Arcos na Circunferência
1. (Uerj 2015) Um tubo cilíndrico cuja base tem centro F e raio r rola sem deslizar sobre um
obstáculo com a forma de um prisma triangular regular. As vistas das bases do cilindro e do
prisma são mostradas em três etapas desse movimento, I,II e III, nas figuras a seguir.
Admita que:
- as medidas do diâmetro do círculo de centro F e da altura do triângulo ABC são
respectivamente iguais a 2 3 decímetros;
- durante todo o percurso, o círculo e o triângulo sempre se tangenciam.
Determine o comprimento total, em decímetros, do caminho descrito pelo centro F do círculo
que representa a base do cilindro.
2. (Uea 2014) Caminhando 100 metros pelo contorno de uma praça circular, uma pessoa
descreve um arco de 144°. Desse modo, é correto afirmar que a medida, em metros, do raio da
circunferência da praça é
a) 125π
175
b)
π
125
c)
π
250
d)
π
e) 250π
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3. (Fgv 2013) Na figura, AB e AE são tangentes à circunferência nos pontos B e E,
ˆ  60.
respectivamente, e BAE
ˆ
Se os arcos BPC, CQD e DRE têm medidas iguais, a medida do ângulo BEC,
indicada na
figura por α, é igual a
a) 20°
b) 40°
c) 45°
d) 60°
e) 80°
4. (Uem 2013) Considere uma circunferência de centro O e raio 2 u.c. Sejam A, B, C, D e E
pontos sobre essa circunferência, nesta ordem, e tais que AD e BE sejam diâmetros.
Assinale o que for correto.
01) Os triângulos ABD e ACD são triângulos retângulos.
02) O quadrilátero ABDE é um retângulo.
04) A área do triângulo ACD é maior do que 4 u.a.
ˆ
ˆ é a metade da medida do ângulo EOD.
08) A medida do ângulo AEB
3
16) A área do quadrilátero ABDE é maior do que
da área do círculo.
4
5. (G1 - cftmg 2013) Considere três circunferências de raio unitário e de centros A, B e C,
conforme a figura.
Dessa forma, o perímetro da região sombreada, em unidades de comprimento, é
π
a) .
3
π
b) .
2
c) π.
d) 2π.
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6. (Insper 2013) Ao projetar um teatro, um arquiteto recebeu o seguinte pedido da equipe que
seria responsável pela filmagem dos eventos que lá aconteceriam:
“É necessário que seja construído um trilho no teto ao qual acoplaremos uma câmera de
controle remoto. Para que a câmera não precise ficar mudando a calibragem do foco a cada
movimentação, o ângulo de abertura com que a câmera captura as imagens do palco deve ser
sempre o mesmo, conforme ilustração abaixo.
Por exemplo, dos pontos P1 e P2 a câmera deve ter o mesmo ângulo de abertura α para o
palco.”
Das propostas de trilho a seguir, aquela que atende a essa necessidade é
a)
b)
c)
d)
e)
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7. (G1 - cftmg 2013) Um hexágono regular de área 12 cm2 e de centro P foi pintado em duas
tonalidades, conforme a figura.
A área pintada na tonalidade mais clara, em cm2, é
a) 3.
b) 4.
c) 5.
d) 6.
8. (Enem 2012) Em 20 de fevereiro de 2011 ocorreu a grande erupção do vulcão Bulusan nas
Filipinas. A sua localização geográfica no globo terrestre é dada pelo GPS (sigla em inglês para
Sistema de Posicionamento Global) com longitude de 124° 3’ 0” a leste do Meridiano de
Greenwich.
Dado: 1° equivale a 60’ e 1’ equivale a 60”.
PAVARIN, G. Galileu, fev. 2012 (adaptado)
A representação angular da localização do vulcão com relação a sua longitude da forma
decimal é
a) 124,02°.
b) 124,05°.
c) 124,20°.
d) 124,30°.
e) 124,50°.
9. (Enem PPL 2012) Durante seu treinamento, um atleta percorre metade de uma pista circular
de raio R, conforme figura a seguir. A sua largada foi dada na posição representada pela letra
L, a chegada está representada pela letra C e a letra A representa o atleta. O segmento LC é
