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CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA
BELO HORIZONTE – MG
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CONJUNTOS NÚMERICOS
1. Conjunto dos números naturais Ν é o conjunto de todos os números contáveis.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6K}
2. Conjunto dos números inteiros Ζ é o conjunto dos números negativos, positivos e nulos.
Ζ = {K − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3,K}
3. Conjunto dos números racionais Q é o conjunto de todo número que pode ser escrito na
forma a / b , onde a (numerador) e b (denominador) são números inteiros e b ≠ 0 .
−1
−1
5


Q = K ,
, K,
, K; 0, ..1, .. , K
2
3
2


4. Conjunto dos números reais R é o conjunto de todos os números, ou seja, é a união dos
conjuntos dos números irracionais.
R =Q∪I
1
5
 −7

R = K
K1,−0..,.. K1K ,.. 2 K , K 4..
2
2
 2

OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS Ζ
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
Se os números tiverem sinais iguais devemos somá-los e conservar o sinal,
Exemplos:
+ 4 + 5 = +9
− 3 − 7 = −10
+ 8 + 3 = +11
− 15 − 5 = −20
Se os números tiverem sinais diferentes devemos subtraí-los e conservar o sinal do maior,
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Exemplos:
− 10 + 6 = −4
+ 15 − 3 = +12
− 6 + 2 = −4
+ 30 − 10 = +20
Obs: para melhor compreensão deste conteúdo adotamos o sinal (− ) como saldo negativo e
o sinal (+ ) como saldo positivo em uma conta bancária.
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO
Se os números tiverem sinais iguais o resultado será positivo,
Exemplos:
(− 4) ⋅ (− 2) = +8
(+ 3) ⋅ (+ 5) = +15
(− 10) : (− 2) = +5
(+ 24) : (+ 3) = +8
Se os números tiverem sinais diferentes o resultado será negativo,
(− 3) ⋅ (+ 6) = −18
(+ 2) ⋅ (− 4) = −8
(− 18) : (+ 6) = −3
(− 8) : (+ 2) = −4
Obs: o esquema abaixo servirá somente para multiplicação e divisão de números inteiros.
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I. EXERCÍCIOS EM SALA
Efetue as operações,
a) 12 − 13 − 14 =
f) (− 4 ) ⋅ (10 − 2 ⋅ 6 ) =
b) − 8 + 8 − 5 =
g) (8) ⋅ (4 − 5) + 3 ⋅ (8 − 10 ) =
c) 7 − (5 − 13) =
h) 100 − 3 ⋅ 5 + 7 ⋅ (− 8) =
d) − 3 − (2 − 6 ) =
e) 3 ⋅ (− 7 − 2 ) =
II. EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Efetue as adições algébricas:
a) 2 − 4 − 7 + 8 − 9 − 22 + 16 + 13
b) − 13 + 5 + 22 − 7 + 15 + 8 − 27 − 10
2. Efetue as adições algébricas:
a) 115 − 321 + 73 + 330 − 228 − 116 + 220
b) − 712 + 51 + 63 − 54 − 51 + 712 − 9 + 20
c) 15 − 41 − 12 − 21 − 36 − 40
d) − 6 − 7 − 8 − 9 − 10 − 11 − 12 − 13
4. Efetue estas adições algébricas:
a) 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6
b) − 25 + 61 − 59 + 88 − 89 + 26
c)
5.
41 − 45 + 76 − 7 − 63 − 80 + 69
Efetue os seguintes cálculos:
a) 11 ⋅ 13 ⋅ 17
b) 11 ⋅ (− 13) ⋅ (− 17 )
c)
d)
e)
(− 11) ⋅ 13 ⋅ 17
(− 17 ) ⋅ 11 ⋅ (− 13)
(− 13) ⋅ 11 ⋅ 17
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OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS Q
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
Para somar ou subtrair duas ou mais frações é necessário que elas tenham o mesmo
denominador, de preferência que ele seja o menor possível, ou seja, o (mínimo múltiplo
comum). Encontrando o mmc devemos dividi-lo pelo denominador de cada fração e
multiplicá-lo pelo numerador, depois efetuamos a soma ou subtração.
Exemplos:
a)
3
1
45 − 2 43
=
−
=
4 30
60
60
b)
1 1 2+3 5
=
+ =
3 2
6
6
c)
5
7
3 20 − 14 + 9 15 3
5
−
+ =
=
=
3
6 12 8
24
8
24
MULTIPLICAÇÃO
Para multiplicar duas ou mais frações devemos multiplicar numerador com numerador e
denominador com denominador.
Exemplos:
a)
1 2
2
× =
3 5 15
b)
−2 1 7
14: 2
7
+ + = − :2 = −
3
5 2
15
30
DIVISÃO
Para efetuarmos a divisão de duas ou mais frações devemos conservar a 1ª fração e
multiplicar pelo inverso da 2ª fração.
Exemplos:
a)
1 2 1 5 5
: = × =
3 5 3 2 6
b) −
1 3
1 5
5
: =− × =−
4 5
4 3
12
c)
1
7 1
5
5
:− = ×− = −
2
5 2
7
14
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Observações:
1. Quando efetuamos operações em Q, se possível, devemos simplificar o resultado; ou
seja, se numerador e denominador tiverem algum divisor comum, devemos dividir ambos
por ele.
Exemplos:
a)
10: 5
2
=
:5
5
25
b) −
8: 4
2
=−
:4
5
20
2. Não devemos confundir simétrico (oposto) com inverso.
Simétrico: o símbolo de x é igual a − x
Inverso: o inverso de x é igual a
1
x
3. Número misto ou fração imprópria.
Exemplo: 2
2
2 8
=2+ =
3
3 3
NÚMEROS DECIMAIS
Todo número decimal exato pode ser escrito na forma de fração. Basta contar quantos
algarismos a direita da vírgula existem e dividir pela potência de 10 correspondente.
Exemplos:
a) 2,3 =
23
10
b) 0,01 =
1
100
I. EXERCÍCIOS EM SALA
a) −
2 1
1
+ −
=
5 4 20
b) 4 − 4,4 =
− 2
 − 13  7   − 5
−
−  2  
=
 5  15  20   6
c) 
d)
1
2
−
30 5

