quem inventou ou descobriu o triângulo,pois não há nenhum
registro sobre isso, sabemos é que ele teve e tem muita utilidade indiferente da
época.O triângulo torna as construçoes mais rígidas e seguras. Nos tempos
primitivos os gregos usavam o triângulo de descarga.
O triângulo de descarga era uma construção que permitia descarregar as
pressões exercidas por grandes pesos que se encontravam por cima das portas dos
túmulos e das cidadelas.
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Devido ao peso, as portas podiam abater, mas com o triângulo, esse peso
era suportado por postes laterais que eram maciços.
No início da Idade Média, apareceu no Mediterrâneo, uma vela triangular,
alinhada com o eixo longitudinal do casco, contrariando a então utilizada, que era
perpendicular ao mesmo eixo e de configuração quadrada, chamada Redonda, por
ao longe parecer redonda.
Árabes, indianos ou até indonésios são apontados como os percursores de
tal sistema, que permite à embarcação navegar contra o vento a uns 50 ou 60 graus.
Não sabemos ao certo quem a utilizou primeiro, mas sabemos que suas
sucessoras foram de grande importância para a história do descobrimento de nosso
continente e de nosso país.
O triângulo , atualmente,ainda é de grande importância e aplicabilidade, por
ser uma figura estável. Para grandes e pequenas construções se tornarem estáveis
e seguras, seus planejadores recorrem à robustez do triângulo. Frequentemente
observamos formas triangulares em projetos arquitetônicos, às vezes só as
observamos na construção, porque depois de prontas elas são encobertas por
outras formas.
Podemos visualizar nas fotos a seguir alguns exemplos dessas aplicaçoes:
Na estrutura e armações de brinquedos ,
Em torres de alta tensão e de telefonia móvel para suportarem grandes
ventos.
Nas pontes de ferro
Na construção civil, para evitar quedas e outros acidentes, triangularizam-se
os andaimes, também para estruturas em coberturas.
Na construção cívil, sendo usado em casas monumentos.
ATIVIDADE
Olhe ao seu redor e observe quantos triângulos estão presentes no seu dia-
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a-dia, obeserve a sua escola, sua casa e o trajeto que você faz para chegar na
escola, Nessa observação, qual é o tipo de triângulo que mais aparece? Quais as
características desse triângulo?
Bem já conhecemos os triângulos , resta saber como podemos medir alturas
usando essa figura.Antes de explicar esse cálculo, devemos conhecer melhor os
triângulos. Os triângulos se classificam quanto aos lados:
Nome
Equilátero Os 3 lados são congruentes ( possuem a mesma medida)
Isósceles
Possui 2 lados congruentes e 1 não congruente
Escaleno Possui o 3 lados não congruentes.
Classificação quanto aos ângulos:
Nome
Acutângulo
3 ângulos agudos ( menores que 90º )
Retângulo
1 ângulo reto ( mede 90º )
Obtusângulo 1 ângulo obtuso ( mede mais que 90º )
Um triângulo retângulo é composto por dois elementos principais, que são os
seus lados definidos como cateto e hipotenusa, ele possui um ângulo reto ângulo
que possui 90º, logo os outro dois ângulos restantes serão agudos,ângulos menores
que 90º pois a soma dos três ângulos de qualquer triângulos como você já viu,
sempre será igual a 180º.
Os catetos são dois, eles são os menores lados do triângulo retângulo. Eles
formam o ângulo de 90°.
A hipotenusa é o maior lado do Triângulo Retângulo, opondo-se ao ângulo
reto.
Cateto
Hipotenusa
Cateto
Conhecendo os triângulos podemos falar sobre a trigonometria do triângulo
retângulo. A trigonometria determina um ramo da matemática que estuda a relação
entre as mediadas dos lados e dos ângulos de um triângulo. Ela não foi obra de só
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um homem, nem de um só povo mas sim da evolução e descoberta da
humanidade.A palavra Trigonometria vem do grego TRI -
três, GONO - ângulo e
METRIEN - medida. Na sua origem a trigonometria estava ligada à situações de
medidas de terrenos , de medidas de superfície da terra e da Astronomia. Hoje em
dia são várias as áreas e situações onde podemos utiliza-la, ela possui uma
infinidade de aplicações práticas, veja a seguir algumas dessas aplicações.
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Determinação da altura de um prédio, pode ser concluida usando trigonometria.
−
Os gregos determinaram a medida do raio da terra, por um processo muito
simples, usando a trigonometria.
−
Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o
trabalho dele é mais fácil quando ele usa os recursos trigonométricos.
−
Seria impossivel se medidir a distância da Terra à Lua, porém com a
trigonometria se torna simples.
−
Um cartógrafo precisa saber a altura de uma montanha, o comprimento de um
rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria anos para desenhar um mapa .
Razôes trigonométricas
Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posição em
relação ao ângulo estudado ou trabalhado. Cateto oposto é o cateto que fica do lado
oposto ao ângulo estudado, cateto adjacento é o cateto que está próximo ao ângulo.