um diâmetro da circunferência e o centro da circunferência está representado pela letra F.
Sabemos que, em qualquer posição que o atleta esteja na pista, os segmentos LA e AC são
perpendiculares. Seja θ o ângulo que o segmento AF faz com segmento FC.
Quantos graus mede o ângulo θ quando o segmento AC medir R durante a corrida?
a) 15 graus
b) 30 graus
c) 60 graus
d) 90 graus
e) 120 graus
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10. (Mackenzie 2012) Na figura, se a circunferência tem centro O e BC = OA, então a razão
entre as medidas dos ângulos AÔD e CÔB é
5
2
3
b)
2
c) 2
4
d)
3
e) 3
a)
11. (G1 - ifsp 2011) Na figura, a reta t é tangente, no ponto P, ao círculo de centro O. A medida
do arco
é 100º e a do arco
é 194º. O valor de x, em graus, é
a) 53.
b) 57.
c) 61.
d) 64.
e) 66.
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12. (Fuvest 2009) Na figura, B, C e D são pontos distintos da circunferência de centro O, e o
ponto A é exterior a ela. Além disso,
(1) A, B, C, e A, O, D, são colineares;
(2) AB = OB;
(3) CÔD mede α radianos.
Nessas condições, a medida de A B̂ O, em radianos, é igual a:
a) π - (α/4)
b) π - (α /2)
c) π - (2α/3)
d) π - (3α/4)
e) π - (3α/2)
13. (Fgv 2008) Dado um pentágono regular ABCDE, constrói-se uma circunferência pelos
vértices B e E de tal forma que BC e ED sejam tangentes a essa circunferência, em B e E,
respectivamente.
A medida do menor arco BE na circunferência construída é
a) 72°.
b) 108°.
c) 120°.
d) 135°.
e) 144°.
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14. (Ufrrj 2005) Um arquiteto vai construir um obelisco de base circular. Serão elevadas sobre
essa base duas hastes triangulares, conforme figura a seguir, onde o ponto O é o centro do
círculo de raio 2 m e os ângulos BOC e OBC são iguais.
O comprimento do segmento AB é
a) 2 m.
b) 3 m.
c) 3 2 m.
d) 2 5 m.
e) 2 3 m.
15. (G1 - cftmg 2005) Na figura, os segmentos PB e PD são secantes à circunferência, as
cordas AD e BC são perpendiculares e AP = AD. A medida x do ângulo BPD é
a) 30°
b) 40°
c) 50°
d) 60°
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16. (G1 - cftmg 2005) Na figura, os triângulos ABC e BCD estão inscritos na circunferência. A
soma das medidas m + n, em graus, é
a) 70
b) 90
c) 110
d) 130
17. (G1 - cftmg 2005) Na figura, o triângulo ABC está inscrito em uma circunferência de centro
O, cujo comprimento é 10 ð cm. Se o lado AB mede 6 cm, a medida do lado BC, em cm, é
a) 5
b) 6
c) 8
d) 9
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18. (Ufes 2004) Na figura, os segmentos de reta AP e DP são tangentes à circunferência, o
arco ABC mede 110 graus e o ângulo CAD mede 45 graus. A medida, em graus, do ângulo
APD é
a) 15
b) 20
c) 25
d) 30
e) 35
19. (Uerj 2003) José deseja construir, com tijolos, um muro de jardim com a forma de uma
espiral de dois centros, como mostra a figura a seguir.
Para construir esta espiral, escolheu dois pontos que distam 1 metro um do outro. A espiral tem
4 meias-voltas e cada tijolo mede 30 cm de comprimento.
Considerando ð = 3, o número de tijolos necessários para fazer a espiral é:
a) 100
b) 110
c) 120
d) 130
20. (Enem 2002) As cidades de Quito e Cingapura encontram-se próximas à linha do equador
e em pontos diametralmente postos no globo terrestre. Considerando o raio da Terra igual a
6370km, pode-se afirmar que um avião saindo de Quito, voando em média 800km/h,
descontando as paradas de escala, chega a Cingapura em aproximadamente
a) 16 horas.
b) 20 horas.
c) 25 horas.
d) 32 horas.
e) 36 horas.
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
Na figura, temos:
3
tg60 
 x 1
x
a 3
2 3 a4
2
2π  3  120 2π 3
y