2  4 
⋅ 2 + :  −  =
3  5 

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POTENCIAÇÃO
Definição; a n = a ⋅ a K a
Onde a é um número real.
Exemplos:


b)  −
c)
2


a) 2 3 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8
d)  −
5
25
 5  5
 = −  ⋅ −  = +
2
4
 2  2
3
1
1
 1  1  1
 = −  ⋅ −  ⋅ −  = −
2
8
 2  2  2
(− 3)2
e) − 3 2 = −3 ⋅ 3 = −9
= (− 3) ⋅ (− 3) = +9
PROPRIEDADES
1. a n ⋅ a m = a n + m
Exemplo: 2 4 ⋅ 2 3 = 2 4 + 3 = 2 7
4.
(a )
m n
= a m⋅n
( )
= 38
(2 )
= 2 30
Exemplos: 3 2
2. a n : a m = a n − m com a ≠ 0
5 6
Exemplo:
4
1 1 1
  :  = 
3 3 3
4 −1
1
= 
3
4
3
5.
(a ⋅ b )n
n
= a n ⋅ b n ou (a b ) = a n b n
3
Exemplos: (5 ⋅ 2 ) = 5 3 ⋅ 2 3
3. a 0 = 1 com a ≠ 0
5
75
7
  = 5
3
3
Exemplos: 4 0 = 1
(− 2)0
6. a − n =
=1
1
an
2
Exemplos: 3
−2
1
1
=  =
9
3
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EXERCÍCIOS EM SALA
e) 5 4 : 5 3 =
(3 ) ⋅ (3 ) =
(3 ) ⋅ 3
(9 ) ⋅ 9 =
−2 3
a) 6 2 =
f)
b) − 2 =
4
2 5
4 2
3
 1
c)  −  =
 3
g)
d) 2 4 ⋅ 2 5 =
h)
4 5
−6
39 ⋅ 3 − 3
2 −1 + 2 −2
=
23
GERATRIZES E DÍZIMAS PERIÓDICAS
1. Calcule as geratrizes das dízimas periódicas :
1) 0,555...
2) 2,(36)
3) 1,(09)
4) 5,018018018...
5) 1,04727272...
6) 1,32(4)
7) 1,05(3)
8) 1,030303...
9) 0,003003003...
10) 2,027027027...
11) 0,0666...
12) 2,06818181...
13) 1,291666...
14) 3,61666...
OBS: OS ALGARISMOS QUE ESTÃO ENTRE PARENTESES, CORRESPONDEM
AO PERÍODO DA DÍZIMA.
2. Encontre as geratrizes das seguintes dízimas periódicas.
a) 2,32454545…=
b) 0,232323…..=
c) 5,0666…..=
d) 4,070707….=
3. Se p/q é a fração irredutível equivalente à dízima periódica 0,323232... , então q-p
vale:
a) 64. b) 67. c) 68. d) 69.
e) 71.
4. Simplifique as frações:
14
28
48
b)
72
35
c)
28
64
d)
96
a)
50
80
56
f)
49
84
g)
120
68
h)
51
e)
5. Transforme as frações decimais em números decimais:
4
10
5
b)
100
25
c)
10
25
d)
100
a)
6.
a)
b)
c)
d)
256
100
256
f)
1000
285
g)
10000
465
h)
10
e)
transforme os números decimais em frações decimais:
0,25
e) 0,12
2,32
f) 0,4
2,5
g) 0,06
33,5
h) 3,425
7. Dê a representação decimal das frações:
2
5
3
b)
4
2
c)
3
a)
5
6
4
e)
9
19
f)
90
d)
8. Classifique as dízimas periódicas em simples ou composta e determine suas frações
geratrizes
a) 0,222...
b) 0,121212...
c) 0,4333...
d) 0,2111...
e) 0,555...
f) 0,444...
9) Obtenha as geratrizes das seguintes dízimas periódicas:
a) 2,3333333...
b) 0,23
c) 0,125125125...
d) 35,432323232...
e) 0,123556655665566...
10) Determine o valor numérico das expressões algébricas:
1
1
1
a) 3x – 2y, para x = 3 e y = -2
b) –x - , para x = e y =
y
2
3
c) x 2 - 3x + y, para x = -2 e y = -5
e) (x – y)(y-2x), para x=3 e y = -
g)
d) a 3 b - b 2 , para a = -1 e b = 2
1
2
f) (a + b) 2 , para a = 5 e b = -3
x2 + y2
, para x = 2 e y = 3
x+ y
h) 2x 3 +4y+3, para x = -1 e y = 3
i) x 2 -4x + 5y, para x = 1 e y = -2
j)
k) (x + y) 2 , para x = -3 e y = 5
2 x 2 + y , para x = -2 e y = 8
l) 4 x + 4 − x , para x = 2
11) Calcule os valor numérico das expressões:
3
3
2
a) a + b − 2a + 4ab + 1 , para a = 2 e b = -3
xy − x 2
1
1
b)
, para x = −
e y=
100
10
y
12) Escreva a expressão algébrica para representar o perímetro de cada uma das
figuras, sabendo que as medidas são dadas numa mesma unidade de
comprimento:
a
a)
a
a
3a
a
a
a
b)
a
a
3a
c)
x+2
13)
Em uma prova há, x questões que valem 3
x
x+3
pontos e y questões que valem 2 pontos. Dê a expressão algébrica que dá o
número de pontos nessa prova.