Há muito tempo atrás, observaram que não importa o tamanho do triângulo,
se for grande ou pequeno, ele sendo semelhante a outro seus ângulos serão iguais
e seus lados proporcionais, logo a razão entre os lados será sempre a mesma, então
foram determinadas as estas razões, observando a medida do ângulo.
Seno: cateto oposto
ou seno Y = b
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hipotenusa
a
Cosseno: cateto adjacente
ou cos Y = c
hipotenusa
a
Tangente: cateto oposto
ou
tg Y = b
cateto adjacente
c
Como essas razões são sempre a mesma em qualquer triângulo retângulo,
foram criadas tabelas trigonométricas que nos dão o resultado dessas razões.
Atividade
Procure uma tabela com as razões trigonométricas, em sala com os seus
colegas e professore discutam e pensem como foi produzida essa tabela..
Bem, agora que já temos as informações necessárias vamos juntos calcular
duas alturas.
Altura de uma torre onde é acessível chegar ao pé , ou seja onde podemos
chegar até a reta perpendicular que desce do ponto mais alto.
C
x
α
A
B
Se o ângulo α mede 30º e a distância entre A e B é igual a 20 metros,
podemos calcular o valor de x usando a razão da tangente.
Tangente α = cateto oposto
cateto adjacente
então
tg 30º = x
AB
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Se, tg 30º=0,5774 e AB= 20m , logo 0,5774 = x_ então x = 11,548m
20
Altura de um morro cujo pé não é acessível.
C
x
α
A
y
µ
D
20m
B
Se o ângulo µ mede 40º e o ângulo α mede 50º e a única medida que eu
posso efetuar é ir de B até D e constato que BD = 20 mentão terei que:
tg 40º = __x__
tg 50º = __x__
y+20
Se tg 40º = 0,8391
0,8391= __x_
y
e
tg 50º = 1,1918
teremos o sitema a seguir
1,1918= __x__
y+20
y
resolvendo o sitema encontraremos que x=56,70 e y=47,58 logo a altura do
morro é de 56,70metros .
Atividades
1) Quais as medidas dos catetos de um triângulo retângulo cuja
hipotenusa mede 4cm e um dos ângulos mede 20º?
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A
x
4 cm
C
B
Y
2) Quais as medidas dos catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa
mede 4cm e um dos ângulos mede 20º?
3 Qual o comprimento da sombra de um poste de 5m no instante em que os
raios solares estão formando um ângulo de 60º com o solo?
4) Em uma hora ensolarada, um bastão de 50cm projeta uma sombra de
20cm no solo. Na mesma hora uma árvore projeta sobre o chão uma sombra de 5m.
Qual é a altura da árvore?
5) Uma pessoa, cujos olhos distam 170cm do chão afasta-se 2m de um
poste e passa a ver sua extremidade sob um ângulo de 60º em relação à horizontal.
Qual é a altura do poste?
6) Classifique cada uma das proposições seguintes como verdadeira (V) ou
falsa (F):
( ) (a) Qualquer que seja o ângulo agudo a , cos a > sen a.
( ) (b) Para todo ângulo agudo a, sen a > cos a.
( ) (c) Para todo ângulo agudo a, tan a > cos a.
( ) (d) Para todo ângulo agudo a, tan a > sen a.
( ) (e) Não existe ângulo agudo a, tal que tan a =1000.
( ) (f) Existe ângulo agudo a, tal que cos a = 5.
( ) (g) Se a = 45º, então sen a = cos a.
7) Uma escada está encostada numa parede formando um ângulo de 60º
com o chão. Se a escada tem 20m de comprimento, que altura ela atinge?
8) Um poste telegráfico é fixado ao solo por um cabo que forma um ângulo
de 54º com o chão. A distância entre as extremidades inferiores do poste e do cabo
é de 20m. Determine a medida da altura do poste.
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Referências:
GUELLI,Oscar.Uma aventura do pensamento.- 8ª série. 6ªedição.Editora Ática.
2001.
CALCULLU'S. O lado divertido da matemática. Disponível em: http://paginas.terra.
com.br/educacao/calculu/
Wikipédia.Matemática elementar plana/triângulo.Disponível em http://pt.wikibooks.
org/wiki/Matem%C3%A1tica_Elementar:_Geometria_plana/Tri%C3%A2ngulos/Tri
%C3%A2ngulo_Ret%C3%A2ngulo.. , acesso em 23 de janeiro de 2008.
Wikipédia. Relevo(geografia). Disponível em http://pt.wikipedia.org/wiki/Relevo_%
28geografia%29, acesso em 12 de dezembro de 2007.
TRIÂNGUO,O.
http://www.prof2000.pt/users/secjeste/modtri01/Index.htm, acesso
dezembro de 2007.http://paginas.terra.com.br/educacao/calculu/
Disponível
em 15 de