360
3
Portanto, a distância d percorrida pelo centro F é dada por:

2π 3 
d  a  x  a  x  y  6 
 dm

3 

Resposta da questão 2:
[C]
Admitindo R a medida do raio, temos:
4π
100
125
144 
rad 
R 
.
5
R
π
Resposta da questão 3:
[B]
Seja S um ponto do menor arco BE.
Como BPC  CQD  DRE  2α, segue-se que BSE  360  6α. Portanto, como EAB é
excêntrico exterior, temos
EAB 
BQE  BSE
6α  (360  6α )
 60 
2
2
 60  6α  180
 α  40.
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Resposta da questão 4:
01 + 02 + 08 = 11.
[01] Correto. Como ABD e ACD estão inscritos no semicírculo de diâmetro AD, com AD
sendo lado comum de ABD e ACD, segue-se que ABD e ACD são triângulos
retângulos.
[02] Correto. Sendo ABD, BDE, DEA e EAD ângulos inscritos que determinam arcos de 180,
temos ABD  BDE  DEA  EAD  90. Portanto, ABDE é um retângulo.
[04] Incorreto. Seja H o pé da perpendicular baixada de C sobre AD. Como
AD  2  2  4 u.c., segue-se que a área do triângulo ACD é
(ACD) 
1
 AD  CH  2  CH.
2
Por outro lado, como C está entre B e D, temos CH  2 u.c. e, portanto, (ACD)  4 u.a.
[08] Correto. Como AEB é ângulo inscrito e determina o arco AB, tem-se AEB 
AB
. Por
2
outro lado, EOD e AOB são opostos pelo vértice, o que implica em EOD  AOB. Logo,
como AOB é ângulo central, vem EOD  AOB  AB e, portanto, AEB 
EOD
.
2
[16] Incorreto. A área do quadrilátero ABDE é dada por
1
 AD  BE  senA OB
2
1
  4  4  senA OB
2
(ABDE) 
 8  senA OB.
Logo, (ABDE) é máxima quando senAOB  1, ou seja, quando AOB  90.
Por outro lado, a área do círculo é igual a   22  4 u.a. Logo, 8 
portanto, qualquer que seja ABDE, sua área é menor do que
3
 4  8  3  0 e,
4
3
da área do círculo.
4
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Resposta da questão 5:
[C]
Comprimento do arco cuja medida é x:
2  π 1 π
x
 .
6
3
Portanto, o perímetro da figura será:
π
3  π
3
Resposta da questão 6:
[E]
ˆ situado na semicircunferência (mostrada na figura) será
Para qualquer ponto P, o ângulo APB
reto.
ˆ = 180  90
APB
2
Logo, o trilho deverá ser o representado na figura da alternativa [E].
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Resposta da questão 7:
[C]
Dividindo o hexágono em 12 triângulos de mesma área (ver figura), cada área terá 1cm2 .
Portanto, a área destacada terá 5  1cm2  5 cm2 .
Resposta da questão 8:
[B]
3’= (3/60)° = 0,05°
124° 3’ 0” = 124,05°
Resposta da questão 9:
[C]
Se AC = R, temos o triângulo AFC equilátero. Logo, θ  60.
Resposta da questão 10:
[E]
Considere a figura.
Sejam AOD   e COB  .
Sabendo que BC  OA  OC, vem OBC  . Daí, como AD   e CE  , encontramos
OBC 
AD  CE
 

2
2

  3.

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Resposta da questão 11:
[D]
Como x é excêntrico exterior, segue que:
BCP  AP
.
2
Mas
x
AP  360  (AB  BCP).
Portanto,
194  360  100  194 128
x

 64.
2
2
Resposta da questão 12:
[C]
ˆ x
ABD
ˆ =π-x
ˆ
ΔCOB é isósceles de base BC, logo OBC=OCB
ˆ = π-x
ˆ
ΔABO é isósceles de base AO, logo OAB=BOA
2
No triângulo AOB:
απ-x +
π-x
(ângulo externo)
2
2α = 2π  2x  π  x
3x  3π  2α
x
3 π  2α
3
x  π
2α
3
ˆ  π   2α /3 
Portanto, ABO
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Resposta da questão 13:
[E]
Resposta da questão 14:
[E]
Resposta da questão 15:
[A]
Sabendo que AP  AD, tem-se ADP  BPD. Além disso, os ângulos inscritos ABC e ADC
subentendem o mesmo arco, bem como os ângulos BAD e BCD. Logo, ABC  ADC e
BAD  BCD. Por outro lado, BAD é ângulo externo do triângulo ADP e, portanto,
BAD  2  ADP. Desse modo, como AD  BC e sendo Q o ponto de interseção das cordas AD
e BC, vem, do triângulo QCD,
ADC  BCD  90  ADP  BAD  90
 ADP  2  ADP  90
 ADP  30.
Resposta da questão 16:
[A]
Resposta da questão 17:
[C]
Resposta da questão 18:
[B]
Resposta da questão 19:
[A]
Resposta da questão 20:
[C]
π.R 3,14.6.370

 25 horas.
800
800
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