14) Usando as letras a e b para indicar dois números reais, represente
algebricamente cada uma das frases seguintes:
a) A soma de dois números reais.
c) O produto de dois números reais.
b) A diferença entre dois números reais.
d) O quadrado da soma de dois números
reais.
15) Um livro custa x reais e um caderno custa y reais. Escreva a expressão algébrica
que representa a quantia que você gasta na compra de um livro e três cadernos
16) Em um jogo de basquete, você acertou x arremessos de 3 pontos e y
arremessos de 2 pontos. Escreva a expressão algébrica que representa a
quantidade de pontos que você marcou
17) Um colégio tem, ao todo, 35 professores. Destes, y professores são do sexo
masculino. Qual é a expressão algébrica que representa a quantidade de
professores do sexo feminino que trabalham nesse colégio?
18) Uma caneta custa x reais. Carol comprou 5 canetas e deu 10 reais para pagar.
Escreva a expressão algébrica que representa a quantia que Carol deve receber
de troco.
19) Qual a expressão algébrica que representa a área da
figura ao lado?
a) Área do quadrado =
b) Área do retângulo =
c) Área da figura =
20) Para x = -8 e y = -5, determine o valor numérico da
x
x
x
y
expressão 9x – 13y.
21) Determine o valor numérico da expressão 2x² - xy, quando x = -2 e y = 4.
22) Complete a tabela. Considere h = 3.
Expressão Algébrica
Valor Numérico
4h- 3
2h +
h
3
3(h + 4) – 10
+
2h
+ 5h − 1
3
2(3h - 2) - 7
3
23) Um motorista dirige seu carro, num trecho de uma rodovia de pista dupla, a uma
velocidade constante de 100 km/h. Nessas condições, a distância que ele
percorre com seu veículo pode ser calculada pela fórmula:
d = distância (em
t
=
tempo
(em
d = 100.t
km)
horas)
a) Qual é a distância que ele percorre em 2 horas?
b) Qual é a distância que ele percorre em meia hora?
c) Em quanto tempo ele percorre 250 km?
d) Em quanto tempo ele percorre 40 km?
24) Nas “corridas” noturnas, os taxistas de certa cidade cobram uma taxa fixa de R$
3,80, chamada bandeirada, e mais R$ 1,90 por quilômetro rodado.
a) Escreva uma fórmula para representar o custo de uma “corrida” noturna de táxi
dessa cidade.
b) Uma pessoa utilizou o táxi durante a noite, percorrendo uma distância de 20,5 km.
Qual é, em reais, o custo dessa corrida?
25) O comprimento da circunferência é dada pela fórmula C=2 r. Usando
= 3,14,
calcule o comprimento de uma praça circular cujo raio é de 30m.
26) O comprimento da circunferência de uma moeda de R$ 1,00 é de 8,164 cm. Qual
é o raio dessa moeda?
27) Sabendo que a= ½ e b = 1/4 , determine o valor numérico de 5b – a².
28) No automobilismo, a bandeira quadriculada indica o vencedor:
Considerando que x representa a medida do lado de cada um dos quadrados
menores, escreva:
a) a área de cada quadrado:
b) a área total dos quadrados pretos:
c) a área da bandeira:
29) Calcule o valor das expressões abaixo :
a)
b) 0,151515... – ( 0,333...)2 =
30) Efetue, observando as definições e propriedades:
a) (-2)³
i)
b)
j) (0,5)³
c) 500¹
l) 15¹
d) 100º
m)
e) 0³
n)
f) 0º
o)
g)
p)
h)
31) (Fuvest) O valor de
(a) 0,0264
(b) 0,0336
(c) 0,1056
(d) 0,2568
(e) 0,6256
32) (Fei) O valor da expressão
(a) -5/6
(b) 5/6
(c) 1
33) (UECE) O valor de
(a) -15/17
(b) -16/17
(c) -15/16
(d) -17/16
q)
, é:
(d) -5/3
(e) -5/2
é:
é
34) (F.C. CHAGAS) Simplificando-se a expressão
(a) 0,16
(b) 0,24
(c) 1,12
(d) 1,16
, obtém-se:
(e) 1,24
35) Dê o valor de cada radical no campo dos número reais. Caso não exista,
escreva: não existe.
a)
h)
b)
i)
c)
j)
d)
l)
e)
m)
f)
n)
g)
o)
36) Escreva uma expressão simplificada que represente a área total da figura:
1 – 3x
1 – 3x
x+1/2
x+1/2
RADICIAÇÃO
É a operação inversa da potenciação
n
a = b , então b n = a .
Exemplos:
36 = 6 pois 6 2 = 36
a)
b)
3
8 = 2 pois 2 3 = 8
c)
4
81 = 3 pois 3 4 = 81
PROPRIEDADES
1.
n
a ⋅nb =
n
Exemplo:
n
2.
n
a
=
b
n
2⋅ 3 =
3
( a)
m
n
=
3
10
=
5
3
2
( 2)
2
2
2
=
22 =
2
4 =
4 =2
( a )= a
n
n
Exemplo:
5
35 = 3
(− 2)2
5.
10
=
5
3
a m a n vezes
n
Exemplo:
4.
6
a
b
Exemplo:
3.
a⋅b
n
a
m
=a
Exemplo:
=
4 =2
m
n
5
6.
3
4 =4
n
am =
n⋅ p
Exemplos:
3
5
a m ⋅ p ou
n
am =
3×2
33×2 = 10 2 6
6:3
2 3: 3 =
2
21 =
n: p
a m: p
2
SIMPLIFICAÇÃO DE RADICAIS
Quando o radicando tem fatores com expoentes iguais ao índice da raiz esses fatores
podem ser extraídos do radicando.
Exemplos:
a)
72 =
2 2 ⋅ 2 ⋅ 32 = 2 ⋅ 3 2 = 6 2
b)
c)
2 ⋅ 52 = 5 2
50 =
3
16 =
3
23 ⋅ 2 = 2 2
EXERCÍCIOS EM SALA
a)
25 =
f)
g)
b)
3
12 ⋅ 3 2 =
c)
10
25 ⋅ 5 4 =
d)
36 +
e)
36 + 64 =
128 =
3
54 =
h) 25
1
2
64 =
i)
=
1
3
1
4
2
3
625 + 27 − 8 =
OPERAÇÕES COM RADICAIS
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
Só podemos efetuar adição e subtração de radicais semelhantes, nesse caso, basta fazer a
soma algébrica dos fatores externos e copiar os radicais.
Exemplos:
a) 33 7 + 53 7 − 23 7 = 63 7
b)
c)
25 + 36 = 5 + 6 = 11
4
25 + 4 5 − 6 125 =
4: 2
5 2: 2 + 4 5 −
6:3
53:3 =
5+4 5− 5 =4 5
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO
Só podemos efetuar multiplicação e divisão de radicais que possuem o mesmo índice,
quando os radicais possuem índices diferentes o 1° passo é reduzi-los ao mesmo índice.
Isso é feito tirando o mmc dos índices.
Exemplos:
a)
2 ⋅ 3 3 = tirando o mmc de 2 e 3
b)
=6
6
23 ⋅ 6 32 =
6
8⋅69 =
6
8⋅9 =
6
72
10
27
10
2
3
=
10
27
=
3
10
9
EXERCÍCIOS EM SALA
a)
2 ⋅ 10 =
b)
5⋅
(
c)
d)
)
7 −
e)
2 =
(
(
3
7 −
6+
) =
5) ⋅ ( 6 − 5) =
2
2
2⋅45 =
RADICIAÇÃO DE RAÍZ
Quando o radicando for outro radical, podemos escrever uma só raiz com índice igual ao
produto dos índices.
Exemplo:
4 3
4⋅3
13 =
13 =
12
13
RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES
Quando o denominador de uma fração é um número irracional podemos transformá-lo em
um número racional;
Exemplos:
3
a)
7
3
b)
c)
3
2
3
3⋅ 7
=
7⋅ 7
3
=
=
3
2
3
1
5+ 3
3
⋅
=
3
32
32
3 7
49
3
=
1⋅
(
=
3 7
7
2 ⋅ 32
3
=
3
3 ⋅ 32
(
5− 3
)(
5+ 3 ⋅
2⋅9
3
33
)
5− 3
)
=
3
=
18
3
5− 3
=
5−3
5− 3
2
EXERCÍCIOS EM SALA
a)
b)
1
5
5
2
=
c)
=
d)
5
3
4
=
2
6+
2
=
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
OPERAÇÕES COM RADICAIS
1. Complete as igualdades:
a)
b)
3
c)
3⋅ 5 =
d)
7
x2 ⋅ 7 x ⋅ 7 x3 =
2 ⋅ 3 a2 =
e)
5
x ⋅ 5 x3 ⋅ 5 x2 =
9: 3 =
d)
4
3xy : 4 5 xT =
e)
3
10 : 3 7 =
3⋅ a⋅ b =
2. Complete as igualdades:
a)
b)
8
a5 : 8 a3 =
c)
3
10 x 2 : 3 5 x =
3. Simplifique:
a)
6
x2
d)
3
8x 5
b)
6
x4
e)
3
2x 4 y 5
c)
12
78
f)
a 3b 5 c 7
4. Simplifique:
a) 3 80
e) 2 180
b) 2 12
f)
c) 33 24
g) 43 81
d)
h) 54 144
6
576
75
5. Efetue:
a) 3 2 + 2 2 −
e)
2 =
(2
) (
3− 3 −
b) 53 2 − 83 2 + 23 2 =
f)
a +3 b −2 b =
c) 25 x − 35 x −
g)
20 + 3 − 5 =
h)
8−
d)
(3
a +
5
) (
a +
x =
)
a −2 a =
2 −1 =
)
3−2 3 =
6. Efetue:
a) 26 3 ⋅ 53 2 =
d)
b) 8 3 : 43 3 =
e) 4 3 : 63 2 =
c)
f)
4
2⋅ 2 =
4
4
2 :8 2 =
2:62 =
g)
7. Racionalize:
1
a)
b)
c)
d)
e)
1
f)
2
3
g)
2 3
x −
2
x −
y
x +
y
x
1
h)
2 x
2 2− y
1
7
1
i)
x2
2 a +3 b
2
1
j)
5
3 a3
1− 2 3
8) Faça a racionalização das expressões, e resolva-as.
a)
3+2
c)
4− 3
3−2
4+ 3
+
+
3−2
b)
5+ 6
d)
2+4
3+2
3+ 3
3− 3
−
5− 6
2−4
−
5− 6
5+ 6
2 −4
e)
2+4
3+7
3 −7
9) Simplifique:
a)
10)
a)
3
b)
7 =
3
c)
52 =
4
23 5 =
Reduza a um único radical.
10 =
b)
2 =
c)
3
3=
d)
3 3
3 =
+
3−7
3+7
11. Reduza a um único radical e em seguida simplifique, se possível:
a)
6
53 =
b)
c)
3
2 24 =
d)
15 4 =
4
3 5 =
12. Encontre o perímetro das figuras, cujas medidas de seus lados são dadas numa
mesma unidade de medida de comprimento.
a)
b)
2 3
8
32
3 3
18
13. Calcule a área e o perímetro das figuras, cujas medidas indicadas são dadas
numa mesma unidade de medida de comprimento.
a)
b)
2 2
1,5
3
1,5
2
1+ 2
3 2
14)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
Efetue as seguintes adições de polinômios:
(2 x ² − 9 x + 2) − (3 x ² + 7 x − 1)
(2 x ² − 9 x + 2) + (3 x ² + 7 x − 1)
(5 x ² + 5 x − 8) − ( −2 x ² + 3 x − 2)
(5 x ² + 5 x − 8) + (−2 x ² + 3x − 2)
(3 x − 6 y + 4) − (4 x + 2 y − 2)
(3 x − 6 y + 4) + (4 x + 2 y − 2)
(5 x ² − 7 x + 2) − (2 x ² + 7 x − 1)
(5 x ² − 7 x + 2) + ( 2 x ² + 7 x − 1)
(4 x + 3 y + 1) − (6 x − 2 y − 9)
(4 x + 3 y + 1) + (6 x − 2 y − 9)
(2 x ³ + 5 x ² + 4 x) − (2 x ³ − 3 x ² + x )
(2 x ³ + 5 x ² + 4 x) + (2 x ³ − 3 x ² + x)
(5 x ² − 2ax + a ²) − (−3 x ² + 2ax − a ²)
(5 x ² − 2ax + a ²) + (−3x ² + 2ax − a ²)
( y ² + 3 y − 5) − (−3 y + 7 − 5 y ²)
( y ² + 3 y − 5) + (−3 y + 7 − 5 y ²)
15)Calcule os produtos:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
(3 x ² − 4 x − 3).( x + 1)
( x ² − x − 1).( x + 1)
3.( x + y )
( x ² − 3 x − 2).( x − 2)
2.(a − b)
( x ² + 5 x − 6).(2 x + 1)
7.( x − 2 y )
( x ² + x + 1).( x − 3)
2.(3a + 4b)
(a ³ − a ² + a − 1).(a + 1)
x.( y − 2)
16)Dados os polinômios:
A= x−2
B = x −3
C = x +1 2
D = x+5
Calcule os seguintes produtos:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
A.B
A.C
A.D
C.D
A.B.C
A.B.D
A²
B²
A² + B² + C² + D²
A² - B² - C² - D²
PRODUTOS NOTÁVEIS
As identidades abaixo se verificam quaisquer que sejam os valores atribuídos as
variáveis dada a freqüência que são usadas, algumas delas são ditas notáveis.
( x + y )2
= x 2 + 2 xy + y 2
(x + y )3
= x 3 + 3 x 2 y + 3 xy 2 + y 3
( x − y )2
= x 2 − 2 xy + y 2
(x − y )3
= x 3 − 3 x 2 y + 3 xy 2 − y 3
(x + y )(x − y ) =
x2 − y2
(x − y )(x 2
)
+ xy + y 2 = x 3 − y 3
FATORAÇÃO
Fatorar um polinômio é escrevê-lo em forma de produto cujos fatores devem ser os
mais simples possíveis.
1° caso: colocar o fator comum em
evidência.
3° caso: usando os produtos notáveis.
Exemplo:
Exemplos:
ax + ay = a( x + y )
x 2 + 2 xy + y 2 = ( x + y )
x 2 − 2 xy + y 2 = ( x − y )
2
2
2° caso: fatorar por agrupamento.
x 2 − y 2 = ( x + y )( x − y )
Exemplo:
ax + ay + bx + by
a ( x + y ) + b( x + y )
(
)
(
)
x 3 + y 3 = ( x + y ) x 2 − xy + y 2
x 3 − y 3 = ( x − y ) x 2 + xy + y 2
EXERCÍCIOS EM SALA
1. Desenvolva
(2a + 5b )2
( x − 2 y )2
=
=
(a
2
)(
)
− b a2 + b =
(3a − b )3
=
2. Fatore as expressões
a) a 3 x 2 y − a 2 xy 3 =
d) a 4 b 2 − 3a 2 =
b) xy − 3 y + 5 x − 15 =
e) x 2 − 4 x + 4 =
c) a 2 − b 2 =
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Efetue:
a)
(a + b )2
c)
( x + 5 )2
e)
( y + 2 )2
b)
(c + d )2
d)
( x + 4 )2
f)
( y + 1)2
b)
(x + 1)2
c)
( y + 2 )2
2. Efetue:
a) x 3 ( x + 6 )
2
− x(x + 2)
+ ( y + 1)
3. Efetue:
a)
(3 x + 2)2
c)
(2a + 1)2
e)
(6 y + 1)2
b)
(5 x + 4)2
d)
(4a + 3)2
f)
(7 y + 1)2
d)
(2 y
4. Efetue:
a)
b)
c)
(x + 1)
(x + 2)
(3x + 10)
2
3
2
5
+3
1

e)  y + 
2

2
2
4
)
2
1

f)  4 y + 
2

2
5. Efetue:
a)
( x + 9 )2
d)
(2 y + 15)2
b)
(x + 11)2
e)
c)
(2 y + 13)2
f)
(x + 2)
(5x + 6 y )
d)
(x + 2)2 − (x + 1)2
2
e)
(3 x + 1)2 − (2 x + 1)2
2
f)
(3 x + 2)2 − (3 x + 1)2
2
3
6
2
6. Efetue:
a)
(x + 1)2
+ ( x + 2 ) + ( x + 3)
2
b)
(x + 1)2
+ (2 x + 1) + (3 x + 1)
2
2
2
7. Efetue:
a) 10 − ( x + 3)
2
b) 8 x − (2 x + 1)
c) x 2 − ( x + 15)
2
2
8. Efetue:
1

a)  x + 
6

2
1

b)  6 x + 
6

y

c)  x + 
2

2
2
y

d)  4 x + 
2

2
y

e)  x 6 + 
5

2

y2 

f)  3 x 6 +
6 

2
9. Efetue:
a)
( x − 7 )2
e)
b)
( x − 3) 2
f)
c)
(5 y − 1)2
g)
d)
(5 x − 2 y )2
h)
(x − 6)
(x − y )
(3x − y )
(4 x − 13 y )
2
2
2
2 2
2 2
2
2
3
10. Efetue:
a)
(x + 10)(x − 10)
d)
(5 x + 2 y )(5x − 2 y )
b)
(x + 3)(x − 3)
e)
c)
(5 y + 1)(5 y − 1)
f)
(x − 2)(x + 2)
(5x − 3 y )(5x + 3 y )
3
3
2
2
11. Efetue:
3 
3

a)  2 x 2 −  2 x 2 + 
5 
5


a3 

b)  3a 2 b −
5


12. Efetue:
a)
( x − 4 )2
d)
(2 y − 9)2
b)
(x − 20)2
e) 3 x 3 − y
c)
(3 y − 7 )2
f)
(
(3x
3
)
2
− 4y2
)
2
2
13. Efetue:
a)
(x + 4)(x − 4)
d)
b)
(x + 20)(x − 20)
e)
c)
(3 y − 7 )(3 y + 7)
f)
(x + 2)(x − 2)
(3x + y )(3x − y )
(2 x + 3 y )(2 x − 3 y )
4
4
2
3
2
2
3
2
14. Efetue:
a) (2 x + 15 y )
2
b) (2 x − 15 y )
b) (2 x + 15 y )(2 x − 15 y )
2
15. Efetue:
a)
(x + 1)(x − 1) + (x + 2)(x − 2) + (x + 3)(x − 3)
b)
(2 x + 1)(2 x − 1) + (3x + 2)(3x − 2) + (4 x + 3)(4 x − 3)
c)
( x + y )2
d)
(x + y )(x − y ) + (x − y )2 − (x + y )2
2
− (2 x + 2 y ) + (3 x + 3 y )
2
16. As expressões são diferenças de dois quadrados. Fatore-as:
a) x 2 − 4
d) 81x 2 − 64
b) y 2 − 36
e) y 2 − 25 x 2
c) 9 x 2 − 16
f)
4 x 2 − 25a 2
17. As expressões são trinômios quadrados perfeitos. Fatore casa uma delas:
a) x 2 + 8 x + 16
d) 9 x 2 − 12 x + 4
b) x 2 − 8 x + 16
e) x 2 − 2 x + 1
c) 4 x 2 − 20 x + 25
f) 121x 2 + 22 x + 1
18. Fatore:
a) 16 y 6 − x 4
b) 25m 2 + 20m + 4
c) 25 x 2 −
10 x 1
+
3
9
19. Efetue as divisões seguintes; fatorando o dividendo.
a)
x 2 − 14 x + 49
x−7
c)
25 x 2 − 10 x + 1
b)
x 2 − 16
x+4
d)
x 2 + 6x + 9
x+3
d)
x2
− 121
4
(5 x − 1)2
20. Fatore:
a) 9a 6 b 4 − 169
b) 4a 8 − 49b 4 c 2
a 2 25b 4
−
c)
9
16
21. Fatore, colocando o fator comum em evidência:
a) ax + bx + cx
b) x 2 + 7 x
c) x 5 + 4 x 3
d) ab +
e)
xyz xz x
+
+
2
4
2
f) 80 x 5 + 64 x 3
a
3
22. Fatore:
a) x 4 + 3 x 3 + x 2
e) 14 xy − 21xz
b) a 2 + a
f) 33 xy 2 − 44 x 2 y
c) x 2 yz + xy 2 z + xyz 2
g) 4ax 3 + 6a 2 x 2 + 4a 3 x 2
d) x 3 y 2 − x 2 y 3
h) 45a 5 y 4 − 75a 4 y 5 + 105a 3 y 6
23. Fatore:
a)
3 5 5 4 7 6
a − a + a
4
8
6
24. Veja este exemplo de fatoração:
b) 5a 3 ( x + 2 ) − 7 a 2 ( x + 2 ) + 4a 4 ( x + 2 )
x 3 + 6 x 2 + 9 x = x(x 2 + 6 x + 9 ) = x( x + 3)
2
Agora, fatore:
a) x 3 − 8 x 2 + 16 x
b) 3 x 2 + 30 xy + 75 y 2
25. Fatore:
a) x 4 − 81a 4
c) 64 x 7 − 64 x 4 + 16 x
b) a 5 − 9a 3
d)
(a + 1)a 2 − (a + 1)
26. Coloque o fator comum em evidência.
(
) (
)
a) x x 2 + 1 + x 2 + 1
d) x(7m + n ) + 7m + n
b) a( y − 3) − ( y − 3)
e) x(a + b ) + 4(a + b )
c) b(5 x − a ) − (5 x − a )
f)
(a − b )(a + b) + 2(a + b )
27. Fatore, por agrupamento:
a) am + an + bm + bn
c) y 3 − 3 y 2 + 4 y − 12
b) 2 x + ay + 2 y + ax
d) ax 2 − bx 2 + 3a − 3b
28. Fatore:
a) abx + cx + 2ab + 12c
b)
3x
3y
+ ax +
ay
5
5
c) x 2 y 2 + 2 xy + 3 xyz + 6
d) a 2 x +
1
3
x + 3a 2 +
4
4
29. Fatore:
a) ax + 2a + x + 2
c) x 2 y − 2 x + xy − 2
b) xy + x + y + 1
d) ax 2 − bx 2 + a − b
30. Fatore:
a) ax + ay − bx − by
c) x 2 − bx − 2ax + 2ab
b) ax − 4a + 6 x − 24
d) a 2 y − a 3 + 3ab − 3by
31. Fatore:
a) ay − by − a + b
c) 2ax − bx − 10a + 5b
b) y 3 − y 2 − 3 y + 3
d) ax − 3 x − ay + 3 y
32. Fatore:
a) 10ax + 14bx + 15ab + 21b 2
c)
b) x 3 + 5 x 2 + 2 x + 10
d) ac + bc + a + b
x 2 − bxy + ax − ab
33. Fatore:
a) x 3 − 3 x 2 + ax − 3a
b) axy − 2 xy + ab − 2b
34. Fatore:
a) 6ax − 3bx − 4a + 2b
c) mn − 8am − 10n + 80a
b) 4ab − 24a − 5b + 30
d) x 2 − 5 xy − 2 x + 10 y
EQUAÇÃO DO 1° GRAU
Chamamos equação do 1° grau de variável x , a toda equação que pode ser reduzida à
seguinte forma.
ax + b = 0 (a ≠ 0)
Resolver esta equação é determinar sua raiz, ou seja, encontrar o valor de x que torna
verdadeira a igualdade.
Exemplo:
3x − 6 = 0
x=2
3x = 0
Onde 2 é solução ou raiz da equação.
x=
6
3
EXERCÍCIOS EM SALA
a) x −
x −1
1
= 3x −
4
3
b)
4
1
3
− 2
=
(x ≠ ±1)
x +1 x −1 x −1
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Determine o conjunto verdade das seguintes equações abaixo:
1.
x − 10 = 10 − x
2.
x − 2 = 10 − 2 x
3. 3( x − 1) + 4( x − 2 ) = 3
4. 5(1 − 2 x ) = 3 x + 4 − 12
5.
x x
+ =1
3 2
6.
2x
− x = x −1
3
7.
3
(x + 5) = 2 x + 1 1 
2
4

8.
1
(x − 1) − 1  x − 5  = x
3
5
3 2
9. 5(1 − 4 x ) + 3 x − 7 = −2( x + 1)
10. x − 3( x − 1) = 2 − 3( x + 1)
11.
3x − 1 4 x − 1
−
=0
4
3
12.
x − 1 3x − 2
1+ x
−
=1−
2
3
4
13.
2 x − 6 3(1 − x )
−
=1
4
2
14. y − 2 = 2 y + 5
15.
1
x + 2 1− x 
9 − x
x+3−
=
+ − 5 −

2
3
2
2 

Soluções:
1. 10
2. 4
3. 2
4. 1
6
5
3
6.
4
7. 10
5.
8. 0
9. 0
10. − 4
1
11.
7
12. −
16. − 8
7
3
13. 2
14. − 7
15. − 68
SISTEMA DE 1° GRAU
É um conjunto de duas equações do tipo.
ax + by = c

dx + ey = f
COM INCÓGNITAS x E y
Para resolvermos, devemos encontrar os valores de x e y que satisfaçam as duas
equações.
1° MÉTODO: ADIÇÃO
Consiste em multiplicar uma das equações ou as duas por números reais não nulos, de tal
modo que ao somar membro a membro as equações uma das incógnitas seja eliminada.
Exemplo:
x + 2 y = 5

4 x − y = 2
(I )
(II )
Multiplicando ambos os membros da equação (II ) por 2 temos:
x + 2 y = 5

8 x − 2 y = 4

 9x = 9
9
x = =1
9
Se x + 2 y = 5
1 + 2y = 5
2y = 5 − 1
2y = 4
y =
4
=2
2
Solução: (1, 2 )
2° MÉTODO: SUBTRAÇÃO
Consiste em colocar em uma equação uma incógnita em função da outra e em seguida
substituir na outra equação.
Exemplo:
x + 2 y = 5

4 x − y = 2
(I )
(II )
Usando a equação (I )
x + 2y = 5
x = 5 − 2y
Substituímos o valor encontrado em (II )
4x − y = 2
y=2
4(5 − 2 y ) − y = 2
Se x = 5 − 2 y
20 − 8 y − y = 2
x = 5−2⋅2
− 9 y = 2 − 20
x =5−4
− 9 y = −18
(− 1)
9 y = 18
y =
x =1
Solução = (1, 2 )
18
9
EXERCÍCIOS EM SALA
 2 x − y = −3
− x + y = 2
a) 
8
3
11 x + 7 y = 2
b) Se 
 8 x + 1 y = −1
11
7
Então x + y é igual à
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Resolva os seguintes sistemas:
x − y = 4
2 x + y = 8
a) 
4 x − y = 5
10 x − 2 y = 11
b) 
y
 =2
c)  x
 y − x = 9
 x
 2 y = 3
d) 
 x + y = 14
 6
7 x + 3 y = 1
x − 3 y = 7
e) 
f)
 y = 9 − 3x

4 x + 2 y = 5
 y
=1

g)  x − 5
 y + x = 5
1
5x − 2 y
 1
 x − y + x + y = x2 − y2

h) 
 3 − 1 = 1 − 2x
 x y
xy
i)
5 x − y = 16

7 x + 3 y = 18
j)
x − 1 2y − 2
−
=3

5
 2
3 x − 2 y = 9
Soluções:
a)
(4, 0)
f)
1

, − 3
2

b) 
c)
d)
e)
 13 − 21 
 ,

2 
2
g) φ
(9, 18)
(42, 7 )
(1, − 2)
2 3
,

 11 11 
h) 
i)
j)
(3, − 11)
(− 13, − 24)
PROBLEMAS DE 1° GRAU
Problemas de 1° grau. São problemas práticos que podem ser resolvidos com auxílio de
equações ou sistemas do 1° grau.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Divida 1.080 em duas partes, tal que 3 8 da primeira parte mais 1 10 da segunda
produza 273 .
2. Numa fábrica trabalham 532 pessoas, entre homens, mulheres e menores. O número de
homens é o dobro do das mulheres e este é o dobro de menores. Quantos são os
homens, as mulheres e os menores?
3. A soma das idades de um pai e um filho é 42 anos. Há três anos passados, a idade do
pai era onze vezes a idade do filho. Determine as idades.
4. Um pai tem, 64 anos e o filho, 10 . Daqui a quantos anos a idade do pai será o
quádruplo da idade do filho?
5. A diferença entre dois números é 28 . O quociente do maior pelo menor é 3 e o resto é
2 . Determine os números.
6. Num quintal existem patos e galinhas. O número dos patos é 3 10 do das galinhas.
Morreram 5 7 das galinhas e um pato, restando, desse modo, tantos patos quantas
galinhas. Pergunta-se: Quantos eram os patos e quantas as galinhas?
7. Numa fábrica trabalham homens e mulheres, sendo que o número de mulheres é 3 5 do
número de homens. Foram dispensados 5 12 dos homens e duas mulheres, restando
tantos homens quantas mulheres. Pergunta-se: Quantos eram os homens e quantas as
mulheres?
8. Um pai deseja dividir R$5.000,00 entre seus dois filhos, de modo que o mais moço
receba a metade do que recebe o mais velho e mais R$500,00 . Quanto caberá a cada
um?
9. A soma dos três números pares consecutivos é 36 . Quais são os números?
10. A soma de dois números ímpares consecutivos excede a terça parte do menor em 87
unidades. Quais são os números?
11. A soma de três números ímpares consecutivos é 45 . Determine os números.
12. A uma festa de caridade compareceram 400 pessoas. Os homens contribuíram com
R$5.000,00 e as mulheres, com R$2.000,00 . Houve uma renda de R$1.550.000,00 .
Quantos eram os homens e quantas as mulheres?
13. Numa escola existem 200 alunos. A terça parte do número de meninos é igual à metade
do número de meninas. Quantos são os meninos e quantas as meninas?
14. Pensei em um número. Acrescentei 15 e dividi a soma obtida por 7 . Se o resultado foi
18 , qual o número pensado?
15. Num pátio existem automóveis e bicicletas. O número total de rodas é 130 e o número
de bicicleta é o triplo do número de automóveis. Quantos veículos há no pátio?
16. Um tijolo pesa 1kg mais meio tijolo. Quanto pesa um tijolo e meio?
PROBLEMAS EQUAÇÃO DO 1° GRAU (Gabarito)
1. 600 e 480
2. 304 homens, 150 mulheres e 76 menores.
3. 36 e 6
4. 8
5. 41 e 13
6. 70 galinhas e 21 patos
7. 120 homens e 72 mulheres
8. R$3.000,00 para o mais velho. R$2.000,00 para o mais moço.
9. 10, 12 e 14.
10. 51 e 53
11. 13, 15 e 17
12. 250 homens e 150 mulheres
13. 120 meninos e 80 meninas
14. 111
15. 52
16. 3 kg
EQUAÇÕES DO 2° GRAU
1) Resolva as seguintes equações do 2° grau
a) x² - 49 = 0
b) x² = 1
c) 2x² - 50 = 0
d) 7x² - 7 = 0
e) 5x² - 15 = 0
f) 21 = 7x²
g) 5x² + 20 = 0
h) 7x² + 2 = 30
i) 2x² - 90 = 8
j) 4x² - 27 = x²
k) 8x² = 60 – 7x²
l) 3(x² - 1 ) = 24
m) 2(x² - 1) = x² + 7
n) 5(x² - 1) = 4(x² + 1)
o) (x – 3)(x + 4) + 8 = x
2) Resolva as seguintes equações do 2° grau.
a) x² - 7x = 0
b) x² + 5x = 0
c) 4x² - 9x = 0
d) 3x² + 5x =0
e) 4x² - 12x = 0
f) 5x² + x = 0
g) x² + x = 0
h) 7x² - x = 0
i) 2x² = 7x
j) 2x² = 8x
k) 7x² = -14x
l) -2x² + 10x = 0
3)Resolva as seguintes equações do 2° grau
a) x² + x ( x – 6 ) = 0
b) x(x + 3) = 5x
c) x(x – 3) -2 ( x-3) = 6
d) ( x + 5)² = 25
e) (x – 2)² = 4 – 9x
f) (x + 1) (x – 3) = -3
4) Resolva as seguintes equações do 2° grau
1) x² - 5x + 6 = 0
2) x² - 8x + 12 = 0
3) x² + 2x - 8 = 0
4) x² - 5x + 8 = 0
5) 2x² - 8x + 8 = 0
6) x² - 4x - 5 = 0
7) -x² + x + 12 = 0
8) -x² + 6x - 5 = 0
9) 6x² + x - 1 = 0
10) 3x² - 7x + 2 = 0
11) 2x² - 7x = 15
12) 4x² + 9 = 12x
13) x² = x + 12
14) 2x² = -12x - 18
15) x² + 9 = 4x
16) 25x² = 20x – 4
17) 2x = 15 – x²
18) x² + 3x – 6 = -8
19) x² + x – 7 = 5
20) 4x² - x + 1 = x + 3x²
21) 3x² + 5x = -x – 9 +
2x²
22) 4 + x ( x - 4) = x
23) x ( x + 3) – 40 = 0
24) x² + 5x + 6 = 0
25) x² - 7x + 12 = 0
26) x² + 5x + 4 = 0
27) 7x² + x + 2 = 0
28) x² - 18x + 45 = 0
29) -x² - x + 30 = 0
30) x² - 6x + 9 = 0
31) ( x + 3)² = 1
32) ( x - 5)² = 1
33)( 2x - 4)² = 0
34) ( x - 3)² = -2x²